小学数学“从整体上看”思想在解题中的运用

蔡峰

【摘要】小学数学的解题思想方法很多，“整体思想”就是其中之一。有一些数学题中，由于小学生的知识有限，利用已知条件按照常规的方法和步骤不能直接得到结果，要不就是解题过程繁琐，或是花上更多的时间，而把不是必求部分看作一个“整体”，往往可以找到解题的捷径，从而达到事半功倍的效果。

【关键词】整体思想解决问题

在小学数学教学中，我们经常会遇到一些这样的问题，按照常规的思路，一步一步计算下来，感觉会比较困难，甚至有些问题还无从下手。在这个时候，我们就需要转换思维角度，从整体入手，找到问题的切入点，从而快速、简洁、有效地解决问题。一般地，我们把从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法。下面我就从几个例题简要谈谈。

一、 整体定位

例1：下图中正方形的面积是6平方厘米，求圆的面积。

解析：根据圆的面积公式S=πr2，如果按照常规方法先算出圆的半径r，发现对于小学生而言，在这个题目中是比较困难的，但我们可以求出r2这个整体，从而算出圆的面积S更为简单。可以把圆内的正方形看成由两个完全一样的直角三角形组成，每个直角三角形的面积都等于r2，也就等于正方形面积的12，即2r·r÷2=6÷2。于是，r2=3，圆的面积S=3π（cm2）。或者可以把圆内的正方形看成由4个完全一样的直角三角形组成，每个直角三角形的面积都等于半径平方的一半，也就等于正方形面积的14，即r2÷2=6÷4。同样能得到圆的面积是3π（cm2）。

从上面的例题中，我们可以看到，学生在思考问题时，往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，这是学生的惯用思想方法，然后再逐个击破。但是有时候这种思考方法，常常导致解题变得复杂化，且运算量很多，甚至在一些情况下，以现有的知识水平未能解决，学生就变得束手无策了。其实，在很多数学问题中，如果我们能改变思维模式，有意识地去放大观察的“视角”，往往能发现问题中的某个小“整体”，我们就可以利用这个整体快速、有效地解决问题。

二、 整体代换

例2：如果3x+6=7，那么6x+4=（）。

解析：这题如果是学过分数乘除法的同学，可以从左边的方程解出未知数，然后带入右边的式子求出结果，不过还是有一定的计算量。如果是没有学过分数乘除法的同学，用这样的方法有点困难，但是我们仔细观察，会发现6x是3x的2倍，可以先把6x+4提取公因数2得到2（3x+2），通过左边的方程我们可以得到3x+2=3，从而很快得到6x+4=2（3x+2）=2×3=6。

例3：计算（1+12+13）×（12+13+14）-（1+12+13+14）×（12+13）

学生刚看到这道题，发现每个括号里面的分数分母不同，就直接通分计算了。

原式=（1+36+26）×（612+412+312）-（1+612+412

+312）×（36+26）

=116×1312×2512×56

=14372-12572

=1872=14

这样做就显得比较复杂了，而且会浪费很多计算时间，最重要的是学生在计算过程中很容易出错。原因就是把每个括号里的分数孤立起来了，没有从整体上去仔细观察算式的特点，按部就班地去算，比较繁琐。

上面的例题中，是把所求式变形后的某些部分看成一个整体，或是把某些部分看成一个整体，用字母代替，使原来比较复杂的式子变得简单，把问题转化为对字母的研究上，效果甚好！

三、 整体观察

例4：下图的平行四边形，底10厘米，高6厘米，求阴影部分的面积。

解析：三角形的面积等于底与高乘积的一半，而2个阴影三角形的高都等于平行四边形的高，底的和等于平行四边形的底，所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即10×6÷2=30（cm2）。

例5：用1、2、3、4、5五个数字组成四位数，要求每个四位数中的数字都不相同。所有这些四位数的和是多少？

解析：假设千位上是1，那么百位上可以从2、3、4、5中选择，有4种可能；百位上的数字确定以后，十位上就只有3种选择；十位数字确定后，个位数字就只有2种选择。所以一共有4×3×2=24种选择，即千位数字是1的四位数有24个。

同理，千位数字是2、3、4、5的也各有24个，一共有24×5=120个数，这些数的千位上是24个1，24个2，24个3，24个4，24个5；百位、十位、个位亦是如此。因此，所求的这些四位数的总和是（1+2+3+4+5）×24×1000+（1+2+3+4+5）×24×100+（1+2+3+4+5）×24×10+（1+2+3+4+5）×24×10+（1+2+3+4+5）×24×1=15×24×（1000+100+10+1）=360×1111=399960。

例6：分母为2014的所有最简真分数的和是多少？

解析：首先，我们可以从整体上去考虑一些特效情况。2014=2×1007，所以分母是2014的最简真分数，分子不能是2的倍数，即偶数，也不能是1007的倍数。因此，所求的总和为12014+32014+52014+…20112014+20132014中去掉10072014。

观察发现，算式两端两个分数的和等于1；第2个分数与倒数第2个分数的和也等于1；第3个分数与倒数第3个分数的也和等于1。于是想到，从1到2014，共有2014÷2=1007个奇数，减去分子是1007的一个奇数，还剩1006个依次把首尾两个分数相加，可以得到1006÷2=503个1，所以所求的总和就是503，即分母为2014的所有最简真分数的和是503。

以上的例题，学生乍一看，可能无从下手，但是如果我们能从整体上去把握它，其实并不难。首先，我们要对这些整体进行细致观察，把握内部结构特点，然后对于整体中的某些部分进行相关的变化，最后在整体下进行内部“消化”。在这些问题中，往往会发现有一些规律可循，我们只要抓住这些规律的特点，常常可以化繁为简。

总之，用“从整体上看”思想解题就是把一个问题通过变形，或者把一个复杂的问题进行转化，最后都看成一类整体，而往往这一类整体相对而言比较简单，求解之后，再解决相关问题的方法。在小学数学教学中，要让学生体会这种“从整体上看”的思想，以此提升学生的观察、分析、综合、转化思维的能力，帮助我们的学生更好的解决这一类问题。