基于低秩理论的超声血流壁滤波器

杜宜纲 张梦一 陈思平 李 勇

1(深圳大学医学部生物医学工程学院，医学超声关键技术国家地方联合工程实验室，广东 深圳 518060)2(深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司，广东 深圳 518057)3(香港中文大学计算机科学与工程系，香港)

基于低秩理论的超声血流壁滤波器

杜宜纲1，2张梦一3陈思平1*李 勇2

1(深圳大学医学部生物医学工程学院，医学超声关键技术国家地方联合工程实验室，广东 深圳 518060)2(深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司，广东 深圳 518057)3(香港中文大学计算机科学与工程系，香港)

传统的超声血流壁滤波器采用单一的截止频率，对于心跳、呼吸等因素所产生的不同组织运动滤波效果不佳。提出一种基于低秩理论的超声血流壁滤波方法。通过分析超声血流的特点，将其公式化并建立低秩模型，模型包括一个矩阵秩的最小化和一个稀疏矩阵问题。松弛后转化为最小化核范数与1范数的线性组合，成为凸优化可解问题，从而实现低秩滤波。这种滤波的创新性在于它是自适应的，同时考虑了信号的低秩性与稀疏性两个特点，通过线性组合使得滤波效果达到最优。通过低秩滤波，超声血流仿真数据得到更加精确的血流信号。对比传统的FIR滤波，分别采用12阶、56阶和92阶的FIR滤波器，得到血流信号对比实际仿真数据的RMS误差分别约为34%、16%和12%，而低秩滤波的RMS误差则低于0.001%。低秩滤波相比传统FIR滤波，不仅提高了精度，而且滤波后的信号长度不会损失。但是低秩模型计算过于复杂，因此目前还很难应用在实时的超声系统中。

超声血流成像；壁滤波；低秩模型；FIR滤波器

引言

超声血流成像中最关键的一步是提取血流信号，因为血液的反射系数大约只有组织的1/500～1/10[1-4]。在超声回波中，组织和血流信号混在一起，只有提取并得到信噪比高的血流信号，才能计算出高灵敏度和高精度的血流速度。这两种信号在理想状态下的区别在于组织信号不随时间变化，而血流信号相反。传统方法常采用高通滤波器[5]，例如FIR和IIR滤波器，通过设置一个截止频率将变化速率慢的组织信号滤掉，剩下的是变化速率快的血流信号。

然而，现实并非如此理想。在超声成像中，血流成像和常规二维灰阶成像的发射波形是不同的。血流成像注重灵敏度，发射波形要长一些，从而增加信噪比。灰阶成像更重视分辨率，因此发射波形要短一些，从而可以直接提升纵向深度的分辨率。由于这两种成像发射波形不同，对于传统彩超显示方式(血流与二维灰阶图同时显示)，血流的发射不能是连续的，中间需要留出时间发射接收用来生成灰阶图像的信号。此外，传统的彩超采用的是聚焦波发射逐线扫描方式。每根血流的扫描线发射次数不能太多，否则会降低图像的帧率。一般来说，血流的一条成像线大概需要8～16次发射[5-6]。在同一个空间成像位置上，将多次发射的回波信号沿时间方向做滤波后，得到血流信号，然后可以采用传统的自相关法[7]计算出血流的速度。这里每组离散信号只有8～16个，而FIR滤波器需要很高的阶数才能满足设计需要，因此很难用于血流信号的提取。假设血流信号长度为10，FIR阶数为6，这样FIR滤波器系数个数为7，原始信号通过高通滤波器之后的长度只有4。滤波后的信号长度越短，采用自相关法计算出来的平均速度值稳定性(精度)越差。只有6阶的FIR滤波器的频率响应如图1所示，其效果显然难以达到相应的精度要求。IIR滤波器则不需要太高的阶数，通常采用2～3阶的滤波器。Bjrum等对比了几种不同的IIR滤波器[5]。从综合性能上看，投影初始化的IIR高通滤波器表现最佳。这也是当前超声血流成像中最常采用的壁滤波器。采用这种滤波器，达到类似的效果，不但其阶数几乎可以比FIR低10倍，而且滤波后的信号长度也不会损失，因此还可以提高速度计算的稳定性。

图1 不同阶数FIR滤波器的频率响应Fig.1 Frequency response of different orders’ FIR filters

图2 聚焦波与平面波发射声场的比较结果。聚焦波的发射焦点为60 mm。采用Field II[9-10]仿真发射声场，64个阵元，探头中心频为率5 MHz，阵元间距为0.22 mmFig.2 Compared results of the focused wave and plane wave emitting fields. The focal depth is 60 mm. Simulations are made by Field II[9-10]. The aperture has 64 elements, the center frequency is 5 MHz, and the pitch is 0.22 mm

