磨课，磨出精彩*——以“二次函数复习（基础知识）”为例

☉山东省东营市胜利第六中学　于　彬☉山东省东营市孙庆民名师工作室　孙庆民



磨课，磨出精彩*——以“二次函数复习（基础知识）”为例

☉山东省东营市胜利第六中学于彬
☉山东省东营市孙庆民名师工作室孙庆民

*本文系东营市教育科学十二五规划课题“反思性课堂教学模式”下中学作业改革的研究与实践（125DYJG195）和“导学·反思”和谐高效课堂教学的实践与研究（125DYJG210）的阶段性研究成果.

2016年1月8日，东营市孙庆民名师工作室举行教学研讨活动，笔者作为成员之一执教的“二次函数复习（基础知识）”受到了听课老师的一致好评，也收到了较好的课堂教学效果，为此将教学设计的简案、课堂精彩生成及磨课过程中的一些体会和感悟进行简单梳理，求教于大家，欢迎各位专家和老师批评指正.

一、教学简案

（一）学习目标

（1）掌握与二次函数有关的基础知识（平移问题、最值问题、对称问题），并能灵活处理与之相关的系列问题；

（2）在问题解决过程中体验成功的乐趣，并体会相关数学思想和方法（数形结合、转化等）.

（二）教学流程

问题1：如图1，该图是一段残缺的抛物线，根据图像你能得到哪些信息？

预设意图：通过问题1意在复习一类与二次函数有关的典型问题（相关符号判断问题），引导学生得出a>0、b<0、c<0、abc>0、b2-4ac>0、2a+b=0、a+b+c<0，进而掌握各种字母或代数式符号或值的判断方法.需要注意的是在得出结论后教师要进行适当追问，引导学生进行更深入的思考.

问题2：如图1，添加一个条件你能求出该抛物线所对应二次函数的解析式吗？

预设意图：通过问题2引导学生回忆二次函数的三种形式.对于一般式，要使学生明确对称轴方程和顶点坐标公式；对于顶点式，要使学生明确顶点坐标和顶点式方程的关系；对于交点式，引导学生体会二次函数与x轴的交点的横坐标和与之对应的一元二次方程的根之间的关系.

图1

问题3：平移问题.

（1）将该图像向上平移两个单位长度，再向左平移三个单位长度，所得到的图像所对应的二次函数的解析式为：______________；

（2）该图像经过平移能否得到二次函数y=x2-8x+10所对应的图像？

预设意图：通过问题3使学生掌握与二次函数图像平移有关的问题，使学生明确二次函数图像的平移不改变形状，改变的仅仅是顶点坐标.

问题4：最值问题（如图2）.

（1）y的取值范围是什么？

（2）当2

（3）当-2

预设意图：通过问题4使学生掌握二次函数最值的三种不同类型：不限制自变量的取值范围、自变量的取值在对称轴的同侧、自变量的取值在对称轴的两侧，并掌握相关处理方法和技巧.

问题5：对称问题（如图2）.

（1）M是该抛物线对称轴上的任意一点，请求出AM+CM的最小值，并给出点M的坐标；

（2）M是该抛物线对称轴上的任意一点，请求出△ACM的周长的最小值.

图2

预设意图：问题5具有一定的综合性，但相对二次函数的其他综合问题算是非常简单的，故将其放在基础知识复习中，为第2课时的综合问题复习作好铺垫.

二、精彩生成

生成片断1：问题2的教学.

生1：我添加点C的坐标为（0，-3），然后利用待定系数法设该二次函数的解析式为：y=a（x-1）2-4（a≠0），代入计算就可以了.

师：嗯，不错的想法.该生利用顶点式求出了该二次函数的解析式，如果添加相同的条件，利用一般式能否求出该解析式呢？生2说一下吧.

生2：我觉得缺一个条件，设该二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），然后将点B、C的坐标代入，得到了两个方程，但是有三个未知数，好像求不出来……

师：谁能帮一下生2，谁能告诉他忽略了什么？

师：还有其他方法吗？

生4：我添加的是点A的坐标为（-1，0），同样利用顶点式也可以算出解析式.

生5：如果按照生4添加的条件，可以根据对称性得到抛物线与x轴的另外一个交点的坐标，进而可以利用交点式方程求出.

