交叉扩散的带Michaelis-Menton型非线性收获率的捕食-食饵模型

董苗娜，容跃堂，王晓丽，殷珍杰

(西安工程大学 理学院，西安 710048)

交叉扩散的带Michaelis-Menton型非线性收获率的捕食-食饵模型

董苗娜，容跃堂，王晓丽，殷珍杰

(西安工程大学 理学院，西安 710048)

在Dirichlet边界条件下，寻求一类交叉扩散的带Michaelis-Menton型非线性收获率捕食-食饵模型正解的存在性.利用上下解法和Crandall-Rabinowitz分歧理论，得出正解的先验估计和一类半平凡解附近局部分歧解的存在性，并将局部分歧解延拓为全局分歧解.推导结果表明：在一定条件下，该捕食模型的正解是有界的，且捕食者和食饵可共存.

捕食-食饵；交叉扩散；正解；全局分歧

近年来，由于很多捕食-食饵系统中的生物资源都有被捕捞和出售以获取经济利益的可能，因此，在研究这类模型的过程中引入Michaelis-Menton型非线性收获率从各方面综合来看都更具有现实意义[1-3].

在环境对捕食者和食饵提供相同保护的前提下，文献[4]提出并研究了一类带Michaelis-Menten型非线性收获率的常微模型的分歧解走向，但其并未考虑扩散影响.在不考虑系统空间因素的情况下，我们可以通过建立常微分方程模型来研究系统的动态规律，包括系统的稳定性，分歧，周期解等等，然而带有扩散项的捕食系统考虑了种群在空间中的演化问题，因而这种扩散捕食系统就比那些常微分捕食系统更加合理，也更加符合实际意义[5-6].

文献[7]考虑了种群扩散的影响，研究了扩散的带Michaelis-Menten型非线性收获率的捕食-食饵模型在Dirichlet边界条件下的全局分歧和稳定性.但是，在经典的生物反应扩散方程中，种群间的相互影响在种群扩散中同等重要.即引入交叉扩散往往更贴近实际情况.一个种群由于另外种群的出现，如捕食者为获得食物不得不追逐食饵、食饵逃离捕食者的猎获等而产生种群迁徙的现象就称为交叉扩散，在实际中带有交叉扩散项的情况更能准确的反应捕食活动中捕食者和食饵的关系.

因此，文中考虑交叉扩散的带Michaelis-Menten型非线性收获率的捕食-食饵模型在Dirichlet边界条件下的正解的存在性及解的全局分歧.

1 预备知识

具有交叉扩散的带Michaelis-Menten型非线性收获率的捕食-食饵模型为

(1)

其中Ω为Rn中具有光滑边界∂Ω上的有界开区域，u,v分别表示食饵和捕食者的种群密度，这里h,c,m,α,β,ρ都是正常数，d1,d2表示交叉扩散系数.

考虑(1)对应的平衡态问题

(2)

对于问题(2)的解(u,v)，若在Ω中，(u,v)中只有一个分量为0，则称其为半平凡解.

考虑特征值问题

(3)

考虑边值问题(4)和(5)

(4)

(5)

其中，设边值问题(4)中非单调函数

证明 由于θ>0,故有

由于h

故由λi(p,q)的严格单调性知，

λ1(L1)>λ1(L0).

由Krein-Rutman定理知，λ1(L0)=0,θ为相应的特征函数，因此λ1(L1)>0.

则L1的特征值均大于0，即L1可逆.

现令Z=(U,V)，其中

U=(1+d1v)u,V=(1+d2u)v

(6)

(7)

2 正解的先验估计

证明 应用反证法.

假设问题(7)存在正解(U,V)，那么由问题(7)中的第一个式子得

(8)

式(8)两边同乘以V，分部积分得

证明 根据极大值原理u>0,v>0.

同理可得

由(u,v)与(U,V)之间的关系知定理2成立.

3 局部分歧正解的存在性

以ρ为分歧参数，利用文献[8-10]中的Crandall-Rabinowitz定理，给出问题(7)发自半平凡解(θ,0)和(0,θρ)的局部分歧正解的存在性.

虽然有一些研究表明MAOIs、TCAs、SSRIs、SNRIs在不同药物类型方面，以及同一类型不同药物方面有疗效间的差异，但大量的比较研究整体上没有发现在这些方面上的明显差异。而基于第二代抗抑郁药物(SSRIs和SNRIs)具有比第一代抗抑郁药物(单胺类氧化酶抑制剂和三环类抗抑郁药物)具有更好的安全性和耐受性，因此使用更为广泛，常被推荐用于急性期的初始治疗。

Γ*={(ρ(s);θ+s(φ*+Φ1(s)),

s(ψ*+ψ1(s))):0

其中u,v均为(U,V)的函数，将问题(7)在(U,V)=(θ,0)处Taylor展开为：

对U=(1+d1v)u，V=(1+d2u)v两边同时求导并求逆矩阵，得

即有

(9)

经计算，L(ρ*；0,0)·(φ,ψ)T=0等价于

令L*(ρ*；0,0)为L(ρ*；0,0)的自伴算子，类似可得

U*=(0,ψ*)T.

