自然数与无限性思想的历史透视

郭龙先， 胡晓飞

(昭通学院 数学与统计学院， 云南 昭通 657000)

●数学研究

自然数与无限性思想的历史透视

郭龙先， 胡晓飞

(昭通学院 数学与统计学院， 云南 昭通 657000)

无穷一直是诗人、艺术家、哲学家、神学家、科学家关注的焦点，它有着极为丰富的内涵，在不同的思想领域中有着不同的表现形式.自然数引出的无限多、无穷大等概念，打开了人类认识无限性的大门.对自然数序列“不可穷尽”的不同理解，产生了“实无限”与“潜无限”的数学哲学争论.

自然数； 有限； 无穷； 实无限； 潜无限

无穷！这是一个既使人迷惑，又令人兴奋的话题.数千年来，它始终刺激着人类永不枯竭的想象力，至今依然魅力不减.无穷一直是诗人、艺术家、哲学家、神学家、科学家关注的焦点，它有着极为丰富的内涵，在不同的思想领域中有着不同的表现形式.

1 生有涯，知无涯——心灵的震撼与思想的困惑

诗人抒发“人生代代无穷已，江月年年只相似”的情感；愚公坚信：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙.子子孙孙，无穷匮也”的信念；庄子有“吾生也有涯，而知也无涯.以有涯随无涯，殆已”的感慨.个人的生命短暂即逝，而人类的存在则是绵延不绝.以有限的人生叩问无穷的底蕴，古今中外不知有多少文人墨客、哲人学士为之惊叹与恐惧、兴奋和困惑.“前不见古人，后不见来者；念天地之悠悠，独怆然而涕下.”陈子昂一曲《登幽州台歌》，表达了人类面对无穷时空的千古浩叹.

西方哲人毕达哥拉斯说：“无限标志着‘恶’，它令人望而生畏.”帕斯卡感叹道：“这些无限空间的永恒沉默使我恐惧.”康德认为无限“有着令人恐怖的崇高”.康托尔说：“所有这些特殊类型的无限，都是永恒的，它们都具有神性.”希尔伯特指出：“无限这个概念既是我们最伟大的朋友，也是我们心灵宁静的最大敌人……”

面对无穷，智者惠施的结论是：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”；希腊哲人阿拉克萨哥拉同样认为：“在小的当中没有最小的，在大的当中没有最大的；但是总有某个东西最小，也总有某个东西最大.”这一东西交映，合若符契的思想，正如钱钟书先生所言：“东海西海，心理攸同；南学北学，道术未裂.”从中国先秦名家学派“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的命题，到古希腊“芝诺悖论”所涉及的无穷大量、无限可分性、运动和连续性等深奥而复杂的内容，不知吸引了多少天才和智者的目光.

不管用什么方法考察无穷，最终都将回到数学的领域，因为正是在这里才有无穷概念最深的根基.丹齐克写到(着重号为原作者所加)：

无限的概念既不是实验的天然物，也不是逻辑的必然物；而是数学的必然物.头脑知道它能想象出一种可能的动作的无限次的重复，我们对头脑的能力的这种肯定也许是一种纯粹的幻想，然而它却是一种方便的，从而就是必要的幻想了.[1]

从远古结绳记事，到19世纪末无穷大数学的建立，其间经历了数百代人，上万年的探索与奋斗.外尔(Weyl，1885—1955年)认为数学就是关于无穷的科学.几何学和微积分中面积和体积的确定；e，π和其它无理数的近似计算；三角学、微积分、半衰期、无穷集；极限、级数、动态对称还有无穷生成的分形、混沌理论、大素数的连续搜索、超限数等等.确实，数学对无穷的认识是人类最伟大的成就之一.因而那些思想深邃，本领高强的数学家们，为了不断拓展人类认识的视野，依然雄心勃勃地在“无限”问题上大做文章.