超声血流成像的帧率主要受限于上述这种彩超和灰阶成像聚焦波交替扫描的方式，而每条血流成像线的连续扫描次数也受到帧率限制不能太高，因此采用投影初始化IIR滤波器是这种扫描方式的一个合适的选择。近年来，由于平面波超快成像的发展，成像的扫描方式从逐线发展到部分区域乃至整体一次扫描成像，这使得血流的显示帧率有了很大的提高[8]，因此血流成像时同一个位置扫描次数也不再受到帧率的限制，这样高阶的FIR滤波器也可以用在血流信号的提取上。但是，由于采用的是平面波扫描，没有发射聚焦，因此发射声场的旁瓣会很高。如图2所示，采用了Field II[9-10]仿真发射声场，即使不在焦点深度的聚焦波声场旁瓣也比平面波低很多，加之血流信号的幅值本身就比组织信号低10～27dB[1]，所以血管内的回波很容易受到血管壁以及组织的回波干扰产生杂波信号。如图3所示，采用了Field II函数calc_scat_multi[11]生成通道数据，平面波的杂波信号要比聚焦波的大很多。通过仿真计算，得到聚焦波发射时血管里的杂波平均要比平面波的小16.2 dB，相当于平面波的杂波信号强度是聚焦波的6～7倍。如果无法抑制这些杂波信号，那么平面波成像虽然可以提高帧率，但是血流的灵敏度和精度比起传统方法都会有较大损失。

图3 采用Field II仿真平面波和聚焦波成像。黑色部分为模拟血管无反射物，血管壁为强反射点，采用Field II函数calc_scat_multi[11]生成通道数据，然后分别做平面波波束合成和动态接收聚焦波束合成。平面波成像时血管内平均杂波信号为-106.9 dB，动态接收聚焦成像后血管内平均杂波信号为-123.1dB(这里只模拟了二维血管，因此杂波信号很低。血管形状在Field II仿真中为长方体)。(a)平面波；(b)聚焦波Fig.3 Plane wave and focused wave imaging generated by Field II, where the blood vessel is simulated without scatterers and the vessel wall has the stronger scattering points. The channel data are generated by Field II function “calc_scat_multi”[11]. The mean clutter signals are around -106.9 dB for plane wave imaging and around -123.1 dB for dynamic receive focused imaging (Only 2D vessel is simulated so that the clutter signals are very low. The vessel shape is cubic in Field II simulation). (a)Plane wave；(b) Focused wave

平面波血流成像通常还是延用了传统的FIR或者IIR壁滤波器。为增加信噪比，有些研究采用了编码发射平面波技术[8,12]，还有的研究采用了造影剂进一步提高平面波的成像效果[13]。本研究希望设计出一种新型的超声血流壁滤波器，从而直接克服上述由于血流信号弱、信噪比低、杂波干扰大造成的血流精度和灵敏度的损失。这种滤波器基于一个低秩模型，是针对平面波发射而设计的。这种低秩模型可以用来区分数据中数值较小的变化量与数值较大的常量，它们分别对应了能量较弱的血流信号和相对变化很小且能量较强的杂波信号。因为这些杂波信号大多来自周围运动较小的组织或者血管壁的强反射，所以杂波信号随时间变化较小。虽然血流的信号很弱，但它随时间变化较大。可见，血流与杂波的这些特点恰好符合了低秩模型理论。

