分数的乘法和除法

胡重光　周　志



分数的乘法和除法

胡重光周志

分数的加减法本文不作探讨，但需要指出一点：由于异分母分数的加减法可转化为同分母分数的加减法，而同分母分数的加减法只需将分子相加减，所以整数加减法的运算定律和性质都适合分数加减法。

一、分数乘法

分数乘法运算是小学数学的难点之一，教材分为分数乘整数、整数乘分数和分数乘分数三类分别教学。这一分法就表明，乘法是需要区分因数顺序的。从教材中的例题可知，分数乘整数表示若干个相同的分数相加，整数乘分数则表示求一个数的几分之几是多少，意义完全不同。

（一）分数乘整数

分数乘整数的教学过程如下图所示。

这里有一个矛盾：既然把分数乘整数与整数乘分数分开教学，就表明两者的意义是不相同的，但是上面的“男嘉宾”却说3个既可写成×3，又可写成3×。那么两者就没有区别了。

还有一个问题是，这里其实不需要画图分析。因为对六年级的学生来说，分数的加法无论是意义还是算法都已非常熟悉。不必要的重复不但浪费时间，而且影响学习兴趣。这个问题完全可以让学生独立解答，自己列式、自己计算，以提高他们独立思考和主动探索的能力。

（二）整数乘分数

这里采用了类比的方法，先给出一个整数的例子，再将分数的情况与它作类比。但既然是类比，第二个“想”就应与第一个“想”结构相同，即应为：

但是纯粹从数学的角度教学，儿童是难以理解的，必须从儿童熟悉的实例出发。教材虽然举了实例，接下来却没有继续贯彻“现实数学”的原则。这时应该首先揭示问题的数量关系：水的总升数＝每桶升数×桶数。

然后与学生讨论：如果桶数为分数怎样列式计算？最后得出，由于数量关系相同，不管是为整数还是为分数，都应用同样的算法，所以求桶的升数应该用每桶升数乘。

由此我们看到，抽象的数学与学生熟悉的现实问题相结合，就变得具体、亲切，容易接受了。紧密联系儿童的生活实际，是小学数学教学的一个法宝。

例如：火车每小时行驶120公里，照这样的速度，3小时行驶多少公里？小时行驶多少公里？

分析：根据“路程＝速度×时间”的数量关系式，第一问的算式是：120×3，其意义是：求120的3倍是多少。

综上所述我们得到：整数乘分数，把这个整数与分子相乘作积的分子，分母不变。

这一法则与分数乘整数的法则相同。由此立即得出，乘法交换律对整数乘分数也成立。

以上的推导过程有两点值得注意，一是始终根据实际意义得出算法。这样做不但联系了生活实际，儿童感兴趣，而且道理表述清楚，儿童容易理解。二是先学习分子是1的情况，再学习分子不是1的情况，则后者的推导就很容易了。

（三）分数乘分数

这一部分内容的教学过程如下图所示。

与整数乘分数的教学不同，这里用图详细地介绍了算理和算法，有理有据。但这一过程是相当繁琐的。实际上，分数乘分数的算理和算法都可以用实例很简单地得出。例如：拖拉机每小时耕地公顷，小时耕地多少公顷？

因为“耕地总面积＝每小时耕地面积×耕地时间”，所以算式是：×，其意义是：求的是多少，因此算法是：先将平分成4份，再乘3，即：

这表明，两个分数相乘，只需将分子、分母分别相乘即可。由此我们得出：分数乘分数，把分母与分母相乘作积的分母，分子与分子相乘作积的分子。

这里利用了这样一个道理：将一个分数缩小（扩大）几倍，相当于将它的分母扩大（缩小）几倍。根据分数的意义，这是很明显的。类似地，将一个分数扩大（缩小）几倍，相当于将它的分母缩小（扩大）几倍。这两条性质很有用，我们完全可以在学习分数的基本性质时把它们作为推论提出来（当然不出现“推论”这一术语）。

有了交换律和结合律，几个分数相乘就可以按任意的顺序进行，十分方便。

三、分数的除法

（一）分数除以整数

分数除以整数的教学与分数乘整数类似，过程如下图所示。

这类问题意义明确，算法简单，既然已要求学生“自己试着折一折，算一算”，教材再画图分析、详细推导，似乎就越俎代庖了。

由此我们得到：分数除以整数，可以用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变。但是第二问÷3不能用这种方法，因为4不能被3整除。这时联想到前面一个数乘分数的意义或分数的性质可知也就是说：除以整数，等于乘这个整数的倒数。

二、整数除以分数和分数除以分数

这两类问题教材用同一个例子引入，教学过程如下图所示。这里应对“÷”写成“×”的道理进行细致的教学，不能简单地要求学生说出来。一个数除以分数比分数乘法更难理解，需要结合实例并与整数除法作类比。

分析：第一问的数量关系是：速度＝路程÷时间，算式是：6÷2，其意义是：已知一个数的2倍是6，求这个数是多少。第二问的数量关系相同，算式应该是：÷，其意义是：已知一个数的（或倍）是，求这个数是多少。

于是我们得到：分数除以分数，等于乘这个分数的倒数。

综合前面分数除以整数的法则，我们得到：分数除以一个数，等于乘这个数的倒数。（本文是基金项目湖南省教育科学“十一五”规划课题（编号：XJK013 CGD051），“课程标准小学数学实验教材研究”、湖南省教育科学规划课题（编号：XJK013CJC004）、湖南省省级重点建设学科“课程与教学论”建设项目部分成果）

（作者单位：湖南第一师范学院长沙市实验小学）