由Fredholm选择公理知，

Range(L(ρ*；0,0))=

采用反证法证明L′(ρ*；0,0)·(φ*,ψ*)∉R(L(ρ*；0,0)).

假设存在(h,k)∈X，使得L′(ρ*；0,0)·(φ*,ψ*)=L(ρ*；0,0)·(h,k).经计算得

那么有

(10)

式(10)两边同乘以ψ*，分部积分得

(11)

由于式(11)左端大于0，故矛盾.

由文献[8]中的Crandall-Rabinowitz局部分歧定理知，存在充分小的δ>0及C1连续曲线(ρ(s):Φ1(s),Ψ1(s))∶(-δ,δ)→R×X满足ρ(0)=ρ*，Φ1(0)=0，ψ1(0)=0.

同理可得以下定理

定理4 设hλ1，则(ρ*;0,θρ*)∈X×R+为问题(7)的一个分歧点，并且在(ρ*;0,θρ*)的领域内存在正解

Γ*={(ρ(s);s(φ*+Φ2(s)),

θρ*+s(ψ*+Ψ2(s))):0

x∈Ω,

4 局部分歧正解的延拓

利用文献[11]中的全局分歧理论，将局部分歧延拓为全局分歧.

定理5 在定理3的条件下，问题(7)发自(ρ*;θ,0)的的局部分歧正解Γ*可以延拓为全局分歧.特别地，存在常数d′充分大，使得当d1≥d′时，全局分歧曲线随参数ρ延伸到无穷.

证明 在式(9)中，令K为(-Δ)-1，则其等价于

定义算子T:R+×X→X为

令ρ>ρ*,∀ξ≥1,i≥2,有λi(ξ,qρ)>λ1(ξ,qρ*)>λ1(1,qρ*)=0.因此，T′(ρ)没有大于或等于1的特征值.此时i((T(ρ);·),0)=1.

设存在充分小的ε>0,使得ρ*-ε<ρ<ρ*,λ2(ξ,qρ*-ε)≥λ1(ξ,qρ*),则∀ε≥1,i≥2有λi(ξ,qρ)≥λ2(ξ,qρ)>λ2(ξ,qρ*-ε)≥λ1(ξ,qρ*)≥λ1(1,qρ*)=0.

其中

那么

(12)

由全局分歧定理知，定理3中得到的局部分歧正解Γ*可以延拓为全局分歧，令E为Γ*沿ρ方向的连通分支，则E为问题(7)由(ρ*;θ,0)出发的解曲线.令P=P1×P2,其中

易得在(ρ*;θ,0)的小邻域内，E⊂P.再由全局分歧定理得E-(ρ*;θ,0)必满足下列条件之一：

(a)E从(ρ*;θ,0)连接到(ρ1;0,0)；

(b)E从(ρ*;θ,0)连接到(ρ′;θ,0)，其中ρ′≠ρ*；

(c)E从(ρ*;θ,0)连接到(ρ2;0,θρ)；

(d)E在R+×P内由(ρ*;θ,0)沿参数ρ延伸到∞.

用反证法证明，当d1充分大时(c)也不成立.假设dn→,ρn→ρ2,(Un,Vn)

在[L(Ω)]2中收敛到(0,θρ)，由(un,vn)与(Un,Vn)之间的一一对应关系知道(un,vn)→(0,θρ).现令,则满足方程

由以上讨论可知(d)成立，即有E-{(d′;θ,0)}⊆P,因为‖U‖,‖V‖∞有界，全局分歧曲线只能随参数ρ延伸到无穷.

定理6 在定理4的条件下，问题(7)发自(ρ*;0,θρ*)的的局部分歧正解Γ*可以延拓为全局分歧.且存在常数d′充分大，使得当d2≥d′时，全局分歧曲线随参数ρ延伸到无穷.

5 结 论

本文利用上下解法得到模型正解的先验估计，证明解在一定条件下是有界的；采用分歧定理证明该模型的局部分歧解存在且能够延拓为全局分歧，表明捕食者和食饵在一定条件下可以共存.在前人的研究基础上，本文考虑了带交叉扩散项的Michaselis-Menten捕食模型在Dirichlet边界条件下解的分歧和延拓，而因能力、时间等原因，关于该模型的有些内容仍需进一步探讨研究，比如该模型的解的稳定性问题，模型在Numman边界条件下的解的存在性问题，模型解的数值模拟等都仍存在继续研究的空间.

[1] CLARK C W.Mathematical Models in the Economics of Renewable Resources[J].SLAM Rev,1979,21:81.

[2] DAS T,MUKHERJEE R N,CHAUDHARI K S.Bioeconomic Harvesting of a Prey-predator Fishery [J].J Biol Dyn,2009,3:44.

[3] KRISHNA S V,SRINIVASU P D U,KAYMACKCALAN B.Conservation of an Ecosystem Through Optimal Taxation[J].Bull Math Biol,1998,60:569.

