“平面图形的认识（二）”学习中常见错误辨析

秦玉芳

本章是“平面图形的认识（一）”的延续和提升，主要是研究了相交线，从直观上认识了平行线的基础，进一步研究平行线，完善对两条直线位置关系的认识.此外还学习了三角形的相关概念及三角形内角和与外角和的关系.在学习的过程中，同学们易出现概念不清等错误，造成学习困难.下面就这些错误的成因及改正进行简单阐述.

一、 平行线易错问题

1. 忽视平行公理的特殊情形致错

对平行公理的理解应注意一些特殊情形，如过一点作已知直线的平行线，须分析这一点所在的位置可能在已知直线上，只有在理解的基础上掌握公理，不死记硬背，才能避免出错.

例1 判断题：过一点有且只有一条直线与已知直线平行.（ ）.

【错解】正确.

【错解分析】如果该点在已知直线上，就没有与已知直线平行的直线了，平行公理应特别注意前提条件“经过直线外一点”.

【正解】错误.

2. 对平行线性质的掌握因思维定式致错

对常用概念、性质或判断方法的考查，看起来很简单，却常常容易忽略细节问题，易形成思维定式，导致判断错误.

例2 判断题：同位角相等.（ ）

【错解】正确.

【错解分析】同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两个角之间的位置关系，它们没有确定的数量关系；平行线的性质同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是有条件的，只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才成立，没有前提，同位角不一定相等.

【正解】错误.

3. 错认同位角、内错角和同旁内角

在利用平行线的判定方法或性质时，常常因为没有掌握好同位角、内错角、同旁内角的位置关系，出现辨认上的错误.

例3 如图1，下列推理正确的是（ ）.

A. 因为∠2=∠4，所以AD∥BC.

B. 因为AB∥CD，所以∠1=∠3.

C. 因为AB∥CD，所以∠B+∠BAD=180°.

D. 因为∠1=∠3，所以AD∥BC.

【错解】A或B或C.

【错解分析】本题图形较复杂，所以在分析问题时必须认真细心，在利用平行线的判定或性质进行推理时，必须弄清楚是哪两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角，∠2和∠4是直线AB、CD被直线AC所截得的内错角，故由∠2=∠4只能判定AB∥CD，反之，由AB∥CD，得到内错角相等，只能是∠2=∠4；∠B与∠BAD这对同旁内角是直线AD、BC被直线AB所截得到，所以∠B+∠BAD=180°只能由AD∥BC推得.

【正解】D.

二、 图形的平移易错问题

1. 平移概念理解不透

平移属于全等变化，判断其是否属于平移的关键是看其形状、大小是否发生变化，特别应注意空间上的平移.防止错误的方法是：对平移的意义要深入地理解，在判断两个图形是否有平移关系时，容易忽略“在同一平面内”或“沿某一个方向”这两个条件而出错.为避免出错，一定要准确理解平移的概念及特征.

例4 分析以下现象，是否属于平移？

（1） 值日生扫地时，将课桌向后拉0.5米；

（2） 在球面上爬行的七星瓢虫；

（3） 上课前，老师从教室门口走到讲台前，并面向大家时；

（4） 传送带上瓶装饮料的移动；

（5） 海浪的运动；

（6） 沿圆形跑道跑步的运动员.

【错解】6种现象都属于平移现象.

【错解分析】错在忽视了平移是“在同一平面内”或“沿某个方向”两个条件.（2）球面是曲面而非平面；（2）（3）（5）（6）没有按同一个方向运动；而（1）和（4）符合平移定义.

【正解】（1）（4）属于平移现象.

2. 平移距离把握不准

找准题中平移的方向和平移的距离，是解题的关键.

例5 如图2所示，请将图中的“蘑菇”向左平移6个格.

【错解】如图2所示.

【错解分析】蘑菇平移的方向、平移的距离都为已知，只要将构成蘑菇的8个关键点分别平移即可.但应注意关键点与对应点间距离为6个格，而不是原图形与所画图形最近点相差6个格.

【正解】如图3所示.

三、 三角形中易错问题

1. 分析解答时忽视隐含条件

分析这类问题时，不能仔细观察图形，准确应用几何定理，容易忽略题目中隐含条件的作用.

例6 如图4，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x的值可能是（ ）.

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

【错解】因为∠BDC=90°，

所以∠DBC+∠DCB=90°.

又∠BCA为△BCD的外角，

所以∠BCA=∠DBC+∠DCB=90°，

即6x=90°，所以x=15°.

【错解分析】这种解法在用“三角形的一个外角等于它不相邻的两内角的和”时，没有注意“不相邻”；而此题考查的是“三角形的一个外角大于它不相邻的任意一个内角”.

【正解】由图可知： 90°<6x<180°，从而15°

2. 多选题漏解或多解

一题中有多个选项，要判断几个是正确的，有时不能很好地研究每一个选项，靠猜测解题，容易漏解或多解.

例7 若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高是h，给出下列结论：①以a2、b2、c2的三条线段能组成一个三角形；②长为a+b、c+h、h的三条线段能组成直角三角形；③长为、、的三条线段能组成直角三角形.

其中所有正确的结论的序号是_______.

【错解】①②③.

【错解分析】①中的条件满足a2+b2=c2，不满足三角形的三边关系定理.

③中直角三角形的三边若分别为3、4、5，但

2+

2≠

2.

【正解】②.

由勾股定理有a2+b2=c2，且ab=ch，因为（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2=c2+2ch+h2=（h+c）2，

即（a+b）2+h2=（h+c）2，所以②正确.

（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）