关注学生的“二次思维”

2016-03-18 13:49李邦国
教育界·中旬 2016年1期
关键词:分母个性化思维能力

李邦国

【摘要】初始思维是一种“原生态”思维,它是以学生自我认知为根本出发点,是对问题进行初次思维尝试。由于受思维片面性、感性、孤立性的影响,思考往往呈现出非线性的特点,常常不能触及问题本质。而数学学习是以知识为载体,以发展学生思维能力为核心。对于这种“浅层次”的思维,我们必须以学生的“初始思维”为基础,促进“二次思维”的有效开展,实现思维认知的突破,提升学生思维品质。

【关键词】初始思维二次思维基础深入化个性化

数学的学习是以知识为载体,以发展学生思维能力为核心。由于学生的思维是感性的、片面的、孤立的,往往呈现出非线性的特点,面对问题初始思考常常不能触及问题的本质。所谓的“二次思维”就是在此时教师引导学生开展再次思考,在这个过程中唤醒、激发、深化学生的思维认知,提升学生的思维品质。然而有效开启学生的“二次思维”,其中思维的衔接、深入、发展问题就必须引起我们足够的重视与思考。

一、 以学生的“初始思维”为基础

初始思维是学生以自我认知为出发点,对问题进行初次的思维尝试。在此过程中难免会出现认识偏差、思考不足乃至于错误,这都是学生最真实、最朴素的思维展现,是重要的教学资源。初始思维更多的是一种“原生态”思维,通过它教师能为学生思维现状准确号脉。

“二次思维”是学生“初次思维”的延续,是对不完善思维的再次思考。孔子曰:“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达。”二次思维的开展并不是一种思维强加于另一种思维,而是一种智慧启迪另一种智慧的过程。它以学生的思考角度为根本出发点。以学生的初始思维为基础,教师则以一个同行者的角色去引导,促使学生两次思维的衔接处实现认知的突破。

【案例1】0.37÷0.3

师:谁来说一说你的解题过程?

生:我利用商不变法则转化成3.7÷3,答案等于1.2余0.1。

生:我们也是先运用商不变法则将它转化为除数是整数的除法,答案也是1.2余0.1。

[初始思维]

师:我们有什么办法检验答案是否正确呢?

生:我们可以看余数是否大于除数,本题余数是0.1小于除数0.3所以计算的结果是正确的。

生:也可也通过乘法进行验算,用商乘除数再加上余数看结果等不等于被除数。

师:请同学们用自己的方法检验答案是否正确。(学生独立完成检验)

生:我们通过验算发现计算的结果为0.46与被除数不相等,所以答案存在问题。

师:从余数的角度进行验算是正确的,而从计算的角度为什么会得出相反的结论。

生:看余数只能初步的判断,计算才是准确的判断。

师:那问题出现在哪里呢?(学生独立思考尝试找出问题的所在)

生:在验算时我发现1.2×0.3=0.36,如果余数是0.01就能得到0.37这个结果。

[二次思维]

师:一个大胆的想法,余数可能存在问题。

生:我刚才再次看了竖式中余数的位置,“1”对应的位置是3.7的十分位,也是没转化前0.37百分位,如果按后一种看法余数就是0.01。

生:我觉得他的看法有道理,商是1.2余数是0.1是3.7÷3的计算结果,对于原来算式0.37÷0.3来说“1”应该是百分位上的,所以余数是0.01。

师:你们同意他们的看法吗?

生:同意,但最好再举一个例子说明。

师:想法很好,请你们完成0.25÷0.2。

生:通过计算我认为他们的说法是正确的。

生:在利用商不变解决除数计算时,商是不变的余数是变的,余数是多少要看与对于原被除数所对应的数位。

纵观上面的教学过程,学生解决0.37÷0.3时以没有余数的小数除法为思维起点,在成功地运用“商不变法则”实现知识的转化的同时,却未考虑由此对余数所产生的影响。对于上述思考不充分、不全面,站在学生角度是完全可以被理解的。为此教师以让学生对计算结果进行验算的方式,扣起了学生的“初始思维”之门。学生在对问题的探索中步步紧逼问题的所在,在对所列竖式的自我反思中更是提出了大胆设想:“我在验算时我发现1.2×0.3=0.36,如果余数是0.01就能得到0.37这个结果。”对于这样的思维认知虽然其中不乏感性的成分,但却一下子让学生的思维关注点聚焦在余数上面。要成功有效引导学生进行“二次思维”我们要做到:及时捕捉学生初始思维中的“闪光点”,以学生原有的思维认知为基础,以激发学生积极主动的思维为动力,通过学生的内在机能的激发不断完善认识。

二、 促进“二次思维”的深入化

数学的学习是不断发展思维,促使学生思维品质提升的过程。因此只有将学生的思维引向深入,学习才能触及问题的本质。思维随着深度的不断拓展其广度才会随之延伸,才能在完整的知识体系中进行知识的建构。由于二次思维是建立在学生初次思维的基础之上,经过一定的思维反思与调整、修正与完善并逐步趋于合理,学生此时所具有的思维能力完全可以将思考引入深入化。

【案例2】比较下面分数的大小,看看你有什么发现?

35○7947○25

57○4658○710

[初始思维]

师:谁来说一说每组分数的大小。

生:(略)。

师:在此基础上你有什么发现吗?

生:在第一组我发现分母都比分母大2,结合刚才通分的比较的大小,我进一步发现:“分母比分子大2,这个分数分母越大它就越大。”

师:你们同意他的发现吗?

