“容积和容积单位”教学研究报告

湘潭市小学数学名师工作室　潇湘数学教育工作室



“容积和容积单位”教学研究报告

湘潭市小学数学名师工作室潇湘数学教育工作室

一、问题

“容积和容积单位”是人教版小学数学五年级下册“长方体和正方体的体积”的教学内容，属于第二学段“图形与几何”板块的知识。它是在学生了解了长方体和正方体的特征，掌握了长方体和正方体表面积、体积的含义和计算，并且对体积单位及单位间的进率有了明确认识的基础上进行教学的。正因为有了体积和体积单位作基础，有老师认为容积和容积单位的教学完全可以照搬，只要稍许介绍两个特殊的计量单位升和毫升就行了。而且因为1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，立方分米与立方厘米的进率学生早已知道，升与毫升的进率可以直接推导出来，整节课的教学毫无难度可言。事实果真如此吗？我们经过广泛调查、访谈，发现了容积和容积单位教学中的不少问题，对这些问题进行了深入的思考和讨论，并作了一些探索与实践。

1.教学实践中的问题

（1）教材中容积概念是用体积来刻画、描述的——箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。因为有体积概念作基础，教师们认为一句话可以讲清容积的概念，对其中的“所能容纳”等字眼一带而过，往往导致学生理解不充分，表达不到位，最终无法领会容积概念的本质。

（2）教材在揭示容积概念时没有出现容器一词，但在介绍容积的计算方法“但要从容器里面量长、宽、高”时却出现了容器两字。其实容器与容积联系十分紧密。学生学过体积知识后，只要理解了容器的含义，对容积概念的理解就可以做到触类旁通。在课堂教学中，教师需不需要使用容器一词帮助学生理解容积的概念？对于各种容器，我们既可以计算其体积，也可以计算其容积。如何帮助学生既理解容积和体积的紧密联系，又能清楚地道出两者之间的根本区别呢？

（3）量感的培养历来就是小学数学教学中的一大难题，尤其是容积单位升和毫升，原本就属于孩子们在生活中接触不多的计量单位，如何让学生建立起对升和毫升的感性认识呢？

（1）对于容积和容积单位而言，体积和体积单位的教学是一把双刃剑，既能让学生借助已有的体积知识和经验促进容积相关知识的学习，又容易对容积的学习造成干扰，导致学生将两者混为一谈，难以把握容积和体积的区别。

（2）对容积概念中“所能容纳”这样的词语，学生觉得抽象、难以理解，常常出现一些误解。比如，认为只有装了物体的容器才会有容积，容器如果没有装物体则没有容积；认为容积的大小完全取决于当时所装物体的多少。就像载重卡车运货，货物堆放时明显地超过了车厢的高度，可学生还是认为卡车上所运货物的全部体积就是卡车车厢的容积，等等。

（3）学生由于空间观念较弱，特别是受液体容易变形、形状不稳定等物理特性的影响，不能理解容积单位的实际意义，对容积单位的大小难以把握。

2.对问题的分析

容积的概念建立在体积概念的基础之上。了解容积的意义，厘清容积和体积概念的联系与区别是本节教学的重点和难点。

我们翻阅了香港的小学数学教材，发现香港教材中体积概念的描述与内地是一样的，而容积概念却不同。香港教材称容积为容量，指出，“容量，是指一个容器能容纳多少物体”。我们认为，课堂中教师突出容积的测量特征——容纳，对学生来说，将会更直观、更容易接受。于是我们决定先介绍容器，然后借助容器理解容积，这样对区分容积和体积大有帮助。

容积单位升和毫升属于量的范畴。量最大的特点就是抽象，但有时教师在帮助学生建立量感时往往将其简单化了，用三言两语的解说或者演示操作代替学生的亲身体验，导致学生缺乏相关的直接经验支撑。因此，教学中我们应设计一些孩子们乐于参与的操作体验活动，让他们在做中学，在做中感悟，并且借助这些直接经验，引导学生判断和推测较大物体的容积，在不断实践中形成量感。

