六种统计指数体系的对比分析

任　栋，王　琦，周丽晖

(1.西南财经大学 统计系，四川 成都 611130；2. 北京联合大学 应用型高等教育研究中心，北京 100010；

3. 华北理工大学 理学院，河北 唐山 063009)



六种统计指数体系的对比分析

任栋1，王琦2，周丽晖3

(1.西南财经大学 统计系，四川 成都 611130；2. 北京联合大学 应用型高等教育研究中心，北京 100010；

3. 华北理工大学 理学院，河北 唐山 063009)

摘要：统计指数分析法是社会经济统计学的重要分析方法。但是指数体系分析中可能出现的绝对数分析和相对数分析之间的矛盾一直未能从理论上真正得到解决，由此造成了统计指数理论研究处于长期停滞不前的局面。在同样的数据条件下对比了中国学术界统计指数体系研究中前后提出的5种指数体系，认为最为科学合理的是第六套指数体系——建立在马埃指数基础之上的“均值加权指数体系”，该体系没有明显的绝对数分析和相对数分析间的矛盾。

关键词：指数体系；马埃指数；对比分析

一、引言

统计指数的因素分析法常用以测定复杂现象总体变动中各影响因素的变动程度[1]23-41。但是，传统的指数因素分析法以传统的综合指数体系为理论依据[2]421-433，随着研究范围的不断扩展，传统的综合指数因素分析法的缺陷日益突显，导致了经济分析苍白无力、指数研究停滞不前。本文对中国学术界统计指数体系研究中提出的几种指数体系，在同样的数据条件下进行对比和分析，以期得到对统计指数体系的性质和实际计算特点的进一步认识，从而推动统计指数体系理论研究的深化和在实际应用方面的发展。

二、传统的综合指数体系的缺陷

综合指数是由两个经济总量对比而形成的比值或指数。指数因素分析法以传统的综合指数为基础，从相对数分析和绝对数分析两方面分析复杂经济现象综合变动的原因和结果[3]。然而在事实上，这种分析法并非总是有效的，综合指数体系的数学形式并没有科学地界定和归集各构成要素对总指数的影响程度。多数统计学家认为，从单纯反映指数化因素变动的目的来看，数量指标指数和质量指标指数均应采用拉氏指数公式[4]99-106。但是，由于在加权指数条件下，各因素指数的连乘积不等于总变动指数，无法构造指数体系；若其中另一因素指数采用报告期指标作同度量因素，其指数分析结果又经常伴有同度量因素变动的影响。所以，现实中的综合指数体系的构造遵循“数量指标的分析采用基期的质量指标作同度量因素，质量指标的分析用报告期的数量指标作同度量因素”原则。按这种传统综合指数体系进行因素分析往往导致“失真”或“失效”的问题。下面举例说明根据传统指数体系的问题，具体见表1。

按表1资料，分析该企业基期、报期两种主要产品的销售额、销售量和产品销售价格的变动情况，以及在基期和报告期该企业两种主要产品销售量和销售价格的变动对销售额变动的影响情况。对此，采用不同的指数体系的方法来进行分析。

表1　某企业两种主要产品销售情况表

三、传统的第一套指数体系分析

所谓传统的第一套指数体系，也即在中国现有的社会经济统计学中，占有主导地位的统计指数体系[5]12-19。该套指数体系是基于“综合指数编制的基本原则”，即在“编制数量指标指数时，以相应的质量指标作为其同度量因素，并将其固定在基期；在编制质量指标指数时，以相应的数量指标作为同度量因素，并将其固定在报告期”的方法编制的质量指标指数和数量指标指数相乘所构成的指数体系。实际上，这一套指数体系来源于前苏联的统计学，在中国统计学科发展的历史过程中，曾经发挥过一定的积极作用，但作为指数体系而言，它可能会出现相对数分析和绝对数分析之间的矛盾。这里根据表1的案例进行分析。

相对数分析：

(1)

180%=131.25%×137.14%

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增长80%，产品销售价格报告期比基期增长31.25%，产品销售量报告期比基期增长37.14%。

绝对数分析：

(2)

