猜想·探究·证明

杜成智

[摘 要] 学生经常证题，但大多数是在已有结论的情况下进行的（称这类问题为封闭题型）. 如果向学生适当提出一些不具有现成结论的问题让学生寻求结论（称这类问题为开放题型），那么这对提高学生的学习兴趣和数学素养，培养学生的研究探索能力，无疑是很有益的. 笔者在一堂数学活动课上将一道课本例题设计成一组开放题，借助《几何画板》给学生探索的平台，引导学生主动探究，真实地展现思维过程，使学生兴趣盎然.

[关键词] 学习兴趣；探究能力；数学素养

问题构思

一道课本例题：苏科版八下P82例5.

已知：如图1，在正方形ABCD中，点A′，B′，C′，D′分别在AB，BC，CD，DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′.

求证：四边形A′B′C′D′是正方形.

问题1：如图1，点A′，B′，C′，D′是正方形AB，BC，CD，DA边上的动点，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四边形A′B′C′D′是什么四边形？

下面按这样的程序研究此问题：

（1）观察图形并猜想结论：拖动A′和B′点，使图形变化. 观察猜想，学生一致判断四边形A′B′C′D′为平行四边形.

（2）数据验证：现测算四边形A′B′C′D′的四个角的度数，发现拖动A′和B′点，四边形A′B′C′D′四个角的度数值不断变化，但始终保持两组对角相等，因此它是一个平行四边形.

（3）理论证明：可证△AA′D′≌△CC′B′得A′D′=B′C′，同理得A′B′=C′D′，可得结论，问题得以解决. 不妨将其称为正方形的内接平行四边形. 那么它可以再特殊化吗？

思考2：四边形A′B′C′D′能为矩形吗？如果可能，什么条件下它是矩形？

观察图2，部分学生从刚才测算角度的过程中发现∠D′A′B′可以为90°. 判断只要∠1+∠2=90°即可. 需证△AA′D′≌△BB′A′，则要求AA′=BB′=CC′=DD′，使得四边形A′B′C′D′能为矩形.

此条件确能保证四边形A′B′C′D′为矩形，此时四边形A′B′C′D′既是矩形也是正方形. 但问题是这个条件必要吗？继续拖动A′点，观察角度变化. 如图3，又出现了∠D′A′B′=90°的情况. 此时AA′≠BB′ ，但AA′=AD′，A′B=BB′，也能使四边形A′B′C′D′为矩形. 说明仅仅从图形出发不能完全反映所有情况，那么还有其他情况吗？很多学生拿起笔来，想通过数据运算得到完整的答案. 这实质是由图的研究转为数的研究，或者说转为数形结合的研究.

设正方形ABCD的边长为1，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，则A′B=1-x，AD′=1-y. 要使∠D′A′B′=90°，则∠1+∠2=90°. 那么只需△AA′D′∽△BB′A′即可，则要求=.所以=. 解之得x=y或x+y=1.正是刚才的两种情况.

结论：正方形ABCD的内接平行四边形A′B′C′D′，当AA′=BB′或AA′+BB′=AB时，四边形A′B′C′D′能为矩形. 其中满足前者条件时，四边形A′B′C′D′能为正方形.

联想开来

进一步思考：将正方形ABCD换成非正方形的矩形，又会怎样呢？

问题2：如图4，矩形ABCD（AB≠AD）中，点A′，B′，C′，D′是AB，BC，CD，DA边上的动点，使AA′=CC′，BB′=DD′.

思考1：四边形A′B′C′D′是平行四边形吗？

基于问题1的操作，可以判断四边形A′B′C′D′为平行四边形. 证明类似于问题1，这里略去. 能否再推进一步呢？

思考2：四边形A′B′C′D′可能为矩形吗？

如图5，拖动B′至B位置，将A′从A至B移动，测算∠A′B′C′的度数，发现∠A′B′C′≠90° ；再将B′移至B位置，继续测算……多次尝试未发现∠A′B′C′=90°. 这时几乎所有学生放弃了尝试，认为：非正方形的矩形中不存在内接矩形. 但几个为数不多的学生仍未放弃. 终于一位学生试验出∠A′B′C′=90°的情况！此时，AB=4，AD=5，BB′=4，AA′=2（如图6）. 因此有结论：非正方形的矩形中存在内接矩形！

深究下去

这位学生艰苦地尝试出结论，高兴之余不禁要问：此结论在什么条件下成立呢？这深深地吸引了其他同学. 于是大家再利用数形结合进行推算.

先取具体的数来算：取AD=5，AB=4，设AA′=CC′=x，BB′=DD′=y.

要使得∠D′A′B′=90°，则∠1+∠2=90°. 那么△AA′D′∽△BB′A′，则=，则=. 化简得x2-4x+5y-y2=0. 将其视作关于x的方程，在Δ=16-20y+4y2≥0时有解，此时y∈（0，1]∪[4，5）.

结论：当y∈（0，1]∪[4，5）时，四边形A′B′C′D′为矩形，且当y≠1和4时，B′，D′点确定，但A′，C′可处于两个不同位置，即有两种情况；当y=1或4时，情况唯一.

下面讨论更一般的情况：设AD=a，AB=b，AA′=CC′=x，BB′=DD′=y，由上面推导可知，当=时，四边形A′B′C′D′为矩形. 则要求方程x2-bx+ay-y2=0要有解，所以Δ=b2-4ay+4y2≥0，即b2≥-4y2+4ay. 如图8，当y∈（0，y1]∪[y2，a）时，四边形A′B′C′D′为矩形，且当y≠y1和y2时，B′，D′点确定，但A′，C′可处于两个不同位置，即有两种情况；当y=y1或y2时，情况唯一.

启示

这节数学活动课给笔者的启示：这类开放型题型，在结论不明确的情况下，让学生试验、猜测，甚至在错误中探索前进，无论是证实猜想还是否定猜想，他们都向真理靠近了一步，培养了学生的数学素质. 学生在使用计算机进行尝试到发现结论到验证猜想的过程中，很好地体验了数学发现、创造的快乐，其收获也是巨大的. 正如荷兰数学教育家费赖登塔尔所说“学习数学的唯一正确方法是实现再创造，也就是由学习者本人把要学的东西发现或创造出来”. 由于学生的认知水平的限制，在这个问题中不易独立完成、设置再发现的过程，利用《几何画板》平台进行实验，为再发现创造了条件，优化了数学教与学的过程.

这种以探究发现为主获取数学知识的学习方式促使学生充分地参与学习，体会其中的数学乐趣，学生个性得以施展及和谐发展，较好地培养了学生分析问题，探究、解决问题的能力和创造能力.