从数学本质来说，低秩滤波实际上是将一个矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和，因此也被称为矩阵低秩稀疏分解或者鲁棒主成分分析(RPCA)[14]。从理论和算法的层面上看，低秩滤波问题和压缩感知、矩阵秩最小化一脉相承。压缩感知是对传统奈奎斯特采样定理的重大突破，是信号处理和计算机视觉领域的研究热点[15-16]。当采样信号具有稀疏性时，压缩感知能以低于奈奎斯特采样率来进行采样，在采样矩阵具有约束等距性(restricted isometry property)时，可以准确重构原信号。从数学本质上来说，信号的稀疏性由其对应向量的0范数表示。在常见的压缩感知算法里，0范数被其凸包络(即1范数)逼近，从而将信号恢复转化成一个低复杂度的凸优化问题。矩阵秩最小化相当于将压缩感知从向量扩展到矩阵。矩阵的秩相当于奇异值向量的0范数，因此可以用其凸包络1范数逼近，即矩阵的核范数(nuclear norm)[17-18]。矩阵秩最小化问题的应用包括协同滤波、推荐系统，即著名的Netflix问题[19]。低秩滤波可以看成以上两类问题的衍生和结合：在矩阵分解的过程中，同时考虑稀疏特征和低秩特征。只要低秩矩阵奇异值向量和稀疏矩阵的非零元素满足一定条件，最小化核范数和1范数的线性组合能以很高的概率恢复原矩阵[20]。当前，应用在超声血流成像中的低秩滤波还不多见。1997年Ledoux等首先提出了基于奇异值分解(SVD)的血流信号杂波滤波方法[21]，Tao等提出了基于PCA的血流壁滤波器[22]，Mauldin等提出了一个SVD滤波器，从而可以过滤掉图像中的静态伪影[23]。另外，Yu等提出了基于一维汉克(Hankel)矩阵SVD以及特征值的壁滤波器[24-26]。这些滤波器目前还都未能实时地应用在商用机上，并且上述低秩滤波的研究并不是针对平面波成像而进行的。本研究主要是针对平面波信号本身比较弱的特点，设计出更加鲁棒的壁滤波器，从而实现平面波成像时更精确的血流信号提取；将低秩滤波信号与传统的FIR滤波结果进行比较，进一步验证低秩模型的精确性。

1 方法

1.1 理论模型

b0,i=f0,i+c0,i

(1)

式中：f0,i为第i幅图的血流信号(flow)，c0,i为第i幅图的组织信号或者叫做杂波信号(clutter)；b0,i是第i次超声成像后得到的图像，显示血管和其他组织结构。

因此，在式(1)中，f0,i在非血管处的值是0，而c0,i在血管处的值要比在非血管处小一些，也就是混在血流中的杂波信号要比组织信号小一些。计算血流速度，理论上至少需要两个不同时刻的图像信息。设每幅图像含有m个离散像素点，那么

(2)

式(1)可以被写成矩阵的形式

B0=F0+C0

(3)

式中：B0为一个m行n列的矩阵，每列数据表示一幅图像，每幅图像含有m个元素；F0为血流信号矩阵；C0为组织(杂波)信号矩阵。

上述模型的特点包括：组织(杂波)信号在时间上具有较强的相关性，血流信号在时间上是变化的，血流信号在空间上是稀疏的，血流信号在空间上具有连续性。基于这些特点，可进行进一步分析，即利用组织信号在时间上的相关性，得到C0是一个低秩(low rank)矩阵；传统的FIR或者IIR壁滤波器沿时间方向进行滤波(逐点)，而全新的低秩模型不仅利用信号在时间上的特点，还利用信号在空间上的特点；血流信号是稀疏的，因此‖F0‖0较小(‖F0‖0是F0的0范数，表示F0的非零个数之和)。将这些分析公式化，有

subject toC+F=B0

(4)

式中，C和F分别代表了计算出来的组织和血流信号(式(3)中的C0和F0则是实际的组织和血流信号)。

由于矩阵秩的最小化和稀疏矩阵问题是指数复杂度的(NP hard)[14]，需要寻找凸包络(convex envelop)，从而将其转化为一个凸优化可解的问题，如图4所示。

图4 函数g(x)是f(x)的凸包络Fig.4 The function g(x) is the convex envelope of f(x)

根据相关参考文献[15]，1范数可视为0范数的凸包络，而核范数(nuclear norm)则是矩阵秩(rank)的凸包络[17]。1范数是所有元素绝对值的和，核范数是矩阵所有奇异值的和。这样，优化问题即式(4)的目标函数松弛(relax)后，可得到

subject toC+F=B0

(5)

式中，‖C‖*表示C的核范数，‖F‖1表示F的1范数。

这样，可将一个非凸优化问题(即式(4))转化成一个凸优化问题(即式(5))。具体来说，式(5)属于凸优化问题中的半正定优化问题(semi-definite programming)[27]，这类问题可以通过一些通用软件包来计算。例如，cvx、sedumi、mosek等属于多项式复杂度(polynomial complexity)。然而，在矩阵维度较大的情况下，这些通用软件包会遇到求解不稳定的情况。在这种情况下，Lin等提出了专门针对这类凸优化问题(即式(5))的软件包[28-29]。相比通用软件包，这类专用软件包更稳定，收敛更快，并且可以将误差控制在可接受范围内。

1.2 仿真方法

首先，模拟一组随时间变化的超声血流图像。其中，组织为强反射，图像值为高；血管中的杂波为较弱信号，其图像值为中；血流信号的强度最低，其图像值最小。在血管中，图像值为杂波信号叠加血流信号F0。这组图像中只有血流信号F0随时间变化，其余保持常数，具体参数可参考表1。

