“小题”亦可“大作”

任汉平

[摘 要] 复习教学要摈弃题海战术，通过抓好例题的设计，体现小题目大思想，实现题量少而探究深的效果，同时带动各知识点的综合复习、各解题思想与方法的综合运用. 本文以利用Excel软件深入解决一道平常的习题为例，探究初中数学复习课的上法.

[关键词] 初中数学；Excel；数学实验

当前初中数学复习教学的千人一面、陈题不断、重复操练成为学生复习积极性培养的阻碍因素，如何在复习旧知中让学生得到新的感悟成为复习教学突破尴尬的一大方向.在第二轮中考综合复习阶段，笔者将Excel软件的运用纳入到一道复习题的解答指导过程中，发现了复习教学的一种新的境界，现展示这一复习片段，与同行分享.

复习题

如图1，一个3 m长的梯子AB斜立在墙面OA上，AO长现为2.5 m.如果梯子的顶端A沿墙面下滑到C的位置，现AC=0.5 m，则B沿OB方向移至D处，请问：现在的BD长是否等于0.5 m？如果C点不断移动，AC与BD是否永远相等？

教学过程

1. 自主探究中产生问题解决的需要

出示题目后师生讨论：在未经计算的情况下，学生普遍猜测认为AC与BD不相等.直观思维是数学思维的重要组成部分，数学史上许多发现无不借助直观思维来打基础，经科学计算而得出. 教师对学生的这种猜测予以肯定并要求他们提供足够的理由.

生 1：我认为 AC 和 BD 不相等.假如C点移到O处，则AC的长为2.5 m，而BD=OD-OB=3-OB，而OB==，为无理数，所以BD也是无理数，由此可以说明AC不等于BD.

生2：我认为他只是说明了他认为的特殊情况，那也只能说明BD不一定等于AC.

师：非常好！极限是一个重要的数学思想，我们在初中学习中遇到的函数思想、数形结合思想等不但有助于我们解题，还能培养我们良好的学习习惯.刚才生1的可贵之处就用到了极限思想，通过这种极端的例子告诉我们AC与BD在特殊情况下是不相等的；而生2则对生1的表述进行了纠正，指出不能以偏概全，即“存在AC≠BD的情形，并不能说明任何情况下都不存在AC=BD”，考虑问题就更全面了.那么AC与BD究竟什么时候相等呢？怎么才能建立AC与BD之间的关系模式，使他更方便地为我们的探究服务呢？

生3：我们可以建立两者之间的函数关系，比如AC关于BD的函数，随着自变量AC的变化，BD也随之变化.

生4：我认为建立BD关于AC的函数更好，因为刚才分析AC的值是有理数时，而BD的值却可能是无理数，自变量为无理数不方便画图啊！

师：太好了，那么这种关系是不是需要我们通过计算找到对应的数组，并把他们在平面直角坐标系上标示，画出图像呢？

建立函数解析式：当 AC=0.5 m或 AC=3 m都是特殊的数据点.首先请大家尝试写出BD关于AC的函数解析式. （师生共同讨论得出函数解析式BD=OD-OB（学生愕然：因为二次函数的得出已经让大家颇费周折，难不成在复习阶段，老师还要拿个更难、更深奥的东西出来折腾我们？）

师：今天我们尝试运用一种新的工具来解决大家遇到的同类题，那就是大家非常熟悉的Excel软件.

2. 上机并引导数据的产生

师生共同上机，学生四人一组，进入Excel程序. 指导统一操作如下：

（1）新建文档，将A1单元格命名为“AC（m）”（“m”表示“米”），在A2单元格中输入“0.1”，A3单元格中输入“0.2”，选中A1，A2，拖动右下角的“+”号，自动填充到A31.

（2） 将B1单元格命名为“OD（m）”，B2单元格输入函数公式“=SQRT（9-（2.5-A2）^2）”，回车即成.选取B2拖动填充B列表格.？摇

（3）第三列中C1单元格命名为“OB（m）”，其每格数值是固定的，计算公式为“SQRT（9-2.5^2）”，同样回车并进行整列拖动. （图2）

（4）将D1单元格命名为BD（m），D2单元格的公式为“=B2-C2”，同样回车后下拉.

