基于最小二乘QR分解算法的接地网磁场重构方法及应用

杨　帆　代　锋　姚德贵　寇晓适　董曼玲　何　为

(1.输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学)　重庆　400044

2.国网河南省电力公司电力科学研究院　郑州　450052)



基于最小二乘QR分解算法的接地网磁场重构方法及应用

杨帆1代锋1姚德贵2寇晓适2董曼玲2何为1

(1.输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学)重庆400044

2.国网河南省电力公司电力科学研究院郑州450052)

摘要现有研究中基于磁场法的接地网故障诊断需要测量大量的磁场数据，这增加了测量成本。由此提出了一种磁场重构的方法，以减少测量工作量。首先对基于磁场重构方法进行接地网故障诊断的原理进行了详细分析，建立了磁场重构方程组。由于建立的重构方程组为病态方程组，因此，采用最小二乘QR(LSQR)分解算法进行求解，并与共轭梯度(CG)算法进行对比。然后通过仿真验证了该方法的可行性，最后通过实验验证了方法的可靠性。仿真和试验结果表明：通过较少的测量节点(至少等于接地网节点个数)就可以重构出接地网上方地表磁场，并且在数据含有一定测量误差的情况下，基于LSQR的磁场重构结果仍与实际磁场分布较好吻合，因此能够通过重构出的磁场进行接地网腐蚀断裂等问题的诊断。

关键词：故障诊断磁场法接地网磁场重构最小二乘QR分解

Least Square QR Factorization Arithmetic Based Magnetic Field Reconstruction for Grounding Grid and Its Application

YangFan1DaiFeng1YaoDegui2KouXiaoshi2DongManling2HeWei1

(1.State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology Chongqing UniversityChongqing400044China 2.State Grid Henan Electric Power Corporation Research InstituteZhengzhou450052China)

AbstractThe grounding grid fault diagnosis based on the magnetic field method needs a mass of data in the existing research，which results in the increase of the measuring cost.In this paper，a new method based on magnetic field reconstruction is proposed in order to reduce the workload of the measurement.Firstly，fault diagnosis principles of the grounding grid based on the magnetic field reconstruction method are analyzed in detail and equations of magnetic field reconstruction are established.Secondly，the least square orthogonal matrix and right triangular matrix factorization (LSQR) arithmetic is used to solve the ill-posed equations.The results are compared with those based on the conjugate gradient (CG) method.Then a simulation example is used to verify the feasibility of the method and an experimental example is used to verify the reliability of the method.The results show that the surface magnetic field above the grounding grid can be reconstructed by fewer measuring nodes，i.e.no less than the number of the grounding grid nodes，and the reconstruction results based on LSQR are in good agreement with actual magnetic field distribution even though the measuring data contain some measurement errors.Therefore，the results can be used for the diagnosis of corrosion，cracking，and other issues within the grounding grid.

Keywords：Fault diagnosis，magnetic field method，grounding grid，magnetic field reconstruction，least square orthogonal matrix and right triangular matrix factorization

0引言

变电站接地网是维护电力系统安全运行、保障工作人员和站内接地电气设备安全的重要保证，其接地性能一直受到生产运行部门的重视。接地网常年埋设于地下，由于焊接不规范、土壤腐蚀等原因，造成接地网导体和引线的腐蚀或断裂，这将危及接地设备和工作人员安全[1-3]，因此，进行接地网腐蚀故障诊断具有重要的工程应用价值。

目前接地网腐蚀诊断计算的主要方法有电网络分析法和电磁场分析法。文献[4]将整个接地网看作一个电阻网络，利用接地网的可及节点通入直流电流，通过特勒根定理建立故障诊断方程，求解每条支路电阻的增量。文献[5，6]基于电网络理论和矩阵理论建立了灵敏度方程，然后利用优化理论求解电阻增量。文献[7]提出了基于网络拓扑变换的接地网分层约简方法，将接地网支路分为明晰和不确定两类，明晰支路的电阻可以唯一确定，而不确定支路的电阻不能准确获得。文献[8]提出了一种改进的接地网故障诊断算法，通过改进测量方法获得更多的独立方程，并通过求解非线性的接地网增广故障诊断方程，获得最小二乘意义下的支路电阻增量。文献[9]采用参数识别法将接地网等效为纯电阻网络，然后基于特勒根定理建立接地网故障诊断方程并求解。