二、实践

针对教学中教师存在的困惑与学生遇到的困难，我们设计了教学并进行了实践。以下是主要的教学片段实录。

（一）初步感受容积概念

师：（出示一白一黄两个体积明显不同的长方体盒子）老师带来了两个盒子，大家看看，这两个盒子的体积一样吗？

生1：白色盒子体积大，黄色盒子体积小。

师：设想一下，如果我用这个体积较小的黄色盒子盛满米，然后将米倒入体积较大的白色盒子里，结果会怎样？

生2：白色盒子里肯定还差一大截，还可以继续盛米。

师：他的猜想究竟对不对呢？我们来试一试！

生3上台将米装满黄色盒子，再将黄色盒子里的米倒入白色盒子。孩子们惊讶地发现白色盒子装不下，米粒都要溢出来了，而黄色盒子里居然还有剩余。

生4：啊！这个大盒子里能装的东西还少一些！

师：是啊，很奇怪呀！白色盒子明明体积大一些，为什么它能装的东西反而少一些呢？

生5：白色盒子虽然体积大，但是盒子的壁跟黄色盒子相比要厚一些，里面的空间自然就小一些，所以能装的东西就少了。

师：（倒掉米后将盒身侧转过来，果然两个盒子的内壁厚度明显不同）你们的猜想完全正确！白色盒子里能装东西的空间小一些，能容纳的物体体积小一些，我们就可以说白色盒子的“容积”小一些。（板书：容积）黄色盒子里能装东西的空间大一些，能容纳的物体体积大一些，我们就可以说黄色盒子的“容积”大一些。

设计意图：课伊始，利用两个体积明显不同的长方体盒子，体积大的盒子里能装东西的空间反而小这样的操作活动，激发学生探究容积概念的兴趣，顺利地引出容积这一概念。

（二）了解容器的意义

师：像黄色盒子、白色盒子这样的物体，它里面还能装进其他的物体，也就是还能容纳其他的物体，我们把它们称为容器。（课件出示集装箱、油罐、纯净水水桶图片）这里有三个容器。（指集装箱）大家想象一下集装箱里面的空间，应该很大吧。它里面的空间有多大，就可以装多大体积的货物。当它装得满满的，这时所装货物的体积就是集装箱的容积。（指油罐）用这个油罐装油，装得满满的，这时它所装油的体积就是这个油罐的容积。（指纯净水水桶）谁来说一说这个纯净水水桶的容积？

生1：用这个水桶装满纯净水，它所装纯净水的体积就是它的容积。

师：你说得真好！装满就是能装多少就装多少。我跟大家讲一个故事。老和尚让小和尚用水桶去装满石头。小和尚飞快地从周围捡了许多大石头，三下两下便将木桶装满了。老和尚问：“已经装满了？”小和尚回答：“是的，桶子再也装不下任何一颗石头了。”老和尚笑着从地上抓起一把小石子往水桶里撒下去，只见小石子很快地从大石头的缝隙间穿过，落到了桶底。小和尚明白了，赶紧往水桶里装小石子。待水桶内装满小石子后，小和尚说：“装满了！”老和尚笑了笑，顺手抓起一把沙子往水桶里放，沙子从小石头的缝隙间流向桶底。小和尚明白了，又赶紧往水桶里装沙子。等到水桶中装满了大、小石头以及沙子，小和尚这回信心满满地说：“师父，现在真的装满了，再也装不下任何东西了。”老和尚摇头不语，伸手舀了一瓢水，从水桶顶端淋了下去，小和尚看到沙子迅速将那一瓢水吸收了，一滴也没有流出桶外。孩子们，现在你知道了什么叫做装满吗？

生2：装满就是指里面塞得满满的，一丝缝隙也没有留下。

师：说得非常好！一丝缝隙也没有留下才是装满！在生活中，我们还会看到很多容器。谁来举例说说某个容器的容积？

生3：用刚才那个黄盒子装满米，装得满满的，一丝缝隙也没有，它里面装的米的体积就是这个盒子的容积。

师：非常好！要是这个黄色盒子里装满酒呢？

生4：它里面装的酒的体积就是这个盒子的容积。

师：要是黄色盒子里装满空气呢？

生5：它里面装的空气的体积就是这个盒子的容积。

师：对，不管装的是什么东西，不管装的东西是固体的、液体的还是气体的，只要装得满满的，一丝缝隙也没有，这个盒子的容积就是它里面所装东西的体积。谁能用一句话总结什么叫容积？

