一道课本练习题及其逆命题的应用

肖维松

本文现将人教版八年级（下）中的一道习题及其逆命题在中考中的应用介绍如下，供初中师生教与学时参考.

题目如图1，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？

解因为l1∥l2，所以S△ABC=S△DBC（同底等高的三角形面积相等）.还可以画出与△ABC面积相等的三角形若干个，只要同底BC，第三个顶点在l1上即可.

认真研究本题可以得到以下两个命题：

命题如图1，若直线l1∥l2，则S△ABC=S△DBC；

逆命题如图2，若S△ABC=S△DBC，则有直线l1∥l2.

这个命题及其逆命题，我们暂称为梯形的两个结论：

（1）平行结论：若AD∥BC，则有S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，所以S△AOB=S△COD.

（2）面积结论：若S△AOB=S△COD，所以S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，则有AD∥BC（进而得到一系列的相似）.接下来，我们举例说明上述两个结论在解题中的应用.

1平行结论的应用

例1（2015年天水市）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，E是BC上一点.如果△DEC的面积是2015cm2，求△BEF的面积.

解要求S△BEF，如果想求出底边及底边上的高是很困难的，但根据已知条件可知图中有两个梯形：即梯形AECD和梯形ACFB，故只要连结AC后，结合平行结论可得S△AEC=S△DEC，S△AEC=S△BEF，从而由等量关系的传递性可求得S△BEF=S△DEC=2015cm

例2（2010年南宁市）已知正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图4所示.点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）.

解连结BD、GE、FK.因为ABCD、BEFG和RKPF都是正方形，所以BD∥GE∥FK，故由平行结论知，S△DGE=S△BGE，S△GEK=S△GEF，因此S△DEK=S△DGE+S△GEK=S△BGE+S△GEF=S正方形BEFG=16.

例3（2013年宜春市）如图5所示，长方形ABCD中，AC与BE相交于F，三角形BCF的面积是12，三角形CEF的面积为8，求四边形ADEF的面积.

解连接AE，因为ABCD为长方形，所以AECB是梯形.故由平行结论知，S△AEF=S△BCF=12，而S△AEF∶S△CEF=AF∶FC（因为两三角形等高）=12∶8=3∶2，又S△ABF∶S△BCF=S△ABF∶12=AF∶FC（因为两三角形等高）=3∶2，故S△ABF=18，从而S四边形ADEF=S△ADC-S△EFC=S△ABC-S△EFC=S△ABF+S△BCF-S△EFC=18+12-8=22.

例4（2013年泰州市）如图6，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）.

（1）求反比例函数的关系式；

（2）将直线y=x-2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式.

解（1）将点B（m，2）代入直线方程y=x-2中，得m=4，故求得反比例解析式为y=8x.（2）将直线y=x-2向上平移a个单位，设与双曲线交于点C，交y轴于点D，连结DB.因为直线y=x-2与直线y=x-2+a（a>0）的x前面的系数均为1，故两直线平行，所以由平行结论知，S△ABD=S△ABC=18.因为线段AD=-2+a-（-2）=a，从而S△ABD=12×4a=18（因为B点的横坐标m=4）故a=9.所以直线y=x-2平移后的直线的函数关系式为y=x+7.

2面积结论的应用

例5（2012年安顺市）如图7，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上且CD于BE相交于点F，已知△BDF面积为6，△BCF面积为9，△CEF面积为6，求四边形ADFE的面积.

解连接DE，因为S△BDF=S△CEF=6，所以S△BDC=S△CEB=6+S△BCF=6+9=15.则由面积结论得DE∥BC，所以S△DEF6=69，所以S△DEF=4，又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADES△ADE+25=（DEBC）2=（23）2=49，所以S△ADE=20，所以S四边形ADFE=S△ADE+S△DEF=24.

3平行结论和面积结论的合用

例5（2014年淮安市）如图8，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3时，求直线AM的解析式；（3）当m>1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由.

解（1）将A点坐标代入xy=k中，得k=1×6=6.

（2）因为M（m，n）点也在双曲线xy=6上，且m=3，故3n=6，所以n=2，故M（3，2），又A（1，6），故设AM方程为y=kx+b，将M和A点坐标同时代入y=kx+b中，通过解二元一次方程组可求得AM的解析式为y=-2x+8.

（3）因为MP⊥x轴，AB⊥y轴，所以MP∥y轴，AB∥x轴，从而由平行结论知S△ABO=S△ABP，S△MPO=S△MBP，又由双曲线面积不变性的性质知S△MOP=S△ABO=12K=12×6=3.故得S△ABP=S△MBP.因此由面积结论知BP∥AM.

综上可知，注意课本习题及逆命题的研究，符合新课程关于“培养学生探索精神和创新意识，激发学生学习数学积极性”的理念要求.教学实践表明，这样的专题研究，利于学生融会贯通课本知识，提高学习效率，利于启迪学生的思维，开阔视野，提高科研水平，利于学生提高数学思维水平和综合运用知识的能力，对于启迪学生思维、掌握基本技能和技巧，对于延伸、拓展教材的内涵，对于开阔视野、启迪思维、提高综合解题水平，均颇有益处.