加拿大学者Dawalibi F.P.首次提出利用地表磁场分布来对接地网进行故障检测[10]。国内也有学者开展了利用磁场进行接地网故障检测的研究，并提出了计算接地网地表磁场的方法[11-13]。磁场法一般是通过向接地网注入一定大小的电流，然后测量接地网导体中电流在地表面激发的磁感应强度，对于故障处，磁感应强度有明显陷落，能够根据磁感应强度的分布特征和规律确定接地网的结构和网格导体的故障状态[14-16]。

对于大型变电站，其接地网面积很大，地表磁场分布需要通过对整个接地网范围内的测量点进行测量得到，测量工作量大。为了减少测量工作量并能够准确地得到整个接地网范围内的磁场分布情况，本文提出接地网磁场重构方法，即首先测量变电站接地网上方空间部分测量点的磁感应强度，建立接地网磁场逆问题，采用LSQR法对逆问题进行求解，并对接地网上方磁场进行重构成像，最终实现接地网的支路腐蚀故障诊断。研究结果表明本文提出的LSQR可以有效解决接地网磁场逆问题的病态性，通过对磁场进行重构可以减小测量工作量。

1接地网磁场重构原理

现在一般的磁场法通过向接地网注入电流，测量地表磁场分布，需要比较多的测量点。于是本文提出了磁场重构的方法对接地网故障进行诊断。具体原理为：选取部分接地网测量点，利用测量得到的地表磁场反演(求解)接地网支路电流，然后通过支路电流计算接地网上方地表的磁场分布，从而对接地网进行故障诊断，原理图如图1所示，接地网磁场测量示意图如图2所示。

图1　磁场重构原理图Fig.1　The schematic diagram of magnetic field reconstruction

图2　接地网磁场测量示意图Fig.2　The schematic diagram of grounding grid magnetic field measurement

1.1接地网磁场逆问题的计算

根据毕奥-沙伐定理，地表磁感应强度与支路电流满足

MI=B

(1)

式中，I为支路电流矩阵，I∈Rn； B为地表点磁感应强度矩阵，B∈Rm； M为与地表点位置有关的系数矩阵，M∈Rm×n，其元素可由下式计算。

(2)

式中，Mij表示第j个支路单位电流在第i个地表点产生的磁感应强度；lj为第j条支路的长度；Ri为支路上的点到第i个地表点的距离。

因此，在测量接地网上方磁场大小的基础上，通过式(1)即可求出接地网中的电流，此过程属于磁场逆问题的计算。式(1)中，通过地表磁场求电流问题具有严重病态性，本文提出了LSQR算法，能够准确求解病态问题。

1.2LSQR算法原理

磁场重构问题会涉及到病态方程组的求解，在含有磁场测量误差的情况下，一般用以求解线性最小二乘问题的共轭梯度法、正交化方法等对磁场的重构结果与真实磁场分布差异较大[17-19]。这是由于方程中的系数矩阵条件数非常大，使得问题具有严重的病态性，较小的测量误差会被放大，从而严重影响解的精度。LSQR算法广泛应用于病态问题的求解[20-23]，其计算速度快，数值稳定性高，具有较强的抗测量误差能力，适合于大型病态矩阵方程的求解。

当给定接地网的注入电流后，地表磁感应强度可通过毕奥-沙伐定理由支路电流求出，且支路电流与地表磁场的关系可用线性方程组表示为矩阵方程形式，即式(1)。

LSQR算法是基于Lanczos方法的一种求解下式最小二乘问题的方法。

1.2.1Lanczos方法

所谓Lanczos方法[24]是指将对称矩阵三对角化的一种简单方法。若将Lanczos方法应用于一类特殊的矩阵，则可将这类特殊的矩阵化为双对角阵，这种双对角化的思想应用于线性方程组和最小二乘问题就形成了LSQR方法。在求解线性方程组问题中，将系数矩阵双对角化后，就变得较容易求解。

