对圆锥曲线又一共性的研究



对圆锥曲线又一共性的研究

四川省南充高级中学(637000)张小丹

文[1]给出了圆锥曲线的一个实用性结论：

1、题源再现

近来，我在研题时发现了题1：

(1)求椭圆W的方程；

2、猜想与探究

下面我们将此猜想规范化：

猜想2若E为双曲线或抛物线，那么上述命题还成立吗？

经过探究，我们同样可以得到上述结论(有兴趣的读者可以自己证明).于是我们可以将之统一如下：

猜想3当E的焦点在y轴时，是否也有类似的结论呢？下面我们仍以椭圆为例，进行探究.

同样地， 当E为焦点在y轴的双曲线或抛物线时，也有类似的性质，证明略.

于是，我们可以将此性质统一如下：

(i)当E的焦点在x轴时，等式左边为直线的斜率的平方(k2)；

3、例题赏析

(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线的焦点F；

例2已知直线y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=().

例3[2013陕西高考题改编]已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(4,0)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率.

例4(2014四川部分中学质量评价题改编)在平面直角坐标系xOy中，已知B(1,0)，圆(x+1)2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线与直线AP相交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

参考文献

[1]张小丹,汤强.对一类圆锥曲线常考题目结论的探究[J].中学数学研究(江西师大).2013.9.