巧作辅助线妙解题

□辛贺华



巧作辅助线妙解题

□辛贺华

人教版数学课本习题7.2第9题：如图1，AB∥CD，∠BAE=∠DCE= 45°.填空：因为AB∥CD，所以∠1＋45°＋∠2＋45°=180°.所以∠1＋∠2=90°.因为∠1＋∠2＋∠E=180°.所以∠E=90°.

图1

图2

其实这道题可以看作是：如图2，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCE= 45°.求∠E的度数.

课本的解题方法是通过作辅助线，连接AC，利用平行线的性质定理和三角形内角和定理解题.

应用到的基础知识有：

1.平行线的性质定理：两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.

2.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.

除了教材的解法外，还可以采用如下解题方法.

解法1：如图3，过点E作直线l，使l∥AB，根据平行公理的推论，因为l∥AB，AB∥CD，所以AB∥CD∥l.因为l∥AB，∠BAE=45°，所以∠1= 45°.因为CD∥l，∠DCE=45°，所以∠2=45°.∠AEC=∠1＋∠2=45°＋45°=90°.

图3

图4

解法1用到了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.

解法2：如图4，延长AE交CD于点F，因为AB∥CD，∠BAE=45°，所以∠EFC=45°，所以∠CEF=180°-∠ECF -∠EFC=90°.所以∠AEC= 180°-∠CEF=90°.

解法2还用到了邻补角的性质：邻补角互补.

解法3：如图5，过点E作直线FG交AB于点F，交CD于点G.因为AB∥CD，所以∠1＋∠FGC=180°.又因为∠BAE=∠DCE=45°，由三角形内角和定理知：（∠1＋∠BAE＋∠2）＋（∠3＋∠DCE＋∠FGC）= 180°×2=360°，所以∠2＋∠3= 360°-45°-45°-180°=90°，所以∠AEC=90°.

图5

规律总结：求一个角的度数，经常需要用到平行线的性质定理、三角形内角和定理等知识，这时我们要根据需要添加辅助线，构造平行线或构造三角形去解题.

下面我们再来看一看由课本习题演变成的中考题：

例1如图6，直线l1∥l2，且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P= 90°，则∠3=_______.

图6

解析：如图6，∠2=35°，∠P= 90°，由三角形内角和定理知：∠4= 55°.因为l1∥l2，所以∠3＋∠4＋∠1＋∠2=180°，所以∠3=180°-∠1-∠2-∠4=180°-35°-35°-55°=55°.

例2如图7，在△ABC中，∠C=90°.若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是（）.

A. 40°B. 60°

C. 70°D. 80°

图7

图8

解析：如图8，过C作CF∥BD.因为CF∥BD，BD∥AE，所以BD∥AE∥CF.因为CF∥BD，∠DBC= 20°，所以∠BCF=20°.因为∠BCA= ∠BCF＋∠FCA=90°，所以∠FCA= 90°-20°=70°.因为AE∥CF，所以∠CAE=∠FCA=70°.答案为C.