令M∈Rm×n, B∈Rm， 标准列正交矩阵Uk=[u1,u2,…,uk](ui∈Rm)和Vk=[v1,v2,…,vk](vi∈Rn)， 双对角矩阵为

(α1,α2, …,αk∈R；β2,β3,…,βk+1∈R)

Lanczos双对角化过程即为如下计算过程。

因此，第k步迭代有

(3)

式中，ek+1=[0,0,…0,1]k+1。

1.2.2LSQR方法

对于式(1)的最小二乘形式为

min‖MI-B‖2

(4)

假设已经进行了k步双对角化过程，得到m×(k+1)维正交矩阵Uk+1=[u1,u2,…,uk+1]，n×k维正交矩阵Vk=[v1,v2,…,vk]和(k+1)×k维下双对角阵Wk。

rk=MIk-B=MVkyk-Uk+1(β1e1)

=Uk+1Wkyk-Uk+1(β1e1)

=Uk+1(Wkyk-β1e1)=Uk+1tk+1

其中

tk+1=Wkyk-β1e1

(5)

由于正交变换的范数不变性[17]，式(4)变为

min‖rk‖2=min‖Uk+1tk+1‖2=min‖tk+1‖2

(6)

这样就把一个复杂的最小二乘问题式(4)转换为一个简单的最小二乘问题式(6)。

对于式(5)，用线性代数知识可知，可以找到一个正交变换矩阵Qk+1∈R(k+1)×(k+1)， 使

其中， Rk∈Rk×k， fk∈Rk,φk+1∈R。 于是

即对Wk进行了QR分解，因此，以上方法被称为最小二乘QR分解方法。

对式(5)进行正交变换(QR分解)得

于是式(6)等效为

(7)

由于φk+1是在正交变换时自然形成的，随着迭代的进行，它会逐渐趋于零，LSQR方法实际上是用迭代方法让Rkyk逐步趋近于fk， 再通过Ik=Vkyk实现最小二乘求解的目标。

1.3接地网地表磁场计算

在通过测量的地表磁场数据反演(求解)出接地网支路电流的基础上，利用式(1)可求出接地网上方的磁场，然后把各支路电流产生的磁场进行矢量叠加即可以得出最终的接地网上方磁场分布，通过磁场分布图即可进行接地网腐蚀故障诊断。

2仿真分析

为了验证所提方法的可行性，本文通过仿真进行了验证。仿真的接地网结构如图3所示，同时建立以③节点为原点的空间直角坐标系xyz，z轴垂直于xoy平面向上，①、②节点分别为流入和流出节点，电流大小为1 A。磁场计算高度为0.3 m，即等效为接地网埋设深度为0.3 m，土壤相对磁导率μ=1的情况。导体截面积4 cm×5 mm，其他尺寸数据如图3所示。

图3　接地网仿真模型Fig.3　The simulation model of grounding grid

为了进行磁场重构，在图3所示的接地网中，分别在y=0.9 m、1.9 m、2.1 m、3.1 m处以x=0.3 m为起点，沿x方向每隔1 m选取一个计算点直到x=7.3 m，计算y方向的磁感应强度，以此作为磁场重构的原始数据。

对于式(1)所示的接地网磁场重构方程，计算得到方程的条件数为2.61×105，由此可知方程(1)为一严重病态的线性方程组。

利用LSQR算法求解病态方程(1)，得出支路电流I， 然后可计算出整个接地网上方的磁场分布。即仅以部分点作为原始数据最终得出整个接地网上方的磁场，这大大减少了实验时的工作量。

图3中，加粗的导体电阻增大为正常下的4倍时，将重构的磁场与计算磁场进行对比，表1为x=2.5 m线上的磁场比较结果，图4为重构磁场与计算磁场的比较。计算磁场是基于注入接地网的电流得到接地网中各支路中的电流分布，然后通过毕奥-沙伐定理得到接地网上方的理论磁场分布。