与无穷这一概念密切相关的思想方法，在许多数学发现中起着至关重要的作用.实数集合的无限性在现代科学中居于核心地位，要是我们没有发现“极限”，现代数学和科学的发展就无从谈起.有了级数、序列及其极限的概念，数学家才具备理解无理数性质的条件.在高等数学中，我们用极限概念研究连续的变化，解开了曲线、加速度和运动中蕴含的数学奥秘.即使一个孩子学习数数，也要以每一个数都有一个后继者，这一保证自然数列有无穷多项的公理为基础；在几何学中我们能够在两个方向上任意地延长一条直线，也是与无限性密切相关的.美国数学家克劳森说：

任何讨论数的话题，如果完全不涉及无穷，那将是毫无意义的，……要理解数必须涉及无穷——它们是“无穷无尽”的，因为数学肇始于数的研究，所以，要是抓不住这个奇怪而美丽的概念，我们就别想去真正认识和欣赏数学.[2]

如果离开了无穷，那么数学家的工作将显得微不足道.例如：公式

我们可以用任一整数来代替n，如n=2或n=5，所以这个公式显然包含着无限多个命题，这一结论成立的证明涉及自然数的无穷性质.但对于个别数字成立的等式

则可简单地通过计算来加以验证，数学家对此毫无兴趣.

无穷有很多面孔，外行人经常认为它是一种比所有数都大的“数”.多数人在思考无穷时，倾向于往大的方面考虑.其实，无穷的要义在于它与非常大(无穷大量)、非常小(无限可分或连续性问题)均有密切联系.正如东晋学者张湛所言：

世咸知积小可以高大，而不悟损多可以至少.夫九层起于垒土，高岸遂为幽谷.苟功无废舍，不期朝夕，则无微而不积，无大而不亏矣.今砥砺之与刀剑相磨不已，则知其将尽.二物如此，则丘壑消盈无所致疑.若以大小、迟速为惑者，未能推类也.[3]

“至大无外，至小无内.”无穷这一概念朝大的方向和小的方向分别引出了宇宙论和逻辑学、数学等方面的问题.

无穷曾经是许多悖论中的罪魁祸首，芝诺的阿基利斯追乌龟的悖论以及二分说悖论、伽利略所提出的关于线段、点和无穷集的悖论始终激励着人类的好奇心.彻底弄清无穷这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要.数学是“研究无限的科学”，理应担当起征服无穷的重任.古希腊的著名学者中还有阿拉克萨哥拉、亚里士多德、阿波罗尼奥斯等都深思和辩论过无穷中呈现出来的种种难题.在数学王国中发现或攻克一个个无穷难关的大师还有，毕达哥拉斯、埃利亚的芝诺、安提丰、欧多克斯、欧几里得、阿基米得、惠施、刘徽、刘洪、祖冲之、伽利略、傅立叶、柯西、黎曼、罗巴切夫斯基、高斯、波尔查诺、莱布尼兹、戴德金、鲁宾逊、芒德布罗等等，他们无一不是人类创造的数学星空中熠熠生辉的思想明星.

2 循环之理，岂有穷乎——对大数的认识与把握

史前的人类不可能知道真正抽象的数，更不能把计数的事物跟抽象的数相联系，也许在原始人的心目中数都是有限的.客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数.丹齐克说：“人类在极为有限的数知觉之外，学会了另一种技巧来给他帮忙，这种技巧注定了使他们未来的生活受到巨大的影响.这技巧就是计数.”他说：

正是计数，才使具体的，不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念.前者是原始人的特点，后者则是数学发展的前提.[1]5

自然数引出了无穷多、无穷大等无限性的概念，正是它们的演进，打开了人类认识无限性的大门.的确，我们不能想象计数过程会有尽头，每一个自然数都有一个后继数，没有最后一位数，存在着无限多的数.对此，克劳森指出：“为了理解自然数必定要对无穷有点感觉”.

