谈如何学好二次函数

郭林松

（江西省安远县鹤子初中 江西安远 342100）

谈如何学好二次函数

郭林松

（江西省安远县鹤子初中 江西安远 342100）

二次函数的知识在初中数学中是重点考察的内容，也是学生学习的难点，不管在代数中，还是解析几何中，利用二次函数的机会特别多，同时各种数学思想，如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想等，都利用了二次函数作为载体。中考最后的综合题多以二次函数建模。

二次函数 数形结合 图像与性质

二次函数是初中阶段研究的一个具体的、重要的函数，在历年来的中考题中都占有较大的分值。二次函数不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系，而且对培养学生“数形结合”的数学思想具有重要作用。二次函数涉及了五大学习目标：①会求函数解析式；②会作函数图像；③会说图像性质；④会平移图像；⑤会把一般式配方成顶点式，更涉及了许多思想方法。为了能更好的帮助同学们学好二次函数，本文从以下几方面探讨如何学好二次函数。

一、理解二次函数的概念

二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。在整个教材中具有承上启下的重要作用。二次函数是指形如y=ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）的式子，其中有两个变量x、y，x是自变量，y是x的函数。我们只要先确定其中一个变量x，就可利用解析式求出另一个变量y，也就是函数值y，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标（x，y），实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形。特别地，若图像上某一点的横坐标为m（字母），那纵坐标可表示成am2+bm+c。

二、熟悉不同形式的二次函数的图像及性质

二次函数可以分为如下三种形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ；顶点式：y=a（x-h）²+k [抛物线的顶点P（h，k）] ；交点式：y=a（x-x1）（x-x2） [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 。

1．通过列表、描点、连线三个步骤画出函数图像，观察y=ax2、y=ax2＋k、y=a（x-h）2图像的形状及位置，发现它们之间的异同点，并熟悉各自图像的基本特征.反之，根据图像的特征也能迅速判定它是哪一种解析式.其中y=ax2函数图像是顶点在原点的抛物线，顶点向上或向下平移后可以得到y=ax2＋k的函数图像，如果顶点向左或向右平移就可以得到y=a（x-h）2的函数图像，如果是向上下和左右平移就能得到y=a（x-h）2＋k的函数图像。其中图像的平移口诀是“括号内加减左右移，括号外加减上下移”。 y=ax2→y=a（x-h）2＋k “括号外加减上下移”是针对k而言的，“括号内加减左右移”是针对h而言的。

总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同.由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移.平移时要区分清楚是在括号内加减，还是在括号外加减。

2．通过描点画图、图像平移，理解并明确解析式的特征与图像的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中构画出它的图像的基本特征，这才真正意义上做到数形结合。

3．在熟悉函数图像的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图像来判别二次函数的系数a、b、c、△以及由系数组成的代数式的符号等。在遇到比较复杂的代数式的符号判断时，可采用特殊值法处理。

三、要充分利用“顶点”解决问题

1．要能准确灵活地求出“顶点 ” .形如y=a（x-h）2＋k→顶点（h，k），对于其他形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点，或者用顶点坐标公式P [ -b/2a ，（4ac-b²）/4a ]求出顶点。

2．理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系.若顶点为（h，k），则对称轴为x=h，y最大（小）= k；反之，若对称轴为x=m，y最值=n，则顶点为（m，n）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果。不过这里求函数最值时，有时要考虑自变量的取值范围。

3．利用顶点画草图.在大多数情况下，我们可以根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图像（即草图），能帮助我们分析、解决问题就行了。

四、掌握抛物线与坐标轴交点的求法

一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 （与x轴相交时y=0，与y轴相交时x=0）。其中抛物线与y轴交点坐标为（0，c）。而与x轴交点坐标分三种情况。令y=0，则函数变为一元二次方程，再根据跟的判别式判断交点情况：Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程.联系方程的根的判别式，利用根的判别式的值来判定抛物线与x轴的交点个数 。

五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如已知三个一般条件，可将函数关系式设为一般式；如已知顶点的任何一个坐标，可将函数关系式设为顶点式；如已知两交点坐标，可将函数关系式设为交点式；如顶点在坐标轴或原点时，可将函数关系式设为特殊式等。如能综合利用二次函数的图像与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益。

六、数形结合

要学好二次函数这一章，除了熟记定义和概念外，也要能画出函数图像，通过图像掌握函数性质是一中非常好的方法，也就是数形结合。通过数形结合，学生可以把抽象的数学知识转化为具体的图形，这样会便于学生通过图形去观察和分析，让学生可以一目了然地解答问题。例如在二次函数的学习中，学生经常会看到由已知点求二次函数的解析式的问题。这时，学生就需要结合代数、几何、锐角三角函数及生活实际等找到足够条件，依据不同的条件设出相应的函数表达式，这是求二次函数解析式的关键所在。学生要根据其性质、平移规律等进行思维，数形结合，更加形象地去分析数学问题，并根据自变量的取值范围画出图象，确定解析式。

在教学中教师还可以利用多媒体的帮助，形象生动地给学生展示出解题的思路和过程。在学习图象的平移规律和图象与系数的关系时，教师可以一边给学生演示，一边设置相应的问题让学生思考，层层深入引导学生去理解和归纳二次函数图象的平移规律及一些特殊点的变化，也很好地体现了数形结合的思想。

综上所述，二次函数知识的学习是有多种方法的，关键是教师要把抽象的知识和图象或生活实际结合起来，让学生能够把抽象的知识具体化，促进学生数学分析能力和综合能力的提高。