表1　计算磁场和重构磁场的比较

图4　重构磁场与计算磁场分布Fig.4　The magnetic field distribution of reconstruction and calculation

由表1可知，LSQR重构磁场更接近理论计算值，最大百分误差绝对值仅为3.4%，而CG重构磁场最小百分误差绝对值为81.8%，最大误差为真实值的4倍之多。从图4可知，使用LSQR算法对接地网磁场进行重构可以近似接地网上方磁场的分布情况，从而找到发生故障的支路，而使用CG法的重构计算结果与理论计算结果相差较大，这是由于方程(1)的严重病态导致CG法的结果出现较大的偏差。

3实验验证

为了验证本文方法在一定测量误差情况下的可靠性，本文通过实验进行了验证。实验的接地网结构如图5所示。导体采用Φ2.5 mm铜线，故障处(见图5中黑色加粗线)导线采用Φ1 mm铜线，其他尺寸数据如下图所示，①、②节点分别为流入和流出节点，电流大小为29.75 A。

图5　实验接地网结构Fig.5　The structure of grounding grid in the experiment

由于接地网导体的电阻率比土壤的电阻率小得多，土壤泄露电流可以忽略不计[12，25]，同时，土壤的磁导率和空气磁导率几乎相等[26]，因此本文建立的实验室接地网模型可以近似等价于实际接地网，用于本文方法的验证。

实验中采用CH—3600高精度三维高斯计测量磁感应强度，采用三维数控平台移动三轴高斯计探头。实验平台如图6所示。数控平台的移动范围(x，y，z)为400 mm×400 mm×400 mm，位置精度为0.01 mm。高斯计探头高度为h=20 mm。

图6　实验平台Fig.6　The experimental platform

在图5所示的接地网中，分别在x=0.03 m、0.08 m、0.13 m、0.18 m、0.23 m处以y=0.05 m为起点沿y方向每隔0.05 m选取一个测量点直到y=0.30 m，测量y方向的磁感应强度。

利用表2中的磁场作为重构原始数据，对磁场进行重构，重构的磁场和y=0.15 m线上的测量数据对比结果见表3，重构的磁场如图7所示。

表2　磁场测量数据

表3　测量磁场和重构磁场的比较

图7　重构磁场分布Fig.7　The magnetic field distribution of reconstruction

由表3和图7可知，使用LSQR算法对接地网磁场进行重构可以近似接地网上方磁场的分布情况，重构的磁场能够很准确地找出接地网故障支路的位置，即(0.21，0.06)和(0.21，0.12)之间的线段，而CG算法重构的磁场效果较差，这是由于磁场重构方程为病态方程，而测量数据存在一定的误差造成CG算法重构结果的偏差。

由表2可知，对于一般磁场法，直接利用表2中的30组磁场数据是不足以诊断出故障位置的，因此，基于一般磁场法的接地网故障诊断需要大量的数据[15，23]来绘制如图7所示的磁场分布图。对比文献[23]中的数据，其得到5×5网格(即36个节点)的接地网磁场分布用了208个测量点，本文可以用36个左右的数据重构出接地网上方磁场分布，而准确度仍满足故障诊断的要求，即本文方法可以减少约4/5的工作量，同时保证准确性。对于算法计算效率，本文方法的重构计算时间极小，与磁场的测量时间相比可以忽略不计。

由于测量数据的减少会大大加重重构问题的病态性，也对测量数据的准确度提出更高的要求，因此本文建议测量数据个数至少等于接地网节点的个数。

4结论

为了改进磁场法，本文首先提出了一种用于接地网腐蚀诊断的磁场重构方法，由于接地网磁场重构问题的病态性，本文通过LSQR算法对病态性方程进行了求解，并与CG方法进行了对比。仿真和实验结果表明，本文通过较少的测量节点(至少等于接地网节点个数)就可以重构出接地网磁场，并且基于LSQR的磁场重构结果与实际磁场分布较好吻合，重构效果明显优于CG方法，这不仅解决了磁场法的较大工作量问题，也为接地网故障诊断提供了一种新的思路。

参考文献

[1]寇晓适，张科，张嵩阳，等.大型变电站接地网导通状况研究[J].电网技术，2008，32(2)：88-92.

