在比较和发现中探寻数学本质——《倍数和因数》教学新设计

任卫兵（特级教师）

【教学内容】

义务教育教科书数学五年级下册第30～31页。

【教学过程】

一、准备

课前，每位学生独立、自主完成“倍数和因数”研究学习。

（材料单类似于教材第30至31的内容，只是在找出36的所有因数时，材料中仅提供了一种“列举除法算式”的方法，另外材料中也没有直接呈现出一个数的倍数或因数有什么特点。材料单的最后，还精心设计了三个阅读提示：1.学习材料中有三道例题，每一道例题讲的是什么？2.如有兴趣，可以尝试完成例题和“试一试”。3.在阅读的过程中，如有发现可以写在相应的地方）

二、汇报

师：课前，我们已就“倍数和因数”进行了阅读，这节课我将和同学们一起继续深入阅读。这部分内容有三道例题，说一说每道例题讲的是什么？

生：第一道例题讲了“4×3＝12,4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数”。

师：简单地说，就是什么是倍数和因数。

生：第二道例题介绍了怎样找出3的倍数。

生：第三道例题讲了怎样找出36的所有因数。

（结合学生回答，板书：1.什么是倍数和因数？2.怎样找一个数的倍数？3.怎样找一个数的因数）

师：今天我们将围绕这三个方面作进一步的探究。

三、探究

1.什么是倍数和因数？

师：既然同学们都进行了课前阅读，那就请你们先举一道乘法算式，对照算式说一说，什么是倍数和因数？

生：2×5＝10,10是 2的倍数，也是5的倍数。2和5都是10的因数。

师：在课前阅读中，同学们一定看到了这样一段话“4×3=12，12是 4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数”，那如果说“12是倍数，4和3是因数”对不对呢？

生：这样说不对。比如12是1的倍数，也是2的倍数，但不是5的倍数，也不是7的倍数，它不是所有数的倍数。

生：倍数和因数是相对的。比如12和3，12是3的倍数；12和24，12却是24的因数。所以说“12是倍数”是不对的。

师：我们在说倍数（或因数）时，必须说明谁是谁的倍数（或因数），不能单独说谁是倍数（或因数）。倍数和因数是一种相互依存的关系，不能单独存在。（板书：相互依存）

师：接下来请同桌的两个人，每人写一道乘法算式，让同桌说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

（教师巡视了解学生完成的情况。如发现有学生编写了“0乘一个数等于0”的算式，则相机强调：为了方便，我们在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数）