生:同意,我对第二组的发现也差不多只是分母比分子大了3。

师:你能说具体点吗?

生:我的发现是:“分母比分子大3,这个分数分母越大它同样越大。”

师:为什么两题的结论会如此的相同呢?

生:分母都比分子大相同的数。

[二次思维]

师:这样发现能给你进一步的启发吗?

生:我觉得只要分母比分子大的数是相同的,分母越大分数就越大。

师:你们认可他的发现吗?

生:认可。

师:要证明结论的正确我们还需要进一步?

生:举例说明。

(学生举例说明略)

…………

[思维的深入化]

师:本题是分母比分子大相同的数,你觉得还会出现哪种类似的特殊情况?

生:我想是分子比分母大同样的数这类特殊的假分数情况?

师:下面请同学们4人以小组,合作完看看有什么发现并加以证明。

生:分子比分母大1的两个分数如32与43、65与54,分母越大分数越小。

生:分子比分母大2的两个分数如53与64、75与53,同样分母越大分数越小。

生:分子比分母大3的两个分数如52与74、107与85,分母越大分数越小。

…………

生:我们通过举例的方法证明了:分子比分母大同样数的假分数,分母越大分数越小。

上述的教学片段,向我们展示了两种不同层次上的思维。初始思维中学生思维基础是具体的实际问题,立足于问题的解决。二次思维所依附的载体已不再是具体的知识,而更多是聚焦思维层面上的思考。案例中的二次思维是一个不断深入、突破的过程:学生在对规律的反思中获得思维的启迪,在类比中不断提出大胆的猜想,在猜想的验证过程中不断丰盈自己的认知。

三、 追求“二次思维”的个性化

人与人之间的思维存在明显的个体差异,这种差异主要表现在思维的独立性和批判性、思维的广阔性和深刻性、思维逻辑性与独创性等方面。二次思维是学生思维发展的关键时期,也是思维逐步趋于成熟的阶段,此时学生对问题思考呈现出个性化的思考方式,个性化的思维亦在逐渐萌芽。对于学生出现的这种思维倾向我们应精心呵护积极引导,努力实现学生个性化思维的发展。

【案例3】1+2+3+4+…+100=

[初始思维]

师:同学们你们能计算出从1一直加到100的和是多少吗?

生:老师算是可以算出来的,但是计算量太大了。

生:最好是分小组每个组各算一部分,然后把各组的答案加起来,这样既可以算出答案也比较节约时间。

生:老师我听高年级同学说过好像是5050。

师:答案是正确的,你会快速计算吗?

生:不会。

[二次思维]

师:你们知道吗?有一个人在他8岁的时候就能快速的算出答案5050。

生:(发出惊讶的声音)老师你快说他是怎样做的。

师:好,老师就把他思考过程写出来,你们试着弄懂它?

(板书:1+100=101、2+99=101、3+98=101、…50+51=101、101×50=5050)

生:(学生通过独立思考、相互交流的方式理解解题过程。)

生:我知道了,他把第一个与倒数第一个第二个与倒数第二个相加,这样不断相加一共有50个101。

生:他太聪明了。

师:他抓住1-100相加的什么特点?

生:每次首尾相加都等于101。

师:你们知道这个比你们还小一岁的小朋友是谁吗?

生:想。

师:他就是高斯,长大后他成为人类历史上伟大的数学家。

[思维的个性化]

生:我也想到了一种快算计算的方法。

师:(惊讶)你说说看。

生:我把100个数分成了10组:1-9、10-19、20-29、…90-99,100先不考虑。每组个位数字相加都是1+2+3…+9=45,一共10个45就是450。在加十位的时候我发现了规律他们分别是100、200、300、…900,加起来就是4500。最后的算式就是4500+450+100=5050。

师:又一个“小高斯”诞生了,你们都懂吗?

生:老师我在他的基础上又想到了更快的方法。

师:(更加惊讶)把你的想法与我们分享下。

生:个位上的数字相加是450,那么十位上的数字加起来也是450,因为是十位上的要乘10就变成了4500,最后再算上100结果也是5050。

…………

上述案例是一节三年级趣味数学课的教学片断。笔者以经典为例以回顾解题为引,通过学生思维的深入参与,准确理解高斯个性化的解题思想。片断最后学生为我们呈现出一次次精彩的、出乎意料的解答,无不向我们展示着他们个性化的思维。此种思维能力的获得并不是唾手可得的灵感乍现,是基于二次思维上的个性化发展。反思学生个性化思维的形成,它根植于对经典解题的理解,源于思维的深入化,顿悟于个性化启迪、个性化思维。整个二次思维是学生理解、消化、深入、反思的过程;是学生自我个性化思维酝酿的过程;亦是学生思维品质不断提高的过程。个性化思维表面是一种思维个性的彰显,实则是学生不断深入思考的结果。纵观本案例如果没有学生在二次思维中的深入思考,个性化思维只能是无源之水,无本之木。

【参考文献】

[1] 姜华.怎样培养学生的数学思维能力[J].吉林教育,2013(31).

[2] 凌铎林.浅谈小学数学思维能力的培养[J].小学教学参考,2006(8).

[3] 谢艳.让学生成为自己的主人——小学生数学思维能力培养方法浅谈[J].数学学习与研究,2010(4).

[4] 王秀娇.如何培养学生的数学思维能力[J].新课程(小学),2012(1).

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