函数零点问题的求解策略



函数零点问题的求解策略

◇甘肃蔡鹏

函数零点，即当y=0时，对应的x值.零点不是点，而是数值.高考对函数零点的考查，主要包括零点个数或零点分布.本文将介绍几种零点问题的求解策略.

1数形结合法

A1;B2;C3;D4

图1

由图1可知,2个函数的交点个数为2,所以函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为2．故选B.

变式已知函数f(x)=|x-3|+1,g(x)=ax.若方程f(x)=g(x)有2个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.

图2

由图可知g(x)=ax的图象从l1的位置转到l2时,方程f(x)=g(x)有2个不相等的实根,g(x)在l1时a=1/3,g(x)在l2时a=1, 故a的取值范围是1/3

2二分法

A(a,b)和(b,c);

B(-∞,a)和(a,b);

C(b,c)和(c,+∞);

D(-∞,a)和(c,+∞)

由于a0,

f(b)=(b-c)(b-a)<0,

f(c)=(c-a)(c-b)>0．

因此有f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0.又因为f(x)是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f(x)的2个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内．

变式函数f(x)=log2x-1/x的零点所在的区间是().

A(0,1/2);B(1/2,1);

C(1,2);D(2,3)

3导数法

A (-14,0); B (0,14);

f(0)=e0+4×0-3=-2<0,

方法2此题可先将2个函数分离,再借助于数形结合的方法进行求解．可以令g(x)=ex,h(x)=-4x+3．画出2个函数在同一坐标系中的图象如图3.根据2个函数的图象的交点所在的区间即可获解．

图3

变式已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在区间为(k,k+1) (k∈N*),则k的值为____．

函数与方程的考查内容除了零点所在的区间和根的个数问题以外,函数零点的应用也是常见的题型.在应用上述几种策略解题时，若直接求解很难奏效,可将条件转化后再利用其求解.

(作者单位：甘肃省张掖市实验中学)