表1 血流仿真参数Tab.1 Parameters for blood flow simulation

信号由随机函数乘以相应的反射系数产生，血管外的组织信号与血管内的杂波信号统称为C0，将其与血流信号F0叠加得到用来做滤波实验的超声血流图像B0。本研究建立了两种不同的血流仿真数据：第1种采用了固定的血流速度，在血管内各个位置上的速度恒定不变；第2种模拟了随位置变化的血流速度，即越靠近血管中心轴的速度越大，越靠近血管壁的速度越小。这两种不同的血流仿真数据分别采用了两种不同的扫描帧率。分别采用3种不同阶数的FIR滤波器(具体阶数请参考表1)和低秩滤波器进行滤波，得到血流信号。由于随时间变化的超声图像维度较大，采用Lin等提出的专门针对解这类维度较大问题的软件包(Inexact ALM[29])进行计算，得到低秩滤波后的血流信号[28-29]。滤波结果对比预先合成的血流信号F0，采用均方根误差RMSE(root mean square error)，衡量几种不同阶数FIR滤波和低秩滤波的效果。RMS误差的计算公式如下：

(6)

式中，F0是预先合成的血流信号，F是采用传统的和本研究提出的方法(FIR和低秩)滤波后得到的血流信号。

2 结果

对前述两种不同的血流仿真数据(血流速度1和2见表1)，分别进行了3种不同阶数的FIR滤波和低秩滤波。图5为血流速度恒定(血流速度1)时的滤波结果，图6为血流速度随位置变化(血流速度2)时其中一个空间位置上的血流滤波结果，表2、3分别表示滤波结果与实际血流信号(预先合成的信号)之间的RMS误差。为了验证其稳定性，每种方法分别计算了6次，每次采用随机函数产生略有不同的超声图像以及血流信号，其反射系数始终保持不变。3种不同阶数的FIR滤波在通过多次计算后，在不同仿真血流速度和扫描帧率下，RMS误差保持在34%、16%和12%左右，浮动较小。采用低秩滤波，经过多次计算后，RMS误差保持在0.000 7%左右。

图5 血流速度恒定为0.25 m/s时FIR与低秩滤波的结果比较。F0为实际血流信号，其他为滤波后的血流信号(血流信号强度基于表1所述的血流反射系数，无物理单位)Fig.5 Fixed blood flow velocity is 0.25 m/s, comparisons of FIR and low rank filtered results. F0 is the true blood signal and the rest are filtered signals. (The blood signal is based on the blood reflection coefficient and no physical unit)

图6 血流速度随位置变化(变化范围0.05～1 m/s)时某一特定位置上的FIR与低秩滤波的结果。F0为实际血流信号，其他为滤波后的血流信号(血流信号强度基于表1所述的血流反射系数，无物理单位)Fig.6 Blood flow velocity varied spatially in the range from 0.05 m/s to 1 m/s. The figure shows the results of FIR and low rank filtered results at a specific location. F0 is the true blood signal and the rest are filtered signals (The blood signal is based on the blood reflection coefficient and no physical unit)

表2 血流速度恒定为0.25 m/s时不同阶数的FIR和低秩滤波结果的RMS误差(%)

Tab.2 RMS errors (%) of the FIR and low rank filtered results for a fixed blood flow velocity of 0.25 m/s

测量组别滤波方法FIR-12FIR-56FIR-92低秩135.016.212.50.00073235.416.211.80.00073334.316.112.00.00072433.215.211.60.00068534.015.511.20.00076635.616.912.60.00074

表3 血流速度随位置变化(变化范围0.05～1 m/s)时不同阶的FIR和低秩滤波结果的RMS误差(%)

Tab.3 RMS errors (%) of the FIR and low rank filtered results when the blood flow velocity varied spatially from 0.05～1 m/s

测量组别滤波方法FIR-12FIR-56FIR-92低秩134.515.911.80.00071234.515.911.90.00068334.516.011.90.00070434.115.711.70.00072534.616.011.80.00069634.715.911.80.00072

3 讨论

低秩滤波的主要创新性在于它是自适应的，而传统FIR不同的阶数频率响应区别很大，如图1所示。由于阶数不够，可能会导致一些低速的血流被滤掉。然而，即使FIR的阶数足够高，它也是建立在杂波频率为零的基础上的。在现实中，由于心跳、呼吸或者探头颤抖等影响，导致杂波的频率可能随图像中的位置发生改变。这种变化是非常随机的，所以FIR采用单一的滤波截止频率，无论多少阶的滤波器都会造成顾此失彼的结果。而本研究采用低秩模型，考虑到了图像的低秩性以及血流信号的稀疏性两个特点，通过矩阵秩的最小化和稀疏矩阵的线性组合，使滤波效果达到最优。

