逆用导数运算法则，构造原函数巧解题



逆用导数运算法则，构造原函数巧解题

◇云南杨峰

若题设中出现了与导数有关的不等式,往往很可能是根据导数的运算法则提前计算后而设计的,所以应多从这个角度考虑如何构造函数,以便顺利解题.

1直接考虑导数运算法则构造函数

当00,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0.

综上,x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

变式1已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0.对任意正数a、b,若a

Aaf(b)≤bf(a)；Bbf(a)≤af(b)；

Caf(a)≤f(b)；Dbf(b)≤f(a)

变式2设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0.当x>0时,(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为________.

答案(-∞,-1)∪(0,1).(过程略)

2结合y=ex考虑导数运算法则构造函数

Af(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0);

Bf(2)e100f(0);

Cf(2)>e2f(0),f(100)

Df(2)

变式1设函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,f′(x)+f(x)>0,则对任意正数a必有( ).

Af(a)>eaf(0);Bf(a)

变式2已知定义在R上的函数f(x),满足3f(x)>f′(x)恒成立,且f(1)=e3(e为自然对数的底数),则下列结论正确的是().

Af(0)=1;Bf(0)<1;

Cf(2)e6

答案C.

综上,构造函数是一种创新思维,对能力的要求较高,需要在解题实践中不断积累经验,且学且悟.

(作者单位：云南大理市下关三中)