如何提高学生的数学应用题解答能力

□周丽娜

如何提高学生的数学应用题解答能力

□周丽娜

文章结合高中数学教学案例，从数学读题能力的培养、数学建模能力的培养、数学解题能力的培养3个方面探讨了提高学生解答数学应用题能力的问题。

高中数学；数学应用题；解题能力

《普通高中数学课程标准 (实验)》把“发展学生的数学应用意识”作为课程基本理念之一，要贯彻落实这一理念就必须重视数学应用题的教学。通常把来源于客观世界具有实际意义或实际背景的、能转化为数学形式表示、可运用数学知识获得解决的一类问题称为数学应用题。解答数学应用题，需具备一定的数学综合能力，包括数学读题能力、数学建模能力、数学解题能力等。应用题在高考试卷中占据重要地位，但学生的得分率却较低。为此笔者结合教学实践，就提高学生解答数学应用题的能力进行了初步的探索。

一、数学读题能力的培养

图1

“数学教学就是数学语言的教学。”数学阅读既是一个心理认知过程，也是一个不断假设、证明、想象、推理的数学思维过程。数学读题能力的培养需要将文字、数学符号语和图形等语言有机互译，灵活转化。

【案例1】（2015年高考江苏卷第17题）某山区外围有两条互相垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，设两条互相垂直的公路为l1、l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，见图1，M、N为C的两个端点，测得点M到l1、l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1、l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1、l2所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型。

（1）求a、b的值。

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t。①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。

1.指导学生有效读题的一般程序

第一遍快速浏览了解概况：本题是修路问题，跟长度有关，应马上联想到一些求距离的公式，读懂图1，注意曲线C的模型和字母M、N；第二遍收集有效信息，划出关键词句，数形结合进行理解分析：确定点M坐标（5，40），N坐标（20，2.5），函数模型已知，两个方程两个未知量足以；第三遍仔细阅读，找出附加或限制条件作上记号，为后续解题做好充分准备。

2.教师的教学策略

（1）指导学生养成自主读题的习惯。平时学生一般不重视数学读题，教师也总喜欢把自己的理解灌输给学生，这就使得学生普遍缺乏阅读数学课本和资料的习惯，这种现状迫切需要改变。苏教版高中数学每册教材的“探究拓展”栏目中都配有一定数量生动、新颖的应用题，教师可引导学生多读、多练，从而逐步养成自主读题的习惯。

（2）提高学生的读题技能，加强读题交流。按有效读题程序加强训练，在第一遍读题后，可请不同层次的学生口头表达自己的理解过程，再让其他学生补充，教师及时给予评价和鼓励。应用题的读题一定要舍得花时间，只有学生的理解分析能力提高了，读题速度和水平才会提高，成功解题的自信心也才会增强。

二、数学建模能力的培养

“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。”培养学生的数学建模能力，不仅是贯彻落实新课程基本理念的需要，更是激发学生学习数学的兴趣，改变学生数学学习方式，发展学生创新意识和实践能力的需要。

【案例2】某公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米。①现在准备养一批供游客观赏的鱼，在AB、BC、CA上分别取点D、E、F（见图2），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF中喂鱼，求△DEF面积的最大值；②现在准备新建一个河塘，在AB、BC、CA上分别取点D、E、F（见图3），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休息，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值。

图2

图3

1.指导学生掌握建模的一般程序

（1）实际问题数学化。从问题出发，把三角形面积、边长的最值问题转化为函数的值域问题。

（2）针对函数值域问题，确定相应的自变量和应变量。问题①是一个直角三角形面积的最值问题，自变量自然要转到两条直角边上。由于点E在直角△ABC的边BC上滑动，根据题意发现△ABC、△CEF、△BDE为相似三角形，故可设CE或BE为x，用x表示两条直角边EF、DE；问题②可把正三角形边长作为应变量，联系三角知识，可转化到正、余弦定理，故应变量自然要选择角，设直角△CEF的其中一个锐角为自变量。通过逆向思维，可找到符合本题的数学知识。

（3）分析本题，将数学问题符号化。

2.教师的教学策略

（1）联系数学现实进行教学。平时多结合数学现实进行教学，问题情境设计多选择生产生活的实例，苏教版教材中也有很多可以引用的具体例子。此外，还可引导学生在日常生活中多用数学思想、方法和知识尝试解决周围的实际问题。

（2）针对学生现实因材施教。教师要转变数学教学观念和方法，重视数学知识的生活来源与应用价值的介绍、数学知识的建构过程与方法的教学，同时要认真分析学情，针对学生的数学实际水平，分层设计一些有新意的建模情境，激发学生探究的欲望。

（3）紧扣教材进行提升拓展。新教材很好地体现了数学来源于生活，又服务于生活的理念。近年来江苏省高考数学卷中的应用题背景都能在教材中找到，如2014年的古桥保护问题、2013年三角形背景的下山行程问题、2012年炮弹发射问题等。所以教师应紧扣教材进行提升拓展，争取实现学生能力发展与高考成绩的双丰收。

三、数学解题能力的培养

“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”笔者认为，培养学生的数学解题能力应是提高学生数学思维能力的核心。

【案例3】某企业投入81万元经销某种产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润符合f（单位：万元），为获得更多利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，设第x个月的当月利润率g（x）=如g（10）；②求第x个月的当月利润率g（x）；③该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率。

1.指导学生掌握解题的一般程序

（1）审题很重要。

（2）由特殊到一般。

（4）写成分段函数形式。

（5）函数最值问题的关键是单调性。根据g（x）第一段直接利用单调性可知g（1）最大，第二段利用基本不等式，最值求出不代表结束，注意限制条件，“当且仅当即x=40”。

（6）概念要清晰。分段函数并不是两个函数，故每段最值必须比较大小，取其中较大那个

（7）书写要完整。最后把“答”写上。

2.教师的教学策略

（1）重视数学思想与方法。培养数学解题能力应引导学生对题目信息仔细分析，关注解题后对问题本质的挖掘和反思，重视基本概念反映的思想与方法，让解题思路来得自然一些。

（2）不要过于重视结论。目前，学生存在重结论轻过程、重方法轻思想的弊病，因而要加强实践演练，使学生体会解题的过程与方法，形成有效解题的策略。

总之，提高学生解答应用题的能力，需要教师提高学生对应用题学习的兴趣，重视“数学化”思想的教学过程，并从数学读题、数学建模、数学解题3个方面加强指导和训练。

[1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京:人民教育出版社,2003.

[2]沈翔.国际数学教育运动中应用问题概述[J].数学通讯,1999,(8).

（编辑：易继斌）

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1671-0568（2016）33-0082-02

周丽娜，江苏省昆山中学教师。