师：（课件出示：20÷4＝5、3＋4＝7）这里的两个算式，你能从中选一个，说一说谁是谁的因数或倍数吗？

生：我选第一个算式，20是4的倍数，也是5的倍数，4和5都是20的因数。

生：我也选第一个算式，根据“20÷4＝5”，我们就可以想到“4×5＝20”。而“3＋4＝7”是一个加法算式，不能说谁是谁的倍数或因数。

生：如果把第二个算式改成“3＋3＝6”或者“4＋4＝8”，我们就能说谁是谁的倍数或因数了。

师：刚才几个同学的回答非常精彩！倍数和因数是建立在乘法或除法的基础上的。关于“什么是倍数和因数”，都弄明白了吧？我们来看第二道例题。

2.怎样找一个数的倍数？

师：通过阅读，相信大家要找到一个数的倍数并不难，难就难在能不能有顺序地找出来？下面我们来比一比：在10秒钟的时间里，看谁写出的3的倍数最多？

（让学生在草稿本上写出3的倍数。并请写得多的学生进行口头汇报）

师：写得多的同学肯定有他独到的方法，我们请写得最多的两个同学介绍一下他们各自的方法。

生：我是用3依次去乘1、2、3、4、5 的。

生：我是用3依次加上3的，3加3等于6，6加3等于9……

师：如果老师也来和你们一起比赛，那我可能只需要5秒钟，就能写得比你们中的任何一个人都要多，你们信吗？

（学生倒数5秒，教师板书——3的倍数：3，6，9，12，15……学生一开始“认为”老师“投机取巧”，渐渐地“明白”了老师获胜的“理由”）

师：由于一个数的倍数永远也写不完，因此我们在写一个数的倍数时，通常只要按顺序依次写出4、5个，再在后面添上——

生：省略号。

师：请大家用这种方法，分别写出2的倍数和5的倍数。

（指名让学生汇报）

3 的倍数有 3，6，9，12，15……

2 的倍数有2，4，6，8，10……

5 的倍数有：5，10，15，20，25……

（课件出示：观察上面的例子：这三个数的倍数有些什么共有的特点）

师：观察上面的例子，找一找这三个数的倍数有些什么共同的特点？

生：这三个数的倍数都有无数个。

师：这个同学关注的是一个数的倍数的“个数”。一个数的倍数的个数是无限的。（板书：无限的）

生：我发现：一个数的倍数中，最小的就是它自己。

师：他关注的是一个数的“最小”的倍数。一个数最小的倍数就是它本身。（板书：最小它本身）

师：由“最小”，自然会想到“最大”。那一个数有没有最大的倍数呢？

生：因为一个数的倍数有无数个，所以没有最大的。

（教师完成板书：倍数 最小 它本身；最大 没有；个数无限）

3.怎样找一个数的因数？

（1）分工合作。

师：怎样找一个数的倍数？学会了。那怎样找一个数的因数呢？

师：当你们阅读到这一句“你能找出36的所有因数吗”，你是直接往下看材料上的答案，还是先不看自己主动尝试的呢？

（有一部分学生是直接阅读的，也有一部分学生是先自主尝试的）

师：请举例说一说，哪些是36的因数？

师：看来，找出一个数的因数也不难。有什么好办法能够不重复、不遗漏地找出36的所有因数呢？

（出示小组活动要求：①讨论：怎样才能不重复、不遗漏地找出36的所有因数？②把思考的过程用算式表示出来，填写学习单。③尝试：有没有其它的方法）

（2）小组交流。

第一组学生：我们是用列乘法算式的方法，1×36＝36、2×18＝36、3×12＝36、4×9＝36、6×6＝36。因为两个“6”相同，我们只要写一个“6”，36的因 数 有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

师：听了他们的汇报，你还有什么想说的？

生：我觉得每写出一个乘法算式，我们就可以找到36的两个因数。这样一对一对地找，比较方便。

生：我补充一下，如果两个数相同，比如“6×6＝36”，那我们只能找到36的一个因数是“6”。

师：刚才两位同学，一个总结得好，一个补充得好。除了这种方法外，还有没有其他的方法？

第二组学生：我们用的是列除法算式的方法，36÷1＝36、36 ÷2 ＝18、36 ÷3 ＝12、36÷4＝9、36÷6＝6。36 的因数有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

师：两组同学，一乘一除，方法虽有所不同，但也有一些是相同的。

生：他们都是一对一对找的。

生：当两个因数相同时，我们只要写一个就行了。

生：在写出36的所有因数时，都是按从小到大的顺序依次写的。

（3）自主尝试。

师：请大家在草稿本上直接写出15、16的所有因数。

（学生汇报）

（课件出示：36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。15 的因数有 1，3，5，15。16 的因数有1，2，4，8，16。）

我思考：

观察上面的例子：这三个数的因数有些什么共同的特点？

师：刚才我们是从哪三个方面来概括一个数的倍数的特点的？那一个数的因数又有什么特点呢？

生：一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。

（根据学生回答，完成板书：因数 最小 1；最大 它本身；个数 有限）

四、总结

师：通过大家的交流，你对“倍数和因数”又有了哪些新的认识？

生：我知道了倍数和因数是相互依存的。

生：我们还发现了一个数的倍数或因数的特点。

五、拓展

师：古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯曾说过：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”这句话是什么意思？这里的220与284又有怎样的关系？你们知道吗？

生：好像220与284有一种你中有我、我中有你的关系。

生：可能与它们的因数有关。

师：那我们一起来探寻它们之间的秘密吧。

（课件播放：原来，毕达哥拉斯发现，在自然数220与284之间，有一种非常奇妙的关系。220共有12个不同的因数：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220。如果不算220它自身这个因数，那么，220所有因数的和正好等于284。

284共有6个不同的因数：1，2，4，71，142，284。如果不算284它自身这个因数……）

师：猜一猜，如果不算284它自身这个因数，那么284所有因数的和可能等于多少？

（学生不约而同地算起来，并相继说出和是220）

（课件继续播放：你的真因数之和等于我，我的真因数之和又正好等于你，这对奇异的数真像一对亲密无间的朋友。数学上，把具有这样特征的自然数叫做“亲和数”。毕达哥拉斯发现的220和284，是人类认识的第一对亲和数，也是最小的一对亲和数。古时候，亲和数也被涂上了神秘的色彩。人们常把这两个数分别写在两个护身符上，认为佩带这种护身符的两个朋友，就能保持良好而长久的友谊。近百年来，不断有新的亲和数被发现。现在，人们找到的亲和数已经超过了1200多对……）

（在学生不断发出的惊叹声中，新课告一段落）

【教学设想】

1.《倍数和因数》一课的教学，采用了一种新的课堂结构，改变了原来固有的教学模式。从我准备、我汇报、我探究、我总结，到我拓展，突出了学生的主体地位，做到了真正放手让学生去思考。围绕课前提炼的三个问题，引导学生通过观察、思考、讨论、交流，不断发现数学的本质。

2.《倍数和因数》一课的教学，体现了教者努力构建数学故事课程的思想。把数学的知识、道理、法则等融入学生所喜闻乐见的故事中，增强了数学学习的趣味性，彰显了数学教学的人文特性。引入“毕达哥拉斯”的一句名言，让学生通过猜疑、想象、尝试、验证，最终理解了其中的意蕴。把数学的知识、道理、思想等寓于故事中，更易走进学生的内心，更易被学生所接受。

3.《倍数和因数》一课，诠释出一种新型的教学设计观。“知识”层面，简单地说，哪些知识是不需要学生探究的，就放手让学生自学；哪些知识是需要经历独立思考、相互交流、教师引导才能加深理解的，则要大张旗鼓地进行导学。“自主”层面，我们倡导的“自主”并不是完全意义上的自主，而是在教师指导、帮助下的自主。“人文”层面，我们不仅要通过教师的言行举止，给学生积极的暗示、正向的影响，还要结合教学内容链接相关素材，给学生真、善、美的启迪，知、思、行的改变与扩展。