“数有穷乎？”无穷的概念或对或错地与大数相联系.起初，对一些较大的数，人们尚能理解，还可以利用已有的记数单位去表示它.但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速地扩张，原有的记数单位难以为用.《数术记遗》中记载了汉朝时刘洪与徐岳师生之间，就大数是否有穷这一问题所作的一次精深对话.

徐岳问曰：数有穷乎？

会稽(刘洪)答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之.先生曰：世人言三不能比两……数不识三，妄谈知十.不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等.……亿、兆、京、垓……从亿至载，终于大衍.

会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？

先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环.循环之理，岂有穷乎！

数有穷乎？不仅包含着有限与无穷关系的哲学思考，还涉及到如何利用有限的方法来表达无穷无尽的“大数”这一现实问题，这的确是数学发展中需要回答的重大课题.徐岳与其老师刘洪的对话，精彩地阐明了“数穷则变”的深刻道理：天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，用有限之法把握无穷之数.而“言重则变”则是达到这一目的之重要思想，使用刘洪(约130—196年)所提出的“上数”重进制(万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京……)可以得到任意大的数，直至无穷.在《孙子算经》中也有：“万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载”的大数之法.

我们今天仍在使用的“万万为亿”的计数法，是20世纪40年代中期才确定下来的统一用法.1944年11月28日，重庆《中央日报》对此作了说明：

我国数位系十进位制，数字大者则以亿、兆、京、垓四字代之，而此四字之含义有二：(一)以十万为亿，十亿为兆，十兆为京，十京为垓.(二)以万万为亿，万亿为兆，万兆为京，万京为垓.今人事进化，数字用途亦广，即如人口货币两端而论，如以十万为亿，即有单位太小，不足敷用之虞，宜以万万为亿；……根据上述理由提请大会通过，请建议政府明令确定数位，以万万为亿.

历史上印度佛教对大数也具有特殊的兴趣.东汉时期翻译的佛经《四十二章经》中就有百、千、万、百万、千万、亿、十亿、百亿和千亿等记载.鸠摩罗什(公元344—413年)翻译的《大智度论》卷五中共有123个大数的名称，如：

亿，亿亿，阿由他亿，那由他亿，……无量，无量无量，……一国土微尘等.

东晋《华严经》中也有115个大数的名称.据《华严经》记载“自在主言：我昔曾于文殊师利童子所，修学书、数、算、印等法，即得悟入一切工巧神通智法门.……我亦能知菩萨算法.”《华严经》中以一阿僧祗(大约为101032)为单位，渐次转倍，至“不可说不可说”，即：

阿僧祗、无量、无边、无等、不可数、不可称、不可思、不可量、不可说、不可说不可说.

这就是佛经中经常提到的“十大数”，其计数法为：阿僧祗乘以阿僧祗，得阿僧祗转；阿僧祗转乘以阿僧祗转，得无量，以此类推.

数学史学者李俨说：“十进、万进为我国旧法，至南北朝之十进、万万进、倍进三法及唐代之十进、百进、倍进，则多少受佛典之影响.”[4]这说明在记数法方面，中国传统数学思想的发展同样受到文化交流的影响，具有一定的开放性.“恒河沙数”这一成语就是中印文化交流的结果.后秦时期翻译的《十佳断结经》中更有以亿为基数的进位制：

欲知数者，从一数至亿，以亿为一，复从一至亿，还数亿为一.……

据说古代希腊人对于无穷的感觉是因为观察天空中的恒星，以及海滩上的沙粒而获得的.无独有偶，中国也有“天上星星数不清”的说法.阿基米得在《沙粒的计算》中竟然定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的记数系统.阿基米得在他的《沙粒的计算》中写到：

有人认为沙子的数目是无穷的，而且我所说的沙子不仅存在于叙拉古和西西里岛的其他地方，还存在于无论是否有人居住的每一地区，也有人不同意沙子的数目无穷多，但却认为无法给大于沙子数量的数命名.[5]