[4] GUPTA R P,CHANDRA P.Bifurcation Analysis of Modified Leslie-Gower Predator-prey Model with Michaelis-Menten Type Prey Harvesting [J].J Math Anal Appl,2013,398:278.

[5] JI Chunyan,JIANG Daqing,SHI Ningzhog.Analysis of a Predator-prey Model with Modified Leslie-Gower And Holling-typeⅡ Schemes with Stochastic Perturbation[J].J Math Anal Appl,2009,359:482.

[6] JI Chunyan,JIANG Daqing,SHI Ningzhog.A Note on a Predator-prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-typeⅡ Schemes with Stochastic Perturbation[J].J Math Anal Appl,2011,377(1):435.

[7] 王妮娅,李艳玲.一类带收获率的的捕食模型的全局分歧和稳定性[J].安徽师范大学学报(自然科学版),2015,38(1):25.

WANG Niya,LI Yanling.Global Bifurcation and Stability of a Class of Predator-prey Models with Prey Harvesting [J].Journal of Anhui Normal University (Natural Science Edition) ,2015,38(1):25.

(in Chinese)

[8] 叶其孝,李正元,王明新.反应扩散方程引论[M].北京：科学出版社,2011.

YE Qixiao,LI Zhengyuan,WANG Mingxin.Introduction of Reaction-diffusion Equations[M].Beijing Science Press,2011.(in Chinese)

[9] 王妮娅,李艳玲.一类捕食-食饵模型正解的存在性和稳定性[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(1):48.

WANG Niya,LI Yanling.Existence and Stability of Positive Solutions for a Kind of Prey-predator Model with Predator Saturation and Competition[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(1):48.(in Chinese)

[10] 何堤,容跃堂,王晓丽,董苗娜.一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型的局部分歧[J].西安工业大学学报,2015,35(11):872.

HE Di,RONG Yuetang,WANG Xiaoli,DONG Miaona.Local Bifurcation for a Prey-preda-tor Model with Cross-diffusion[J].Journal of Xi’an Technological University,2015,35(11):872.(in Chinese)

[11] 冯孝周,吴建华.具有饱和与竞争项的捕食系统的全局分歧及稳定性[J].系统科学与数学,2010,30(7):979.

FENG Xiaozhou,WU Jianhua.Global Bifurcation and Stability for Predator-prey Model with Predator Saturation and Competition[J].Journal of System Science and Mathematical Science,2010,30(7):979.(in Chinese)

(责任编辑、校对 肖 晨)

【相关参考文献链接】

冯孝周,张永锋.一类捕食与被捕食模型的平衡态局部分歧解及稳定性[J].2007,27(3)：274.

王预震.一类带Mound-Haldane反应项的捕食模型的局部共存解的存在性及其稳定性[J].2007,27(6)：595.

冯孝周,陈法超.一类Holling

Tanner捕食模型正常数平衡态解的稳定性[J].2008,28(5)：502.

冯孝周,马晓丽,张永锋.具有功能反应项的捕食模型非负常数平衡解的稳定性[J].2010,30(1)：87.

马晓丽.一类具有交叉扩散的捕食模型的整体分歧[J].2010,30(5)：506.

李畅通,戴飞,冯孝周.具有脉冲控制的Ivlev型捕食系统的动态行为[J].2012,32(1)：5.

李畅通.一类具有密度制约的捕食与被捕食系统的定性分析[J].2012,32(7)：517.

冯孝周,马晓丽.具有饱和与竞争项的捕食模型共存解的惟一性[J].2014,34(1)：11.

戴飞,冯孝周,李畅通.具有密度依赖的Monod-Haldane反应项的捕食模型共存解的存在性[J].2014,34(11)：861.

何堤,容跃堂,王晓丽,等.一类具有交叉扩散的捕食

食饵模型的局部分歧[J].2015,35(11)：871.

Prey-Predator Model with Cross-Diffusion and Michaselis-Menten Type Prey Harvesting

DONGMiaona,RONGYuetang,WANGXiaoli,YINZhenjie

(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China)

The paper discusses the existence of positive solutions to a kind of predator-prey model with cross-diffusion and Michaselis-Menten typed prey harvesting under homogeneous Dirichlet boundary conditions.By Crandall-Rabinowitz bifurcation theory,the existence of positive solutions to a local bifurcation is proved and the local bifurcation is developed to the global one,thus obtaining sufficient conditions of positive solutions,which shows that the predator and the prey coexist under certain conditions.

predator-prey model;cross-diffusion;positive solutions;global bifurcation

10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.11.005

2016-03-25 基金资助：陕西省自然科学基础研究计划项目(2015JM1034)

董苗娜(1991-)，女，西安工程大学硕士研究生. 通讯作者：容跃堂(1960-)，男，西安工程大学教授，主要研究方向为偏微分方程理论及其应用，偏微分方程数值解. E-mail:rongyuetang@126.com.

O175.26

A

1673-9965(2016)11-0883-08