开放地问 还需智慧地引

朱宇

从理论上讲，开放题因其内容的新颖性，形式的生动性，思维的发散性以及功能的创新性，给了学生以自己喜欢的方式尝试的机会，有利于创新思维的培养和实践能力的形成。然而，落实到实践层面，我们却很无奈地发现，学生开放的思考却常常遭遇封闭的评判，原本思路多元、着眼提升发展的开放探索异化成了“一锤定音”的终极裁决，或是沦为同一反复的喋喋不休。为此，教学中不仅要关注问题的开放性，还要关注解答的有效性。下面，以“数的运算”教学中的开放题为例，谈一谈如何通过智慧的引领，让开放题取得更大效益。

一、在“根”上着力，让本质理解更深刻

乘法分配律的本质是乘法意义的拓展和应用，而在实际应用中我们发现，很多学生更多地关注能不能“凑整”使运算简便，忽略了算式结构变化与运算意义之间的对应关系。因此，开放题的设计要从外形结构特点转向其内涵的探究，引导学生叩问规律的内涵本质。

基于以上思考，“乘法分配律”课上，我将原先的一道开放题“12.5×9+（ ）×（ ），如果能简算，可以怎么填？”做了如下改动：请在○内填上运算符号，在（ ）内填上合适的数，使“12.5×9○（ ）”这道算式能够表示一种运算律。

生1：我的算式是12.5×9+12.5，运用的是乘法分配律。

师：谁知道他说的这个算式表示什么意思？

生2：9个12.5加上1个12.5，结果等于10个12.5。也就是12.5×9+12.5=12.5×（9+1）。

生3：我的算式是12.5×9×8

师：（示意暂停）想一想，这道算式也是运用了乘法分配律吗？

生3：不是。是乘法结合律。

生4：还运用了乘法交换律。

师：这道算式中也是出现了3个数，为什么不是乘法分配律呢？

生5：因为12.5×9×8表示的是9个12.5的积，再乘8，实际上就是72个12.5。

生6：乘法分配律中一定有乘法也有加法，而乘法结合律只有乘法。

师：如果是“12.5×9+1”，运用的是哪一个运算律？

生7：9个12.5的积，再加上1，虽然有乘，有加，但是没有相同的数，所以不是乘法分配律。

生8：不是连乘，也不是乘法结合律。

学生对乘法分配律的理解障碍主要表现在容易和乘法结合律混淆，原因在于在整个学习过程中，两个运算律始终处于分离状态，并没有揭示两者间的内在联系与区别，所以学生的认知是片段、零散的。在上面的开放提问中，淡化了简便计算的要求，意在引导学生回到运算意义的原点，在乘法结合律和分配律的比较联系中把握运算律的本质特征。从反馈情况看，学生不再过多关注外在形式结构变化，而是突出从模型建构的角度理解运算律的意义。填法是多样的，但是学生的思维始终围绕运算意义的理解展开。在交流互动中，随着两个运算律非本质属性被不断剔除，其各自的本质特征不断被凸显、展开，自然而然纳入到各自的认知结构中。

二、在“序”上着手，让关键内容更通透

“有余数的除法”的学习，出现的最大问题是：学生懂得“余数必须比除数小”的道理，却不能运用此理对计算过程进行监控，如，38÷5=6……8，这是一道错误的算式，用“商×除数+余数”来验算却不能发现错误。

鉴于此，练习中我设计了这样的开放题：

（1）有13支铅笔，每人分（ ）支，可以分给（ ）个人，还余下（ ）支。

（2）□□÷□=6……4，除数可能是（ ），这时，被除数等于（ ）。

（3）□□÷4=□……□，你能写出几道不同的算式？

第一题属于实践型的练习，以帮助学生进一步理解有余数除法的意义；后面的两题旨在凸显余数与除数之间的关联，让学生形成“瞻前顾后”的意识。在第（3）题的反馈交流中，师生有这样一段对话：

师：如果每个□里只填一个数字，你能写出几道不同的算式？想一想，再写下来。

生1：13÷4=3……1。

生2：19÷4=4……3。

生3：37÷4=9……1。

……

师：（对生1）余数还可能是几？你能按照一定的顺序说一说吗？

生1：13÷4=3……1，14÷4=3……2，15÷4=3……3。余数最大是3。

师：当余数等于3的时候，这样的算式还有哪些呢？

生2：11÷4=2……3，23÷4=5……3，……

师：观察这些余数都是3的算式，大家有什么发现？

经过分析，学生发现：有余数除法算式中，余数的大小与商无关，但是必须比除数小。

上例中，教师提供了有余数除法算式的模型，意在强化余数与除数的关联。然而，由于开放题的思维路径是发散的，因而学生的回答体现出随机和无序的特点，不能形成对关键内容的聚焦，也缺少对错误的深度反思，容易出现一“点”就通、一做就错的状况。为此，对来自于学生个体的答案，教师采取了“先列举，后排序”的策略，引导学生有序思考，通过观察、比较、分析、推想，聚焦余数与除数的关系，在大脑中形成有余数除法的完整结构。

三、在“意”上着眼，让数学视野更拓展

“一个数除以分数”算法的探索与理解历来是教学的一个难点，即使是成绩较好的学生，依赖自身的认知水平，恐怕一时也难以理解。为了让学生理解算理、总结方法，我在教学中把例题教学进行开放式处理，用猜想与验证激发学生的探究热情，再借助线段图作为辅助教学手段，变抽象为直观，帮助学生理解算理，促进学生对数学知识的转化与内化，激发学生的学习兴趣。

出示：一辆摩托车小时行驶40千米，1小时行驶多少千米？

学生列出了40÷以后，我先让学生估计一下商的大小，然后让学生尝试计算。大部分学生的计算过程与书中的差不多，即40÷=40×=60（千米）.

师：你能用自己的方法说明40÷为什么等于40×吗？

生1：我们已经学过分数除以整数，等于分数乘以整数的倒数，所以我猜想40÷也行。

师：整数就是特殊的分数。

生2：40÷=（40×）÷（×）=40×÷1。

师：你运用了商不变的规律。

生3：可以从图上看出来。如果用一条线段表示1小时走的路程，把它平均分成3份。2份是40千米，1小时有3份，3÷2=，所以1小时走多少千米就是求40的是多少。

师：你不但看到了、，还想到了、，想象力真丰富！

算法不是老师硬塞给学生的，多样化的解释丰富了学生对法则的理解，学生以他们自己的语言解释着、建构着，教师画龙点睛的提炼之语让全班学生的认知逐渐清晰。

再如，“分数四则混合运算”教学中，教师让学生陈述“整数的运算律适用于分数”的理由，意在让学生结合自己的经验推想运算律的适用性。有学生用举例验证的方法分别验证加法运算律和乘法运算律，还有学生对照用字母表示的运算律，根据字母能够表示数的特点解释“用字母表示，数变了，规律不变”。在教师引导下，全体学生主动迁移，深刻感悟运算律始终是不变的，只是它们所代表的数域发生了改变，系统的知识体系得以顺利建立。

开放地“问”只是为学生思维发展和能力提升提供了一种可能，教师不但要重视开放题的利用价值，创新使用，更要重视其使用效果的反馈评价，或点拨矫正，或补充明晰，或提炼发展，通过智慧地“引”促进学生有序有效地思考，从知识本质、解题策略和数学思想方法上进行提升。