面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米得首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限.用阿基米得发明的记数法，可以表示大到1后面跟着8亿亿个零的“大数”，他的方法是把单位“万”作为第一级，“万万”(亿)为第二级，亿亿为第三级，……如此等等.而且他大胆提出如果把“整个宇宙”(古希腊天文学家认为宇宙是有限的)全部用砂粒填满，也能算出砂粒的总数；今天我们人类可观察的宇宙半径约为130亿光年，假设全部填满质子，其数目也不超过10125，与阿基米得的大数108×1016相比仍然是小巫见大巫.利用阿基米得的记数法，还可以继续生成更高级的“大数”，“循环之理，岂有穷乎！”正是这一充满智慧的灵光，引领人类穿透了笼罩在计数过程中“无穷”的迷雾，开辟了从有限走向无限的光辉历程.

3 无穷之境——自然数引出的无限性难题

人类在早期计数过程中，面对自然数序列1，2，3，…就遇到了有限和无穷的关系问题.因为该序列永无止尽，故而成为数学史上讨论无限性问题的一个最简单最自然的例子.自然数序列没有末尾，不会“终结”，这一事实并不神秘.正如芝诺所言：“说过一遍的话，可以永远重复.”不论整数n有多大，总有下一个整数n+1，所以不存在最大的自然数，即自然数是无界的.丹齐克指出：“自然数是建筑在加一的运算可以重复无限次的假定之上的，但它明白规定，此种过程的最后一步自身是不能当作一个数的.”柯朗指出：从表示“没有终结”这意思的形容词“无限的”过渡到名词“无限”时，我们不能把通常用特殊符号∞表示的“无限”看成像普通的数那样.我们不可能把符号∞包括在实数系统中而仍然保持算术的基本规律.无穷大本身不是一个数，它只是所有自然数构成的集合的一种性质.

伊莱·马奥尔说“自然数唯一的一个最重要的特性肯定是：自然数有无穷多个”[6]如果没有最大的自然数，那么“一切自然数”的性质又是什么？又如何去证明这种性质呢？因为我们预先已经知道自然数是无穷无尽的，当然就不能挨个检验，把所有的情形都穷举完毕.丹齐克说：“就在数学的门槛上，我们遇到了关于无限的二难论证.”[1]51莱布尼兹的结论是：“所有整数的个数”这一提法自相矛盾，应该抛弃.围绕着无限，数学中产生了从芝诺悖论直到康德和康托尔的二律背反等各种矛盾.

如果只讨论自然数是否有穷，问题就简单得多，假设N是一个最大的正整数，那么，显然N+1>N，这一简单的论证蕴含着极为重要的思想.正是用这种很普通的逻辑方法，即所谓的反证法，欧几里得在《几何原本》中证明了：“存在多于任何给定数的素数.”这一命题被称为古希腊算术中最优美的定理.

命题20：预先任意给定几个质数，则有比它们更多的质数.

设A,B,C是预先给定的质数，则可证有比A,B,C更多的质数.为此DE是由质数A,B,C量尽的最小数.设给DE加上单位DF，那么EF或者是质数或者不是质数.

首先，设它是质数.那么已经找到多于A,B,C的质数A,B,C,EF.

其次，设EF不是质数，那么EF能被某个质数量尽.(Ⅶ卷·命题31：任意合数可被某质数量尽)

设它被质数G量尽.则可证G与A,B,C任何一个都不同.因为，如果可能，设它是如此.

现在A,B,C量尽DE.但它也量尽EF.所以G量尽其剩余的数，即量尽单位DF：这是不合理的.所以G.与数A,B,C任何一个都不同.

