浅谈函数教学中的对称性问题

云南省凤庆县凤庆第一中学(675900)

杨志荣 ●



浅谈函数教学中的对称性问题

云南省凤庆县凤庆第一中学(675900)

杨志荣 ●

函数的性质是高考和竞赛的热点与重点，函数的对称性是函数的基本性质，对称关系广泛存在于数学问题当中，利用对称性可以更简单地使问题得到解决.本文就函数教学中的对称性问题进行深入探究.

函数教学；对称性；方法

对称性问题通常会与其它知识杂揉在一起，如周期性、单调性等，这些都需要学生不断地去探索.下面进行简要介绍，不足之处，敬请斧正.

一、周期巧用，判断奇偶

在函数学习中，与对称相关的问题有很多，需要学生不断地去积累经验，只要经验足够，学生就能够解决任何相关的问题.

在某些特殊函数中，可能会存在n个对称轴，这就能够体现出函数的周期性，因此与对称相关的问题往往会夹杂着周期的相关知识，所以同学们要将函数的各个特性都掌握透彻，只有这样才能够解决一些复杂的综合性问题.下面一一道题目为例，讲解通过对称的研究解决奇偶性问题的方法.

在定义域为R非常函数满足：f(10+x)为偶函数，并且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定( ).

A.是偶函数，也是周期函数

B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数

D.是奇函数，但不是周期函数

这道题目就与对称相关，我们可以逐步分析.由f(10+x)为偶函数，我们可以得出f(10+x)=f(10-x)，再加上已知条件f(5-x)=f(5+x)，就能够得出f(x)有两条对称轴，即x=5和x=10，由此我们可以继续推断出该函数是以10为一个周期的周期函数，这样选项B以及选项D就是错误的.然后我们再考虑奇偶性，该函数的周期为10，其中有一个对称轴为x=10，所以x=0也是它的对称轴，即f(x)是一个偶函数.通过上述分析，我们就可以得出正确答案为A.

在上面这道题我们就可以看出，函数的对称性与周期性结合起来会十分完美，会将函数一些无法直接表现的特性展示在我们眼前.由此可见函数对称性的重要性，所以学生一定要学会对称轴的判定方法，为今后学习打下良好的基础.

二、函数反转，速求数值

在函数的很多问题中，有一类涉及到反函数，由于反函数太过抽象，很多学生对此都不是很了解，更不用谈反函数与其他知识结合起来的问题了.为了改变这种现状，老师要多做努力，帮助学生打好基础，学好反函数.

众所周知，原函数与反函数是一种对立的关系，其中某个函数存在反函数的条件就是原函数必须是一一对应的，但是也不一定要在整个数域内.其实，对于反函数大家最熟悉的就是三角函数，如sinx和arcsinx、cosx和arccosx等，实际上也有很多题目脱离三角函数考查反函数内容.例如，很多同学都会遇到这样的题目：

设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图象关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=( ).

A.1999 B.2000 C.2001 D.2002

反函数最重要的一个性质就是反函数图象与原函数图象关于直线y=x对称，而根据题干我们可以看出，函数y=f(x-1)和函数y=g-1(x-2)的图象关于直线y=x对称，由此可以看出二者互为反函数，而根据数学知识，我们可以算出y=g-1(x-2)的反函数是y=2+g(x)，所以可以推断出2+g(x)=f(x-1)，即f(4)=f(5-1)=2+g(4)=1999+2=2001.

因此本题的正确答案为选项C.

这道题目也是一个对称问题，虽然是与反函数结合起来，但也并不是十分困难，只要学生用心思考，就一定能够解决.只不过不同的是上个例题研究的是一个函数的自身对称，而这道题目是两个函数的对称，二者存在本质的区别.

三、对称讨论，分析零值

函数的问题不仅仅存在于选择题目中，在一些考试中，也会以大型计算题的形式出现，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力.

对称性的题目也是高考的重点目标，下面以一道高考真题为例，进行分析.

设函数f(x)在无穷区间上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，并且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，试求出f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上根的个数并证明你的结论.

解题前我们一定要学会研究题干给出的已知条件，由f(2-x)=f(2+x)，可以推出f(x)=f(4-x)，同理由f(7-x)=f(7+x)，可以推出f(x)=f(14-x)，二者合并，就能够分析出f(4-x)=f(14-x)，即f(x)=f(x+10).所以该函数是以10为周期的周期函数.又因为f(1)=f(3)=0，可以得出f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0，所以函数f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解.再结合问题中所给出的定义域，就会轻松地算出一共有802个解.

这道题目解题的关键还是在于对称，只要将对称分析出来，之后的解题过程也会自然而然地展示出来，更加体现了对称分析的重要性.

[1] 牛拴银. 浅谈坐标转移法在函数对称性问题中的应用[J]. 数学教学研究，2002(07).

[2] 孟繁平. 函数的对称性和周期性的关系[J].数学教学通讯，2007(05).

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