Kou Xiaokuo，Zhang Ke，Zhang Songyang，et al.Study on grounding grid connective resistance of large-scale substation[J].Power System Technology，2008，32(2)：88-92.

[2]刘洋，江明亮，崔翔.变电站接地网导体与网格结构探测方法[J].电工技术学报，2013，28(5)：167-173.

Liu Yang，Jiang Mingliang，Cui Xiang.Detecting method of conductors and mesh structure of substation’s grounding grids[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2013，28(5)：167-173.

[3]许磊，李琳.基于电网络理论的变电站接地网腐蚀及断点诊断方法[J].电工技术学报，2012，27(10)：270-276.

Xu Lei，Li Lin.Fault diagnosis for grounding grids based on electric network theory[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27(10)：270-276.

[4]刘渝根，吴立香，王硕.大中型接地网腐蚀优化诊断实用化分析[J].重庆大学学报，2008，31(4)：417- 420.

Liu Yugen，Wu Lixiang，Wang Shuo.Practicality analysis for optimized erosion diagnosis of large and grid medium-scale grounding grid[J].Journal of Chongqing University，2008，31(4)：417- 420.

[5]许慧中，马宏忠，张志新，等.发电厂、变电站接地网故障诊断研究[J].电力系统保护与控制，2009，37(24)：51-54.

Xu Huizhong，Ma Hongzhong，Zhang Zhixin，et al.Research of fault diagnosis of grounding grid of electric power plants and substations[J].Power System Protection and Control，2009，37(24)：51-54.

[6]张晓玲，黄青阳.电力系统接地网故障诊断[J].电力系统及其自动化学报，2002，14(1)：48-51.

Zhang Xiaoling，Huang Qingyang.Fault diagnosis of grounding grid of electric power plants and substations[J].Proceedings of the CSU-EPSA，2002，14(1)：48-51.

[7]刘健，王树奇，李志忠，等.基于网络拓扑分层约简的接地网腐蚀故障诊断[J].中国电机工程学报，2008，28(16)：122-128.

Liu Jian，Wang Shuqi，Li Zhizhong，et al.Grounding grids corrosion diagnosis based on hierarchical simplification of network topology[J].Proceedings of the CSEE，2008，28(16)：122-128.

[8]刘健，王建新，王森.一种改进的接地网故障诊断算法及测试方案评价[J].中国电机工程学报，2005，25(3)：71-73.

Liu Jian，Wang Jianxin，Wang Sen.An improved algorithm of corrosion diagnosis for grounding grids & its evaluation[J].Proceedings of the CSEE，2005，25(3)：71-73.

[9]倪云峰，王树奇，李志忠，等.一种线性的接地网故障诊断新方法[J].电力系统保护与控制，2008，36(17)：24-27.

Ni Yunfeng，Wang Shuqi，Li Zhizhong，et al.A linear approach of grounding grid fault diagnosis[J].Power System Protection and Control，2008，36(17)：24-27.

[10]Dawalibi F P.Electromagnetic fields generated by overhead and buried short conductors Part2-Ground conductor[J].IEEE Transactions on Power Delivery，1986，1(4)：112-119.

[11]Zhang Bo，Zhao Zhibin，Cui Xiang.Diagnosis of breaks in substations grounding grids by using the electromagnetic method[J].IEEE Transactions on Magnetic，2002，38(2)：473-476.

[12]刘洋，崔翔，赵志斌，等.基于电磁感应原理的变电站接地网腐蚀诊断方法[J].中国电机工程学报，2009，29(4)：97-103.

Liu Yang，Cui Xiang，Zhao Zhibin，et al.Method of corrosion diagnosis of substations’ grounding grids based on electromagnetic induction theory[J].Proceedings of the CSEE，2009，29(4)：97-103.

[13]刘洋，崔翔，卢铁兵.变电站接地网的断点诊断方法[J].电网技术，2008，32(2)：21-25.

Liu Yang，Cui Xiang，Lu Tiebing.A diagnosis method of breaking points in grounding grid for substations[J].Power System Technology，2008，32(2)：21-25.

