用圆锥曲线的统一方程解题

许正川

摘 要：关于椭圆、双曲线、抛物线的有关问题，往往都是利用它们各自的标准方程进行探究，所得结果也往往彼此不同，好似互不关联. 利用圆锥曲线的统一定义，建立一个统一方程便能克服上述困难.

关键词：圆锥曲线；统一方程；解题；探究

关于椭圆、双曲线、抛物线的有关问题，往往都是利用它们各自的标准方程进行探究，所得结果也往往彼此不同，好似互不关联.而进行计算或论证时，也比较繁杂冗长，有时要用难以想到的技巧，增加了解这类问题的难度. 如果我们利用圆锥曲线的统一定义，建立一个统一方程，以此为工具，有时可较好地克服上述困难，也较易看出它们有关结论的关联，从而加深我们对圆锥曲线本质的理解.

若圆锥曲线C的一个焦点为F，与其相对应准线为l，离心率为e，以F为坐标原点，过F且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设直线l的方程为x+p=0（p>0），圆锥曲线C上任一点M（x，y），M至l之距为d，则由圆锥曲线的定义，有=e，即=e，

整理得（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0. （1）

当e≠1时，此圆锥曲线的两轴方程为x=，y=0，中心O′

当e=1时，圆锥曲线有一条轴，y=0.

下面举数例加以说明.

例1 （2015年全国高考数学（全国新课程）卷第20题的推广）

已知直线l不过圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0（e≠1）中心O′，也不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证：直线O′M与直线l的斜率之积为e2-1，是一定值.

证明：由题意，直线l的斜率存在，且不为0，可设其方程为y=kx+b（k≠0），代入C的方程（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0，

例2 （2015年全国高考福建数学（文科）卷第19题的推广）F为圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0的焦点，过F的直线交C于A，B两点，G（-p，0），求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

证明：欲证结论成立，即欲证F至GA之距d1与F至GB之距d2相等.

直线GA的方程为y=（x+p），即y1x-（x1+p）y+py1=0，

例4 （2014年全国高考广东数学（理科）卷第20题的推广）

若动点P（x0，y0）为圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0外部一点，且过P点作圆锥曲线C的两条切线相互垂直，求P点轨迹方程，并判断是何种曲线.

解：设过P（x0，y0）的切线的斜率存在且不为0，则可设其方程为y=kx+（y0-kx0），代入圆锥曲线方程（1），整理得（1-e2+k2）x2-2[pe2-k·（y0-kx0）]x+（y0-kx0）2-pe2=0.

由题意有[pe2-k·（y0-kx0）]2-（1-e2+k2）·[（y0-kx0）2-p2e2]=0，

+y=，p点轨迹是一个圆，其中当e=时，是点圆；e>时，是虚圆.

评注：此题结果表明，当圆锥曲线C是一椭圆时，P点轨迹是一个圆；当C是一抛物线时，P点轨迹是一条直线，这条直线恰为抛物线的准线；当C是一双曲线，e<时，P点轨迹是一个圆，e=时，P点轨迹是一个点，此点恰为双曲线的中心，e>时，P点轨迹不存在.

例5 （《数学通报》数学问题2087的推广）

过圆锥曲线的一个焦点作圆锥曲线任一切线的垂线，求垂足的轨迹是何种曲线.

解：设圆锥曲线的方程为（1），垂足（x0，y0），则仿例4也可得，[2pe2x0+（e2-1）x+p2e2]k2+2[（1-e2）x0y0-pe2y0]k+[（e2-1）y+p2e2]=0.

因为圆锥曲线（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的一个焦点（0，0），故由题意=-，k=-，代入上述方程，整理得（e2-1）（x+y）2+2pe2x0（x+y）+p2e2（x+y）=0，

显然x+y>0，故有（e2-1）（x+y）+2pe2x0+p2e2=0.

当圆锥曲线切线的斜率不存在或为0时，此方程也成立.

垂足的轨迹是一个圆.

评注：本题特例椭圆时中解答，通过联立方程组求交点坐标，计算量不小；然后计算x2+y2，又要用代数恒等变形的技巧，均不及此种解法简单明快，且一箭三雕，同时解决了椭圆、双曲线、抛物线的垂直切线的交点的轨迹问题.

例6 过圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的焦点F的直线l1交圆锥曲线于A、B的两点，交定直线l2：x=x0于P点，设=λ1，=λ2，则λ1+λ2=-2

为定值.

证明：显然，F（0，0），故可设l1的方程为y=kx，代入圆锥曲线C的方程

评注：若l2为焦点F相对应的准线，则λ1+λ2=0；若l2的方程为x=-，则λ1+λ2=-1；若l2为椭圆的短轴或双曲线的虚轴，则λ1+λ2=.

例7 过点P（x0，y0）作圆锥曲线（1-e2）x2-2pe2x+y2-p2e2=0的两条弦AB、CD，使这两条弦的斜率之积为常数λ，设AB、CD的中点分别为M、N，则

证明：设直线AB的方程为y=kx+（y0-kx0），代入方程（1），整理得，