生6：用一个容器装满东西，装得满满的，一丝缝隙也没有，所装东西的体积就是它的容积。

师：总结得很到位！（板书）“所能容纳”是什么意思？

生7：能装多少就装多少，也就是装满的意思。

师：如果用一个饼干盒装爆米花，装得满满的，还膨出来了，这时候爆米花的体积是不是这个饼干盒的容积呢？

生8：不是，不能膨出来，只能刚好将饼干盒塞满，多出来的部分不能算。

师：同意吗？

生（齐）：同意！

设计意图：学生利用生活经验理解容积概念，用语言描述容器的容积，并在此基础上进行归纳概括，从而真正把握容积概念的本质。

(三）明确容积与体积的区别和联系

师：我们知道了白色盒子的体积大，黄色盒子的容积大。如果我们把黄色盒子的内壁加厚、再加厚，请你想象一下，这只盒子的内壁如果一直这样加厚下去，盒子的什么在变？什么没变？为什么？生1：盒子的容积不断变小，体积没有变。因为盒子里面可容纳物体的空间越来越小，也就是盒子的容积越来越小。盒子的外面没有加厚，整个盒子所占的空间还是原来那么大，所以它的体积没有变。师：说得很对。如果我们不是增厚盒子的内壁，而是不断增加这个盒子外面的厚度，盒子的什么在变？什么没变？为什么？

生2：盒子的体积不断变大，容积没有变。因为盒子里面空间的大小一直没变。但盒子外面的厚度不断增加，盒子所占的空间越来越大，也就是盒子的体积越来越大。

师：说得太好了。那体积和容积是一回事吗？

生3：不是一回事，体积是指这个物体本身所占空间的大小，而容积是指这个物体里面空间的大小。

生4：体积大的物体不一定容积就大，就像那个白色盒子，明明体积比黄色盒子大，容积反而小一些。

生5：一个物体体积的大小，看外表就可以了，容积的大小光从外表是看不出来的。

师（对生5）：你的话很有哲理啊，一个人高矮胖瘦我们看一眼就知道，可是这个人的学识水平光看外表是看不出来的，所谓人不可貌相就是这个意思。看来同学们对容积都理解得非常到位了。如果我想要知道这个黄色长方体盒子的体积，怎么算？

生6：长×宽×高。

师：要从哪里量长、宽、高的数据呢？

生6：从外面量。

师：今天我们学了容积，这个盒子的容积又该怎么算呢？

生7：也是长×宽×高，不过要从里面量。

师（惊讶地）：怎么要从里面量？

生7：这个盒子的容积是指这个盒子里面能容纳物体的体积，必须从里面量才准确。比如这个盒子里装满了水，水就随着盒子里面的形状变成了长方体的水。这个长方体水的体积就是盒子的容积。长方体水的长、宽、高就是盒子里面的长、宽、高。

师：看来长方体或正方体容器的容积计算方法跟体积的计算方法是相同的，只不过计算体积要从外面量它的长、宽、高，而计算容积要从里面量它的长宽高。（出示一块鹅卵石）谁来说一说要计算这块石头的容积该怎么测量？

生8：石头没有容积！

师（惊讶地）：没有容积？为什么？

生8：因为石头里不能装进其他东西，不是容器。

师：你的意思是每个物体都有体积，但不是所有的物体都有容积。对吗？一个物体要有容积，首先它必须是一个容器。只有容器才会有容积。那你们有办法让这块石头变得也有容积吗？（沉默了一阵，有学生举手）

生9：在石头里掏个洞，它就有容积了。

师：好办法，怎样才能让石头的容积更大呢？

生10：将洞尽可能地挖大，使内壁很薄很薄。

师：这样一来，石头的容积岂不是比它的体积还要大了？

生11：绝对不可能！即使石头的内壁薄得几乎没有，它的容积也要略小于体积。

师：那么你们觉得同一个容器，它的体积与容积比较，谁大？谁小？

生12：同一个容器，它的体积总是比容积大，因为体积是指整个物体的大小，而容积仅仅是指物体里面空间的大小。

生13：容器是有内壁的，内壁总是有厚度的，不管厚还是薄，它的容积永远比体积要小。

师：什么情况下，我们可以将一个容器的体积看作它的容积？

生14：假如将容器的内壁磨得很薄很薄，薄得几乎没有，这时我们可以将内壁的厚度忽略不计，这个物体的容积就等于它的体积。

师：除了内壁的厚度忽略不计之外，还有什么情况下也可以？

生15：在计算结果不需要那么精确的时候，我想是可以的。

师：大家同意他的意见吗？

生（齐）：同意！

设计意图：从容积与体积的“异”处入手，利用“白色盒子体积大，黄色盒子容积大”的话题，师生之间、生生之间进行深层对话，厘清容积与体积概念的区别，理解两者虽然计算方法相同，测量方法却不同。随后精心设计了鹅卵石的容积该怎么测量这一问题，引导学生明白所有的物体都有体积，有些物体却只有体积而没有容积。当然，我们可以想办法让没有容积的物体变为有容积的物体。教师的追问“怎样才能让石头的容积更大？会不会超过它的体积？”引发学生对体积与容积区别的深度思考，从而沟通体积与容积之间的联系。