[14]刘洋，崔翔，赵志斌，等.变电站接地网腐蚀诊断磁场检测系统的设计与应用[J].电工技术学报，2009，24(1)：176-182.

Liu Yang，Cui Xiang，Zhao Zhibin，et al.Design and application of testing magnetic field system for corrosion diagnosis of grounding grids in substation[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2009，24(1)：176-182.

[15]刘洋，崔翔，赵志斌.变电站接地网结构判断与缺陷诊断方法[J].中国电机工程学报，2010，30(24)：113-118.

Liu Yang，Cui Xiang，Zhao Zhibin.Method of structure estimation and fault diagnosis of substations’ grounding grids[J].Proceedings of the CSEE，2010，30(24)：113-118.

[16]刘洋，崔翔，赵志斌.测量磁感应强度诊断变电站接地网断点[J].高电压技术，2008，34(7)：1389-1394.

Liu Yang，Cui Xiang，Zhao Zhibin.Method for diagnosing the conductor broken point of grounding grids in substation based on measuring the magnetic induction intensity[J].High Voltage Engineering，2008，34(7)：1389-1394.

[17]刘冬，王飞，黄群星，等.三维炉膛温度场重建中病态矩阵方程的求解研[J].中国电机工程学报，2007，27(26)：72-77.

Liu Dong，Wang Fei，Huang Qunxing，et al.Study on solving ill-posed matrix equation in reconstruction of three-dimensional temperature distribution in furnace[J].Proceedings of the CSEE，2007，27(26)：72-77.

[18]柴新涛.基于LSQR和模拟退火联合的谱反演方法研究[D].北京：中国石油大学，2012.

[19]柴新涛，李振春，韩文功，等.基于LSQR算法的谱反演方法研究[J].石油物探，2012，51(1)：11-18.

Chai Xintao，Li Zhenchun，Han Wengong，et al.Spectral inversion method analysis based on the LSQR algorithm[J].Geophysical Prospecting for Petroleum，2012，51(1)：11-18.

[20]陈堂敏.基于阻尼LSQR算法层析成像技术在铸件缺陷检测中的应用[J].电工技术学报，2006，21(11)：110-115.

Chen Tangmin.Application of tomography technology based on damping LSQR algorithm to casting flaw inspection[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2006，21(11)：110-115.

[21]Morigi S，Reichel L，Sgallari F，et al.Iterative methods for ill-posed problems and semi-convergent sequences[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2006，193(1)：157-167.

[22]刘超.超声层析成像的理论与实现[D].杭州：浙江大学，2003.

[23]刘洋.变电站接地网缺陷诊断方法和技术的研究[D].北京：华北电力大学，2008.

[24]赖降周，卢琳璋.隐式重新启动精化 Lanczos 双对角化方法[J].厦门大学学报(自然科学版)，2009，48(2)：153-159.

Lai Jiangzhou，Lu Linzhang.An implicitly restarted Lanczos bidiagonalization method with refined vector[J].Journal of Xiamen University (Natural Science)，2009，48(2)：153-159.

[25]任鹏.基于电网络理论的接地网腐蚀与断点诊断方法研究[D].北京：华北电力大学，2009.

[26]冯炜，沈绍祥，纪奕才，等.带温度测试模块的TDR测试系统研制及温度校准[J].科学技术与工程，2009，9(23)：6971-6976.

Feng Wei，Shen Shaoxiang，Ji Yicai，et al.Design of time domain reflectometry with temperature measurement circuit and temperature correction[J].Science Technology and Engineering，2009，9(23)：6971-6976.

杨帆男，1980年生，博士，副教授，研究方向为电磁场数值方法及其在高压设备故障检测中的应用。

E-mail：yangfancqu@gmail.com(通信作者)

代锋男，1990年生，硕士研究生，研究方向为变电站接地网腐蚀故障诊断。

E-mail：dai_f2012@sina.com

作者简介

中图分类号：TM86

收稿日期2014-06-05改稿日期2014-06-23

高等学校博士科学点专项科研基金资助项目(20130191110005)。