又假设它是质数.因此，已经找到了质数A,B,C,G.它们的个数多于预先给定的A,B,C的个数.这正是本命题的结论.[7]

该证明中欧几里得使用的构造思想和归谬法，至今仍然是数学推理的一个典范.在《几何原本》中他还给出了与该命题的证明密切相关的质数的三条基本性质：

(1)Ⅶ卷·命题30：如果两数相乘得某数，且一质数量尽该乘积，则它也必量尽原来两数之一.(p是质数，若p|ab，则p|a或p|b)

(2)Ⅶ卷·命题31：任意合数可被某质数量尽.

(3)Ⅸ卷·命题14：如果一个数是被一些质数能量尽的最小者，那么，除原来量尽它的质数外任何另外的质数量不尽该数.(若a是质数p,q,…的乘积，则a分解为质数之积的形式是唯一的)

上述命题(3)就是所谓的质因数分解的唯一性定理，因为其重要性，又被后人称之为算术基本定理：每一个大于1的整数，或者是素数，或者可表示为若干素数的乘积，这种表示若不计素数排列的次序则是唯一的：

布尔巴基学派的主将迪厄多内赞叹道：“据我所知，在公元前5世纪以前，除了希腊文明之外，没有任何别的文明有人想到过把一个自然数分解为它的素因数之积.”[8]我们知道,毕达哥拉斯学派主张通过数来研究宇宙的秩序与和谐，这就必然会引出具有某种结构关系的数的理论来.与其他古代文明的数学相比，希腊数学是一种概念及其关系的学科,在这种看似理性而冷静的体系背后蕴藏着一种探索宇宙本性的激情与冲动.而在中国古代的算学中，数的理论主要是在应用中加以发展，虽然有利于计算技术的改进,但人们并不关心自然数集合的性质及其理论.

算术基本定理告诉我们，素数作为构作自然数的基本因数，所有的自然数都是由它们建造的；素数在数学中的地位类似于化学里的元素或物理学中的基本粒子，掌握了任何一个数的素因子，数学家就获得了该数的几乎全部信息.素数虽然是无穷的，但其在自然数列中的分布却是越来越稀疏的，甚至到了：任给一个无论多大的整数N，必可以找出N个连续自然数，在它们之间没有一个素数.要想证明这个惊人的定理，只要对欧几里得关于质数有无限多个的证明稍加推广即可：

设P是大于N的第一个质数(若N自己就是质数，取P=N)，则N个相连的整数P!+2，P!+3，P!+4，…，P!+N+1全是合数.

因为P!可以用质数P和小于P的一切质数整除；故P!可以用小于或等于N+1的任何整数E整除，于是得P!+E在1

欧几里得关于存在无穷多个素数的证明的意义并不止于此，从数学思想的观点来看，他的证明属于有限性的构造证明.亚里士多德认为定义只是说明被定义事物的性质，而不涉及其存在性，为了说明该事物的存在，就需要给出构造它的方法.例如正十面体是可以定义的但并不存在.再如三等分一个角既是存在的也是可以定义的，因为一直无法找到三等分任意角的方法，所以《几何原本》中没有关于三等分角的定理.在欧几里得时代，“存在”就是“可构造”是数学家们的一个基本信念.希腊人不仅把数学主要限制于几何，在几何研究中也只限于那些能用直线和圆作出的图形，他们认为直线和圆是基本图形，凡是不能用尺规作出的图形，诸如割圆线、蚌线、螺线等，都被称之为机械曲线(线性轨迹)，仅仅处于几何的边缘位置.《几何原本》中的前三个公设就明确限制只许用尺规作图：

1.从任意一点到任意一点可作直线.

2.一条有限直线可以继续延长.