通过比较FIR和低秩滤波结果，可以看出：对于不同的血流速度以及扫描频率，低秩滤波的效果都明显好于FIR的效果。无论FIR还是低秩滤波，它们相对于实际信号的RMS误差在6次仿真中得到的结果都相对比较稳定。阶数越高，FIR的滤波效果越好，但是滤波后由于初始化损失的信号也就越多。例如，92阶的FIR滤波后，将会损失92个时间上的信号。因此，虽然FIR可以通过增加阶数来提高滤波效果，但是也会造成信号长度的损失。对于采用求平均的方法计算血流速度，信号长度的缩短会降低计算结果的稳定性。

此外，仿真数据与现实中的超声图像还存在一定差距。首先，血管中除了存在血流信号与杂波信号外，还有一些系统噪声，这些噪声有时可能要大过杂波信号，并且这些噪声不像上述的杂波信号那么稳定，它们的随机性更高，混在血流信号中难以滤去。正如前面所述，人体中的组织信号不是恒定不变的，血管壁和组织都会随心脏跳动产生位置上的改变，这样一来，血管中的杂波信号也会随之发生变化。未来还需要建立更加复杂的仿真数据，用来模拟系统噪声以及波动的杂波信号，解这种问题的低秩模型也会更加复杂。

本研究提出的低秩模型是针对仿真数据的，而未来还需要针对实验数据做进一步的改进和优化，最终的验证应该基于超声系统产生的实际数据。此外，低秩模型计算量很大，本研究提出的低秩模型需要的计算时间是FIR的3倍左右。如果增加系统噪声并且考虑血管壁和组织运动产生的随时间波动的杂波信号，那么低秩模型的复杂度会增大很多。因此，需要并行计算才有可能实现实时滤波，从而将低秩模型应用到实时的超声系统中。

4 结论

在本文中，介绍了超声血流成像中的发射波形、帧率、壁滤波等几个关键参数的相互关系和影响，讨论了血流信号的特点并对此提出了一种全新的低秩滤波方法，用来提取被杂波污染的血流信号。通过对比传统的FIR滤波器，发现低秩滤波具有两大主要优势：首先它可以提取更加精确的血流信号(对比FIR)，其次低秩滤波后的信号长度保持不变(FIR滤波有信号长度损失)。但是，低秩滤波比传统的滤波器要复杂得多，尤其是如果针对更加复杂的仿真数据或者实际数据，低秩模型会变得更加复杂。由于低秩滤波的计算量太大，所以目前它还难以在实时的超声成像系统上实现。

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Clutter Removing Filter for Ultrasound Blood Flow Imaging Based on Low Rank Model

Du Yigang1,2Zhang Mengyi3Chen Siping1*Li Yong2

1(National-RegionalKeyTechnologyEngineeringLaboratoryforMedicalUltrasound,DepartmentofBiomedicalEngineering,SchoolofMedicine,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,Guangdong,China)2(ShenzhenMindrayBio-MedicalElectronicsCo.Ltd.,Shenzhen518057,Guangdong,China)3(DepartmentofComputerScienceandEngineering,TheChineseUniversityofHongKong,Shatin,HongKong,China)

The conventional ultrasound blood flow wall filter uses a fixed cut-off frequency, which is not effective when the tissue motion is different due to heart beat and breath. This paper presented an ultrasound clutter removing filter based on a low rank model. The characteristics of ultrasound flow signal was studied and formulated. The low rank model was comprised of a rank minimization and matrix sparsity problem. The convex optimization can be applied to solve it after relaxation. The novelty is that it is an adaptive filter due to the minimization of the combination of the nuclear norm and L1norm. Ultrasound blood flow data were simulated. The filtered signals were obtained by three different orders FIR filters and the low rank filter. The RMS errors for FIR filtering were around 34%, 16% and 12% respectively, and lower than 0.001% when using the low rank filter, which not only improved the accuracy a lot but also maintained the same length of the filtered signal as the original one′s, where the length of the FIR filtered signal was decreased compared to the original signal. However, the low rank model is much more complicated than the conventional method, and it is still difficult to be applied in a real-time ultrasound imaging system.

ultrasound blood flow imaging; clutter removing filter; low rank model; FIR filter

10.3969/j.issn.0258-8021. 2016. 04.002

2016-02-25， 录用日期:2016-05-10

中国博士后科学基金(2014M562207)；国家自然科学基金(61372006，61427806)

R318

A

0258-8021(2016) 04-0394-08

*通信作者(Corresponding author)， E-mail: chensiping@szu.edu.cn