224(万元)=120(万元)+104(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加了224万元。其中，由于产品销售价格报告期比基期增长31.25%，使销售额增加了120万元；由于产品销售量报告期比基期增长37.14%，使销售额增加了104万元。

从以上分析中，不难看出这样一个矛盾现象，从相对数分析来看，对销售额的增长影响较大的是产品销售量的增长(销售量指数比销售价格指数高出5.89个百分点)，但从绝对数分析分析来看，对销售额的增长影响较大的是产品价格的增长(价格变动对销售额的影响比销售量变动对销售额的影响高出16万元)。这样，清晰地显示出在传统的第一套指数体系的分析中，存在着相对数分析和绝对数分析的矛盾现象。以下的分析表明，这种矛盾现象在第二套指数体系中也是同样存在的。

四、传统的第二套指数体系分析

传统的第二套指数体系实际上是第一套指数体系的副产品。由于分析对比的需要，传统社会经济统计学的指数理论也不排除在特别需要的情况下，也可以采用在“编制数量指标指数时，以相应的质量指标作为其同度量因素，并将其固定在报告期；在编制质量指标指数时，以相应的数量指标作为同度量因素，并将其固定在基期”的特殊方法来进行指数的分析。特别是在本例的情况下，由于第一套指数体系出现了相对数分析和绝对数分析之间的矛盾现象，人们自然而然地想到了采用第二套指数体系。于是便有如下的分析：

相对数分析：

(3)

180%=132.14%×136.22%

相对数分析表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增长80%，产品销售价格报告期比基期增长32.14%，产品销售量报告期比基期增长36.22%。

绝对数分析：

(4)

224(万元)=90(万元)+134(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加了224万元，其中由于产品销售价格报告期比基期增长32.14%，使销售额增加了90万元；由于产品销售量报告期比基期增长36.22%，使销售额增加了134万元。

采用第二套指数体系进行分析，没有出现相对数分析和绝对数分析的矛盾现象。第二套指数体系真的在任何条件下都不会出现相对数分析和绝对数分析的矛盾现象吗？事实上并非如此。实际的情况是，由于刚才的两套指数体系采用的是同一个案例，而在同一个案例中是难以同时出现两种不同的矛盾现象的，将以上案例进行简单修改之后再进行分析。表2是修改后的某企业基期和报告期生产两种主要产品的有关资料。

表2　某企业两种主要产品销售情况表

下面按照传统的第二套指数体系进行分析。

相对数分析：

180%=131.25%×137.14%

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增长了80%，产品销售价格报告期比基期增长了31.25%，产品销售量报告期比基期增长了37.14%。

绝对数分析：

224(万元)=120(万元)+104(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元，其中由于产品销售价格报告期比基期增长31.25%，使销售额增加了120万元；由于产品销售量报告期比基期增长37.14%，使销售额增加了104万元。从分析中又看到了这样一个矛盾现象：在相对数分析中，对销售额的增长影响较大的是产品销售量的增长(销售量指数比销售价格指数高出5.89个百分点)，但在绝对数分析中，对销售额的增长影响较大的是产品价格的增长(价格变动对销售额的影响比销售量变动对销售额的影响高出16万元)。这样，清晰地显示出在第二套指数体系分析中，同样也可能存在着相对数分析和绝对数分析的矛盾现象。由于实际数据出现什么情况都是有可能的，所以可以得出结论：第一套指数体系和第二套指数体系都有可能出现相对数分析和绝对数分析的矛盾现象。

五、第三套指数体系——包含共变影响指数的指数体系

在中国社会经济统计学的研究中，由于传统的第一套和第二套统计指数体系存在着相对数分析和绝对数分析的矛盾这一难以解决的问题，杨曾武、徐前和傅春生等老一辈统计学家在20世纪80年代初提出了“包含共变影响指数的指数体系”的分析方法。他们认为，在统计指数体系的分析中，总量指标虽然只是表现为质量指标和数量指标两因素的乘积，但它的变动应当有三个因素的影响，即除了质量指标和数量指标两个因素之外，还应当受到二者共同变动因素的影响，即“共变因素”的影响。由此，可以建立一种“包含共变指数的指数体系”。