（四）认识容积单位升与毫升

师：计量物体的体积要用到体积单位，我们学过哪些体积单位？

生1：立方厘米、立方分米、立方米。（板书：cm3、dm3、m3）

师：我们今天学的容积，表示的是容器所能容纳物体的体积。既然是能容纳物体的体积，所以计量物体的容积自然就用体积单位。但是也有特殊情况，如果容器里装的是液体，像饮料、水等，就常常采用容积单位。有哪些常用的容积单位呢？请大家拿出自己收集的空饮料瓶等找找看。

生2：升。

生3：毫升。生4：ml。生5：L。师：有谁知道L、ml分别表示什么意思？

生6：L是升，ml是毫升。

师：你知道的可真多！（板书：L（升）、ml（毫升））那你们知道为什么用这些字母表示升和毫升吗？

生7：英语单词首字母吧。

师：差不多！L是英文单词“升”liter的首字母，ml是“毫升”milliliter的缩写。看看你们手里的空瓶，上面关于瓶子里装的液体的体积是怎么写的？

生6：净含量555毫升。生7：净含量20ml。生8：净含量5升。……

师：咦？为什么是净含量，而不是说这个容器的容积呢？（生疑惑不解）（出示一瓶饮料）大家看，这是一瓶没有开封的饮料，里面饮料的净含量能说成是这个饮料瓶的容积吗？为什么？

生9：不能。因为没有装满，瓶子里还空着一大截呢！

师：如果装满了呢？

生10：如果装满了的话，瓶子中饮料的净含量就是瓶子的容积。

生11：我知道了，净含量是指这个容器实际装了多少毫升或者多少升的液体。净含量总是小于这个容器的容积。

师：真是一群善于观察、善于思考的孩子！

设计意图：利用饮料瓶里面饮料的净含量能否说成是这个饮料瓶的容积这一问题引发学生思考，使他们明白净含量与容积的区别，再因势利导，通过反问沟通两者之间的联系。

(五）感受1升

师：每一组桌上都有一瓶正好1升的红色水，请记住这么一大瓶水的体积就是1升。如果把这1升水倒在一次性塑料杯里，估计一下，能倒满几杯？

生1：4杯。

生2：5杯。

师：你们的猜测是否正确呢？请自己动手验证吧。

学生分组将红色水一杯一杯倒入一次性塑料杯里。

生（惊喜地）：5杯，正好5杯！

师：现在我们知道了，1升水就是这么一大瓶水的体积，或者说一次性塑料杯5杯水的体积！医学上有种说法：人每天要喝2升水才有益健康。2升水是几杯水的体积？怎么算的？

生3：10杯！5杯水的体积是1升，2升就是2个5杯，也就是10杯水的体积。

师：有不同意见吗？

生4：要看杯子大小吧。如果是一次性塑料杯，2升水就是10杯，我们平时喝水的茶杯有大有小，大一点的杯子只要喝7、8杯吧！

师：能根据实际情况分析问题，真棒！（出示一个体积是1立方分米的正方体）这是我们学习体积单位时使用过的正方体，它的体积是1立方分米。（出示一个正方体塑料盒）现在我把这个正方体放到这个方盒子里（演示），你们看到了什么？说明了什么？

生5：正好装满，说明这个方盒子的容积是1立方分米。

师：现在我想把刚才这1升水倒进这个容积是1立方分米的盒子里，你觉得会怎样？

学生有的认为会装满，有的觉得装不下。教师将1升水倒进去，学生发现不多不少刚好装满。

师：从刚才这个实验，你可以得到什么结论？

生6：1立方分米等于1升，因为都是正好装满，我们可以说这个盒子的容积是1立方分米，也可以说它的容积是1升。（板书：1升=1立方分米）

师：（出示大饮料瓶）我们来估一估这个饮料瓶的容积大约是多少。你是怎么估的？

生7：大约1.5升。这个饮料瓶的容积比1升水要多，但又不够2升，所以我估成1.5升。

师：这种方法很好！我们估的时候，用1升的量作标准，看看要估算的这个容器的容积大约是几个1升，就是几升。

设计意图：本环节中，学生在“做”和“思”的过程中积累数学活动经验。当学生将1升水倒入一次性塑料杯发现正好可以倒5杯时，教师追问“有不同意见吗”，使学生推翻原有认知，引发思考，原来杯子的大小不同，1升水可倒的杯数也不相同，加深了对1升水的体验。在验证1升=1立方分米时，思路也同样如此，操作成为了思考的感性支撑。学生主动地去寻找标准量，进行观察、比较、合理推断，从而使估测结果更接近事实。

