微元法——求解电磁感应问题的一种重要方法

河北 陈宝友（特级教师）

微元法
——求解电磁感应问题的一种重要方法

河北 陈宝友（特级教师）

出神入化，化繁为简，四两拨千斤。

在电磁感应问题中，由于磁通量变化，产生了感应电流，进而安培力影响导体的运动状态，所以微元法在处理电磁感应问题的变加速运动过程中的位移、速度、时间、能量、电量等物理量时非常方便，需要引起考生的重视。

微元法是高考题中的一个考查重点，它能很好地考查学生的能力，但学生在使用微元法解题时往往无从下手。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

一、电磁感应中的位移问题

【例1】如图1所示，两根相距为d且足够长的光滑平行金属导轨位于xOy水平面内，导轨与x轴平行，左端接有阻值为R的电阻。在x＞0的一侧存在垂直纸面向里的磁场，金属棒质量为m，电阻为r，与金属导轨垂直放置，且接触良好。开始时，金属棒位于x＝0处，现给金属棒一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计。问：

图1

（1）若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x1；

（2）若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足B2＝kx，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x2。

二、电磁感应中的速度问题

【例2】如图2所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的匀强磁场分布在宽度为d的区域内，有一个边长为L（d＞L）的正方形线框，以初速度v0垂直于磁场边界滑过磁场后速度变为v（v＜v0），那么线框完全进入磁场中时线框的速度为 （ ）

图2

D.以上情况A、B均有可能，而C是不可能的

【解析】线框进入磁场和离开磁场时，由于切割磁感线而在线框中产生感应电流，该感应电流受到磁场的安培力，故将改变其运动状态，且加速度也变化，故用一般的方法不容易求解。

【答案】C

三、电磁感应中的时间问题

【例3】如图3所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域上下边缘间距离为h，磁感应强度为B，有一宽度为b（b＜h）、长度为L、电阻为R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好开始做匀速运动。求：

图3

（1）线圈的M、N边刚好进入磁场时，线圈的速度大小；

（2）线圈从开始下落到刚好完全进入磁场所经历的时间。

【解析】设线圈匀速穿出磁场的速度为v′，此时线圈中产生的感应电动势为E＝BLv′

线圈受到的安培力为F＝ILB

此过程线圈受到的重力与安培力平衡mg＝F

设线圈上的边刚好进入磁场时速度为v，当线圈全部在磁场中运动时，根据动能定理，有

（2）在线圈从开始下落到刚刚完全进入磁场的过程中，对某一时刻有

根据牛顿第二定律，则有mg-F＝ma

四、电磁感应中的综合问题

【例4】涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它的基本原理如图4甲所示。水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用。

涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图4乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为L1＝0.6m，宽L2＝0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1＝2T，将铝板简化为长大于L1，宽为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R1＝0.1Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v0＝20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a1＝2m/s2做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m1＝36kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。

图4

（1）电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为多大？

（2）模型车的制动距离为多大？

（3）为了节约能源，将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，如图丙所示。已知模型车质量减为m2＝20kg，永磁铁激发的磁感应强度恒为B2＝0.1T，每个线圈匝数为N＝10，电阻为R2＝1Ω，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘。模型车仍以v0＝20m/s的初速度开始减速，为保证制动距离不大于80m，至少安装几个永磁铁？

【解析】（1）假设电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v1，则

由第（1）问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度v时，安培力的大小为

对速度v1后模型车的减速过程，由牛顿第二定律，则

由⑥⑦⑧⑨⑩联立并代入数据得x＝106.25m ⑪

（3）假设需要n个永磁铁，当模型车的速度为v时，每个线圈中产生的感应电动势为

由⑪⑮并代入已知得n＝3.47，即至少需要4个永磁铁。

（作者单位：河北省衡水市郑口中学）