3.以任意一点为心及任意距离可以画圆.[7]2

为什么希腊人要在几何中严格限制只能用尺规作图呢？主要原因是为了解决几何图形的存在性问题.克莱茵在《古今数学思想》一书中指出：

我们知道，希腊人特别是亚里士多德曾经指出必须保证所引用的概念不自相矛盾；就是说必须证明它们存在.为解决这个问题，希腊人至少从原则上只承认那些可以作图的概念是存在的.直线和圆是在公设里承认它们是可作的，但其它图形则必须从直线和圆来作出.[9]

还有一种理由，据说是柏拉图反对用其他机械工具，因为这样过于依赖直观的感觉会降低思想的境界.柏拉图贬斥利用感性的知识取代纯粹的推理，他认为理性的思考永远是第一位的.在《国家篇》中柏拉图提到几何学家时说：

他们进一步使用和谈论一些可见的图形，但是他们真正思考的实际上不是这些图形，而是这些图形所模仿的那些东西，不是他们所画的某个特殊的正方形或某条特殊的对角线，而是正方形本身，对角线本身，等等……但他们真正寻求的是只有用心灵才能“看到”的那些实在.[10]

据普鲁塔克的记述，当听说欧多克斯和阿尔西塔斯应用机械工具解决倍立方体的几何作图问题时，柏拉图毫不留情地予以抨击，他认为这样做，“只能导致几何学的堕落，剥夺它的优点，因而使它可耻地背弃纯理智的抽象对象，倒退到感性，并求助于物质.”

希腊几何学家发明了间接证明方法，并发现了这种方法的作用，他们对此深深地引以自豪.这种方法是，在可能的情形中，搜索出所有可能的假设，除正确的那个假设外，所有其他的假设都将导出矛盾的结论，因此就可以剔出这些错误的假设.这种方法的逻辑基础即逻辑学家熟知的矛盾律和排中律，就是由亚里士多德形成为公式的.反证法也被古希腊数学家称之为归谬法.哈代对这种证明方法做过一个很好的比喻，他说：

欧几里得特别喜欢归谬法，这是数学家最好的武器之一.这一着比象棋中开局舍子的任何一种着数高明得多：棋手可以舍掉一个卒子甚至别的大子，而数学家舍掉是整个一局.[11]

无穷历来是争论的焦点，按照古希腊数学家的观点，无穷是不可构造的.欧几里得刻意回避了这一矛盾.例如对于“质数有无穷多个”的命题，在《几何原本》中被表述为：“质数的个数比任意给定的质数都多”；而对第五公设(平行公理)的叙述则是：

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于二直角，则两直线延长后必相交于该侧的一点.

欧几里得不愿涉及无穷大，他只说一线段可按需要加以延长，所有的直线实际上均被视为有限线段，目的就是为了避开直线是否可以无穷延伸的问题.第五公设的叙述与前四个公设相比，不仅文字冗长，而且意思也不够明白易懂.原因是他不想引入无穷直线，仅仅提出两直线相交于某有限点处的条件.斯宾格勒认为欧几里得是一位与古典精神相吻合的思想家，他不会去考虑观察者与两个无穷远处的恒星所构成的三角形，以证明其几何公理是否合于现象真理；因为，这些是既不能画出来，又不能“直觉地领悟出来”的事象.他写到：

他的感受正是典型的古典文化的感受，不敢面对无理数，也不敢给予空无一物的“零”这个数字以任何意义，而甚至在凝思宇宙关系时，也无视于“无穷”这个概念，而只能踁踁自囿于古典数学的基本表征——“比例”观念之中.[12]

确实，经验并没有提供无限直线的性质，而希腊人认为公理是关于物理世界的自明真理.空间在无限远处的情况，超出了任何人的想象能力和理解能力！正如M·克莱因所言：

希腊人未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤.他们“对无穷的空间望而生畏”.毕达哥拉斯学派把善与恶同有限与无限联系起来.亚里士多德说无穷是不完美的、未完成的、因而是不可思议的；它是不成形的、混乱的.只有那些限定而分明的东西才有其本性可言.

虽然“无限”对于希腊数学家是一个可怕的、很难理解的东西，但是欧几里得也确实暗示了无限直线是存在的，否则在任何情况下也不能按需要任意延长.

