2015年高考数学北京理第19题的探究



2015年高考数学北京理第19题的探究

浙江省金华市第六中学(321000)虞懿

2015年高考数学北京卷理科第19题：

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示)；

(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

1．问题解决

2．问题探究

波利亚曾说过：“没有一道题目是彻底解决完的”．当我们做完一道题目后，我们除了可以研究它的解法(优化)以外，更要从纵向、变式、横向等角度出发，对这道题目进行拓展探究，从而得到一系列有价值的结论，这既是对原问题的深化与拓展，也是培养学生创新能力的高效途径．

2.1　纵向推广

如果我们将椭圆一般化，点P任意化，能否得到类似结果呢？经过一番论证和计算，得到以下结论．

2.2　变式拓展

一道好的试题往往是命题者研究成果的结晶，在一个背景下，交换部分条件和结论，或给出某个问题一般结论的特例，便生成出一道新题，又能挑战你的思维．笔者结合对相关题目的研究，又做了如下探究：

2.3　类比拓广

波利亚说“类比是伟大的引路人．” 椭圆与双曲线、抛物线“同宗同源”，那么双曲线、抛物线是否具有上述类似结论成立？回答是肯定的．

结论9已知抛物线C:y2=2px(p>0)，点P(x0,y0)和点A(m,n)(n≠±y0)都在抛物线C上，直线PA交x轴于点M,设O为坐标原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N,则y轴上任意一点Q(异于原点)，使得∠OMQ=∠ONQ.

结论11已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过x轴上一点M(t,0)(t>0)作直线与抛物线相交于P,A两点，点B与点A关于x轴对称，则直线PB恒过x轴上的定点N(-t,0).

结论12已知抛物线C:y2=2px(p>0)和x轴上两点M(t,0),N(-t,0)(t>0),过点M作直线与双曲线相交于P,A两点，连接PN并延长交双曲线于点B,则点A与点B关于x轴对称．

(限于篇幅，结论5～12，请有兴趣的读者自行证明．)

3．探究感悟

探究试题是高中数学教师的一项重要工作，也是教师的一项基本功．通过对一些典型试题的探究，将它转化为教学的素材，优化教与学的过程．近年高考中的解析几何试题往往依托本质，有很大的探究空间．特别是近年来频繁出现的“定点”、“定值”等问题，一般都蕴含着一些规律在其中．作为教师应当做一个有心人，能够引导学生进行探究，这样才能举一反三，提高我们课堂教学的实效性．