初中数学易错题的解析与思考

◎王义勇

初中数学易错题的解析与思考

◎王义勇

在数学习题的解题过程中，因为题目本身或者其它客观原因会干扰学生顺利完成解题过程，使学生们的解题过程产生错误。分析研究这些错误的原因，能够使解题错误发生的机率大大降低。本文就解题的错误原因展开分析与研究。

初中数学；易错题；解析思路

一、概念模糊引起的易错题

在初中数学学习中，许多学生存在着不能快速掌握学习方法等问题，而且教师对于讲题过于重视，并未注重学生对概念的理解程度，这就会造成许多学生面对易错题时理解不够，且自身数学知识体系不完善与不扎实，从而对学生数学推理的可靠性与精准性造成不同程度的影响。比如，在对下面这道“因式分解”题的概念理解时，许多学生会常犯一下几种错误：

（1）因式分解a2＋b2－2ab－1

容易错解为：原式等于（a－b）2－1

分析错误原因：学生只是将原式中的部分数字进行化解是错误的根本原因，这造成学生对原整式化成积的忽略，这种题型，是初中数学中学生易做错的题型之一。

（2）因式分解（x＋2）2－（2x＋1）2

容易错解为：原式等于（x＋2－2x－1）（x＋2＋2x＋1）＝（x－2x＋1）（x＋2x＋3）

分析错误原因：学生在做题时并未彻底分解第一个因式（x－2x＋1），彻底分解之后应该为（x－1）的因式，学生在做这类型的数学题时，往往会忽略这一点，造成这种结果的原因与概念掌握不扎实有直接关系。

二、忽视隐含条件引起的易错题

许多学生在解题时，只着眼于题设中已经给出的明显条件，缺乏挖掘题目中所隐含条件的能力，特别对某些综合性的数学问题，往往因考虑问题不严密，致使解答时出现了不完美，因而出错。

例如：在解关于二次方程、二次函数的有关习题中，学生经常会忽略考虑二次项系数不为零、根的判别式△≥0、顶点位置等这些隐含条件，致使解题时出错。

例1：已知方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

错解：因为原方程有两个不相等的实数根，

所以△＞0，即＞0，解得k＞－3

分析：由于忽视隐含在题目中的条件，即，故出现错解。

例2：已知二次函数y＝2x－4x＋1，求当0≤x≤5时，y的变化范围．

错解：当x＝0时，y＝2×0－4×0＋1；当x＝5时，y＝2×5－4×5＋1＝31．

所以当0≤x≤5时，1≤y≤31．

分析：错解的原因是对二次函数的性质缺乏了实质性的理解，忽视了抛物线顶点的位置．事实上，在抛物线对称轴的x＝1左侧，y随着x的增大而减小，于是当0≤x≤1时，y的范围是：－1≤y≤1，而在抛物线对称轴的x＝1右侧，y随着x的增大而增大，于是当1≤x≤5时，y的范围是：－1≤y≤31，因此综上可知：当0≤x≤5时，y的变化范围是－1≤y≤31．

三、公式不熟悉引起的易错题

公式是解数学题的基础，要想学好数学，必须能够掌握并灵活应用公式。有些学生学习公式时死记硬背，看似会用公式，实则对公式不熟悉，对公式的理解只限于表面。极容易因为新旧公式的前后干扰，造成所学知识混淆而产生错误。

例如：下列计算中正确的有（）：

①（a＋b）2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1）（－5a－ 1）＝25a2－1；④（－a－b）2＝a2＋2ab＋b2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

错解：B或C或D

错误分析：本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的灵活应用。

①（a＋b）2应等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2。中间一项是两数乘积的2倍，不能漏掉。

②（x－4）2应等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16。中间一项是两数乘积的2倍，不能漏掉。

③（5a－1）（－5a－1）应等于1－25a2，而不是25a2－1。－1在两括号中符号没变，相当于公式中的第一个数，5a在两括号中符号改变了，相当于公式中的第二个数。先改写成（－1＋5a）（－1－5a），就不难做对了。

正解：A

纠正措施：在教学时，绝不能简单的把公式抛给学生。应重视公式的形成过程，通过推导、数形结合等方式，应重视公式的形成过程，通过推导、数形结合等方式，引导学生体悟公式的本质特征，从而增强学生应用公式的能力。

四、重视默认条件引起的易错题

很多学生在解题时，往往根据自身的解题经验，会不知不觉地误将一些自己默认的条件附加在已知题设上，或者是将一些根据特殊情况得出的结论作为解题的依据，甚至还有部分学生想当然，会自己制造出某些来路不明的条件附送在已知条件上，当这些条件轻易去用时，自然会出现某些不合理、不严密的结论，从而导致解题错误。

例如：在运用等腰三角形的“三线合一”这一性质解题时，学生容易忽略等腰三角形这个前提条件。

例4：已知，如图3，在△ABC中，D为BC中点，AD平分∠BAC．

求证：AD⊥BC．

错证：∵AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

分析：因为学生在解题时，对等腰三角形的“三线合一”这一结论已经耳熟能详，但忽略了“三线合一”运用的前提是此三角形必须为等腰三角形，因此在解题时往往会把等腰三角形这个条件附加在已知条件上，从而导致错误解．

此题的正确解法思路不唯一，但不能直接根据已知条件证明△ABD≌△ACD．

思路一：从“中点延长法”的思路去考虑，如图4，根据证明△ABD≌△ECD（SAS）后再证明．

思路二：应用“中点延长法”，证明四边形ABEC为菱形，根据菱形性质，从而得证．

思路三：可以作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F如图5，根据AD为中线得S＝S，又由角平分线的性质得DE＝DF，从而得证．

这种类似的错误主要是默认了已知三角形为等腰三角形，原因是学生思维有一定的障碍，他们在已知的图形中没有想到运用辅助线，找不到全等的条件，故会想当然地附加条件来证明全等。

五、结束语

解数学题一定要严谨、周密，既不能“丢解”，又不能“增解”，许多题目中，命题者经常会刻意设置陷阱，以考查学生数学思维的严密性。因此在平时的教学中，利用“易错题”作为范例来帮助学生养成认真、全面地考虑问题的习惯，培养学生对习题缜密、周全的分析能力。

（作者单位：江西省德安县第二中学 330400）