3. 讨论寻找特殊点

师：我们已经让电脑帮助我们计算出了30组变量与自变量的值，从表格可以观察到AC与BD在什么时候最接近. 想一想这一发现背后的意义是什么？

生1：当AC=0.9 m 时，AC与BD非常接近.

生2：当△COD 与△BOA 全等时，AC与BD相等！

师：完全正确，这是一种特殊情况，虽然我们刚才只讨论到AC与BD不一定相等，现在却找到了AC与BD能相等的特殊情况应该在自变量AC处于0.9到1之间的区域内，今后在整理数据时勤于观察、仔细思考，让数据为我们的研究服务. （图3）

4. 作出函数图像

师：下面我们利用Excel尝试作 BD关于AC的函数图像，观察 BD 随 AC 变化的趋势情况. （图4）

制作方法：（1）增加一列数字E2=0.1，E3=0.2，下拉至出现数值3为止，按Ctrl键并同时选中表1中AC与BD两列数据及E2至E31.（2）依次选择：插入—图表—散点图—其中一种散点图形状. （3）假如设BD=y，AC=x，系列1代表的正好是y随x变化的图像，而系列2代表的是一次函数y=x.

师：由图3 可知，BD （y）与 AC（x） 在 AC<1 时非常接近，且两个图像有一个交点，请问这个点代表的是什么？而后系列2的图像在系列1的图像的上方，这说明了什么？同学们再想一想，这两个系列的图像会有几个交点？为什么？（讨论略）

反馈与总结

总结本次复习教学过程，有以下可取之处：

1. 老面孔，新教法

这一习题通过一道历年中考中经常出现、教师也非常熟悉的习题展开深入教学，前几年这种习惯的教学笔者往往在师生共同探讨中三四分钟就解决问题了，教学并无任何特色，学生也并无多大兴趣，而现在通过软件操作的介入，活用并提升了学生在信息课上学到的软件操作技能，培养了学生对两门学科的双重兴趣与情感.从兴趣培养角度看，全班学生对在机房上数学课非常有兴趣，特别是有不少数学成绩并不理想但对电脑操作感兴趣、有能力的学生，他们对这样的课产生了兴趣，而且也对数学学习萌发了新的热情.

2. 小题量，大操作

一般的中考综合复习中，教师会在一节课中设计十多道题让学生研究，这样学生读题分析的过程就占去了大量的时间.而真正的研究过程却因为时间限制而不能深入，往往是蜻蜓点水式，只见题量却没见复习效果出来.这次教学中以勾股定理为引子，串联了相似三角形、函数、方程、不等式等多方面知识，体现了极限、数形结合等解题思想，而且本课又借助Excel辅助授课作为数学与信息技术整合教学的有益尝试，在知识与能力跨度上是非常大的，综合性复习理该如此.

3. 轻结果，重过程

从本题的题目设计看，并没有标准的数据答案让学生来得出.而从题目分析与解决的过程看，思维含量却极为充足.教师对学生的表达能给予充分的肯定，满足了学生的探究欲望，也培养了学生探究过程中的情感态度与价值观.

4. 多整合，少片面

科学技术的发展，课程与课程间的联系会越来越广泛，整合性课程是今后教改的一大方向.除了信息技术在本课中的充分渗透并提升了研究效益之外，本课还渗透了科学实验的成分，学生在操作电脑时完全是以一名研究者的身份，他们体验到了实验的乐趣.学生一旦能学会一次利用软件制作函数图像，有助于作出初中学过的其他函数图像，对今后高中函数的学习也是非常有利的.

总之，在数学教学中渗透计算机技术的运用，借软件来改进数学教学，提升复习课堂的效益，是本人也是数学教师值得深入探讨的内容.本文权作抛砖引玉，不当之处务请同行赐教.