4 结语

对自然数序列“不可穷尽”的不同理解，导致了数学家之间长期的分歧.坚信自然数列的延伸永远不可能完成是“潜无限”论者的观点.另一方面，凡认为自然数是“完成了的整体”，即为“实无限”的观点.自然数序列引出的无限性难题，及其在数学中的重要地位究竟如何？还是让我们再听听丹齐克的说法吧：

无限这个概念的根源、对于计数过程是无止境的这个信念的根源，究竟是什么呢？是经验吗？当然不是！经验教给我们的是一切事物、一切人类过程的有限性.我们知道，如果我们想通过计数把一切数字穷举完毕，其结果只是耗光了我们自己的力量.

无限的存在也不是由数学所能确定的，因为无限亦即计数过程的无止境，只是一种数学的假设，是算术的基本假设，全部数学就建筑在这上面.[1]51

历史的发展确如戴维斯所言：“正当人们为给大数起名字而挣扎时，希腊数学家们却从有限一下就跳到无限.”[13]他进一步阐释道：对于古代人，这个概念是想象力的一个最高级的举动，因为它与所有的物理实验和宇宙必须是有限的这一哲学信仰都是背道而驰的.他认为：这个大胆的无限概念开启了数学的广阔的可能性，同时它也创造出悖论.它的涵义至今尚不能完全看透.

[1]丹齐克. 数 科学的语言[M]. 苏仲湘，译. 北京：商务印书馆，1985:206.

[2]卡尔文.C.克劳森. 数学旅行家：漫游数学王国[M]. 袁向东， 袁均, 译. 上海：上海教育出版社，2001:129.

[3]张湛. 列子注[M]//诸子集成(3). 上海：上海书店出版社，1986:55—56.

[4]郭金彬， 孔国平. 中国传统数学思想史[M]. 北京：科学出版社，2005:5.

[5]阿基米得. 阿基米得全集[M]. 朱恩宽， 李文铭， 译. 西安：陕西科学技术出版社，1998:223.

[6]伊莱.马奥尔. 无穷之旅——关于无穷大的文化史[M]. 王前， 译. 上海：上海教育出版社，2000:55—56.

[7]欧几里德. 几何原本[M]. 蓝纪正， 朱恩宽， 译. 台北：九章出版社，2002:274.

[8]让.迪厄多内. 当代数学 为了人类心智的荣耀[M]. 沈永欢， 译. 上海：上海教育出版社，1999:103.

[9]M.克莱因. 古今数学思想(第1册)[M]. 张理京， 张锦炎， 译. 上海：上海科技出版社，1979:198.

[10]柏拉图. 柏拉图全集(第二卷)[M]. 王晓朝， 译. 北京：人民出版社，2003:508—509.

[11]G.H.哈代. 一个数学家的辩白[M]. 李文林， 译. 南京：江苏教育出版社，1996:32.

[12]奥.斯宾格勒. 西方的没落[M]. 陈晓林， 译. 哈尔滨：黑龙江教育出版社，1988:64.

[13]戴维斯. 数[M]//M.克莱因. 现代世界中的数学. 齐民友， 译. 上海：上海教育出版社，2004：144.

Historical Perspective on the natural number and Unlimited Thought

GUO Long-xian, HU Xiao-fei

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

The infinity, which is always the focus of poets, artists, philosophers, theologians and scientists, has a rich content and different expression forms in different mind area. Natural numbers raise some concepts, such as infinity and so on, and opened the gate of infinity of man cognition. There is the argument of mathematical philosophy between actual infinity and potential infinity, since we have different understanding on limitlessness of natural number sequence.

Natural numbers; Finite; Infinity; Actual infinity; Potential infinity

2016-08-05

郭龙先(1965— )，女，云南昭通人，教授，学士，主要从事代数学思想史研究.

O11

A

2095-7408(2016)05-0001-06