生成片断2：问题4（3）的教学，

生6：我感觉画草图利用数形结合有点儿麻烦，不如根据抛物线的对称性将位于对称轴左侧的点转化到抛物线对称轴的右侧，这样就转化成了第二个问题，而且比较快……

师：嗯，这是一个非常好的方法，同学们可以发现，上面生5也利用抛物线的对称性解决了问题，可见抛物线的对称性是它的一个非常重要的性质，希望同学们掌握这种方法，并能够欣赏抛物线的“对称美”.

三、体会和感悟

1.磨问题：从“凌乱无序”到“井然有效”

美国心理学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏.”好的问题可以启发学生深层次的思考，好问题可以起到事半功倍的效果.本课例定位于中考一轮复习，而且为二次函数复习的第1课时，以唤起学生对基础知识的记忆为主（第2课时为二次函数综合问题，第3课时为二次函数应用问题），因此设计好的问题显得至关重要.

在最初设计时就是一节非常常规的复习课，以习题和知识点的形式呈现，在后续课例打磨中认为这样的复习很难调动学生的积极性和主动性.笔者受近期《中学数学》（下）刊发的与中考一轮复习课课例有关文章的启示，特别是“一题一课”“一图一课”（见文1、2、3），便设计了上述课例，事实证明收到了良好的课堂教学效果，通过一个图形，一系列问题串，将二次函数基础知识中的核心考点（解析式、平移问题、最值问题、对称问题）一网打尽，并且引发了学生的深度思考和积极参与，调动了大多数同学的积极性和主动性，这在九年级的课堂教学中是比较少见的.

2.磨语言：从“生硬”到“自然”

文4指出：文学、影视作品常常需要经营所谓的“转场”，比如在两个场景之间，采用一定的技巧实现场景或情节之间的平滑过渡，追求较好的转场效果.笔者非常认同上述观点，在课堂教学中未尝不是如此.

本课例以问题的形式呈现，最初以看完问题1、接下来再看问题2的形式呈现，这样看起来问题之间不具有一定的关联性，更不要说吸引学生的兴趣了，在后续打磨中确定了如下过渡性语句，实现了问题之间的“平滑转场”.

问题1→问题2：根据现有条件，你能求出该抛物线所对应二次函数的解析式吗？

问题2→问题3：可以看出，抛物线的顶点坐标比较重要，那么它对我们解题有哪些帮助呢？

问题3→问题4：我们回过头来再看顶点，除了上面可以利用顶点坐标解决平移问题，顶点坐标还会告诉我们其他信息吗？

问题4→问题5：我们可以利用对称性解决最值问题，那么抛物线的对称性在考试中还有哪种题型呢？下面看一种经典题型……

3.磨过程：从“快节奏”到“慢感悟”

九年级的复习课由于受到中考利益的影响，大都呈现了“大容量”“快节奏”的课堂教学，当然这也是“形势所逼”，不得已而为之.然而，作为教师，我们应该清醒地认识到学生的成绩和教师的大量讲解并没有正比关系，特别是在中考一轮复习中，更是应该以夯实基础知识为首要目的，只有这样才能够为后续的二轮、三轮复习打好基础，作好铺垫，否则，无疑于“空中楼阁”.

许多教师在设计一节公开课时，会参考诸多名家教案，努力“博采众长”，往往把课上得满满当当，以为这样的课才是好课.但是这样大容量的课节奏快，学生得到的是比较肤浅的知识，本课例在后续教学中以问题串的形式串起了与二次函数有关的基础知识，串起了整堂课，同时在问题解决过程中还有意识地引导学生体会相关数学思想和方法（数形结合和转化），使学生在“和谐融洽”的课堂氛围中实现“慢感悟”.

四、结语

笔者在文5指出：磨课是促进青年教师快速成长的有效方式.相信青年教师只要抓住课例打磨，站稳讲台，应该是可以很好地实现自己的人生理想的.此外，我们为上述课例所作出的努力和尝试，未必准确，更不一定正确，欢迎指正.

参考文献：

1.董唯佳.积累“微课题”研究，积累数学研究经验——以2015年江西南昌卷第24题为例［J］.中学数学（下），2015（11）.

2.赵萍萍.“一题一课”：复习课走向简约的尝试——以2014年广东省中考第23题的教学为例［J］.中学数学（下），2015（2）.

3.何君青.一题、一课、一总结［J］.中学数学（下），2015（9）.

4.曹海燕.串珠成线选情境，渐次展开求简约——以“一元二次方程（第1课时）”教学为例［J］.中学数学（下），2015（3）.

5.于彬.基于“两人制暑期集中课例打磨”的实践与思考——以“圆（第一课时）”为例［J］.中学数学（下），2015（10）.

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