（六）感受一毫升

师：1毫升大约是多少滴？我们一起来看看！（视频播放：人在运动后的汗滴、雨伞上滑落的雨滴、未拧紧的水龙头滴下的水滴……学生随着画面不自觉地跟着数）

师：能说说1毫升液体大约有多少滴吗？

生1：20滴左右。

生2：看每滴的大小，小的有20滴，大的只有10滴。

师：总结得很到位！1毫升的液体有10多滴。你的小手能兜住1毫升的液体吗？来，小手伸开，蜷成一个小碗状。（老师依次在每个小组的1名同学手中倒入1毫升水）兜住喽，让组里其他同学看看这1毫升水，然后将这1毫升水分别倒入桌上的小勺里、水瓶里或者空文具盒里，看看1毫升水在这些不同容器中是个什么样子。看过之后，对于1毫升水，你有什么感受？

生3：1毫升水放在手心里很轻很轻。

生4：1毫升水很少，倒在文具盒里连盒子底都不能盖满。

生5：1毫升水躺在小勺里，就那么一丁点，实在是太少了！

生6：我刚才偷偷尝了这1毫升水，就一小口，根本不解渴。（教室里轰地笑起来）

设计意图：通过“数一数”“捧一捧”“看一看”“说一说”等活动，学生调动多种感官积极参与到毫升的认识过程中，去触摸和品味数学。

三、讨论

1.几何概念教学中，如何才能让学生透彻理解几何概念？

容积是一个几何概念。几何概念是反映现实世界空间形式本质属性的一种思维形式，是学生建立几何知识体系的根基。离开了几何概念，学生的空间观念、抽象思维能力的培养就成了无源之水、无本之木。学生学习几何概念的过程，需要从尽可能多的直观性很强的正面例子中形成正确的感性认识，在此基础上进行分析、提炼，归纳出感性材料的本质属性，形成几何概念。因此，大量举例，充分感知，是学习几何概念的关键。

容积这一概念对学生来说是一个全新的几何概念，学生自己不可能探究得出，必须由老师讲解。所以老师首先以集装箱为例，详细讲解了什么是集装箱的容积，然后引导学生理解容积概念时必须强调“装满”，共同总结出“不管装的什么东西，不管装的东西是固体的、液体的还是气体的，只要装得满满的，一丝缝隙也没有，这个盒子的容积就是它里面所装东西的体积”。此时孩子们对容积的意义已经有了初步的感性认识。接下来在学生获得大量的对具体事物的感知之后，教师引导学生抽象概括出容积的本质属性，以形成新的概念。

2.能否适当调整教学内容，使学生的体验更深入？

因为篇幅的限制，对毫升与立方厘米、升与毫升的关系教学片段我们没有一一呈现。在课堂上对1升、1毫升的体验，我们自认为还是比较充分的。但是对“升”的体验，除了联系医学上“人每天要喝2升水才有益健康”的说法，估算2升水大约多少杯，另外估测了一个大饮料瓶的容积大约1.5升之外，就没有其他的体验活动了。对“毫升”的体验，学生数出1毫升液体大约多少滴之后，也只是象征性地利用十滴水、风油精等物品粗略地估了估10毫升、20毫升。尽管这样，后面的课堂巩固练习所剩时间也不多，显得比较仓促。我们原本设计的30毫升、50毫升、100毫升、几百毫升的估测活动根本无法在课堂时间内完成。对此，教学时，我们是不是可以将体积与体积单位、容积与容积单位的内容进行整合？第一课时理解体积与容积概念，第二课时专门教学体积单位，第三课时专门教学升与毫升。这样处理，一是可以厘清体积与容积概念的联系与区别，借助体积单位学习的经验促进容积单位的教学；二是学生在升与毫升的学习中就有更充裕的时间进行体验，从而有利于培养借助合适的参照量进行估测的意识和能力。美中不足只是增加了一个课时。

（执笔：谭念君、谢曲波、刘龄禧）

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