相对数分析：

(5)

180%=137.14%×132.14%×99.33%

绝对数分析：

(6)

224(万元)=104(万元)+90(万元)+30(万元)

以上计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加了224万元，其中由于产品销售价格报告期比基期增长了37.14%，使销售额增加了104万元；由于产品销售量报告期比基期增长32.14%，使销售额增加了90万元，由于产品销售价格和产品销售量的共变影响使销售额降低了0.67%，使销售额增加了30万元。以上分析中，虽然没有明显看出价格因素和销售量因素在相对数分析和绝对数分析中的矛盾现象，但在所谓的共变影响因素的分析中，却又产生了一个新的矛盾现象：即在相对数分析中，共变因素是一种下降的因素，使销售额降低了0.67%；但在绝对数分析中，共变因素却又是一种上升的因素，使销售额增加了30万元。这一矛盾现象实际上比前一种矛盾现象更加难以合理解释。因此，在社会经济统计指数的分析中，统计研究人员又逐渐放弃了这种分析方法。在本项目的研究中，我们认为，这个所谓的“共变影响因素”实际上并不是一种科学意义上的“交互变动影响”因素，而只不过是一种统计加权指数中不可避免的指数“权偏误”，也就是一种统计指数计算方法所造成的指数的“偏误”而已。

虽然中国统计学家们在“包含共变影响”的指数体系的研究中没有取得预期的成功，但他们在这个指数体系的绝对数分析方法之上又找到了新的“灵感”，这就导致了所谓的第四套指数体系——“增量共变指数体系”的产生。

六、第四套指数体系——“增量共变指数体系”

尽管第三套指数体系——“包含共变影响的指数体系”无法解决传统指数的矛盾，但一些统计学家发现，该体系的绝对数分析比较清晰的反映了各因素的增量关系，而且这种增量关系在个体指数本身以及在图形上的表现较为直观，于是他们以该指数体系的绝对数分析为基础进行了调整，即：

(7)

(8)

由此他们认为，以上两式结合起来便形成了“增量共变指数体系”(也称为第四套指数体系)的绝对数分析和相对数分析。考虑到最终希望说明价格因素(物价因素)和销售量因素(物量因素)最终影响程度，人们就设想可以对“共变影响因素”的影响按某种方式进行一个“分解”。因此，在较长的一段时间内，有相当多的统计学者进一步研究了如何对“共变影响因素”进行分解和分摊的方法，由此出现了很多关于此问题研究的学术论文，甚至有人在统计学的教材中引入和介绍“增量共变指数体系”。在此背景下，似乎第四套指数体系有取代第一套指数体系成为统计指数研究的主流方法的倾向。

本文认为，所谓“增量共变指数体系”或第四套指数体系并不是一套科学合理的指数体系。其一，所谓“增量共变指数体系”本质上属于增量分析而不是属于指数分析。增量分析与指数分析虽然相关，但增量分析与指数分析的内涵存在着很大的差异，增量分析不能够取代指数分析。其二，增长率或变化率与统计指数在统计意义和统计量纲上也完全不同(即百分点和百分比是两个统计意义完全不同的概念)，因此增量分析无法取代指数分析。其三，统计指数体系的基础是经济方程式，其数学特征是乘积关系，数量关系的分析来自于积商空间，而增量分析的数学特征是加减关系，其数量关系的分析来自于和差空间，因此不能将二者混为一谈。试图用“增量共变指数体系”来解决传统指数体系的“内在矛盾”，实际上是一个哲学意义上“偷换概念”的错误。其四，在“增量共变指数体系”中的所谓共变影响因素，其实并不是什么两因素或多因素共同变动的作用或影响，这个来自于第三套指数体系的“马甲”，依然改变不了它是一种统计加权指数的“偏误”的本质。其五，我们在后文中还将分析，所谓的“增量共变指数体系”的思想来自于微积分的“全增量分析法”的说法是“偷换概念”。在数学分析中，并不存在所谓的“全增量分析法”，在微分的概念中，所谓的全增量只是一个“高阶无穷小量”，是无法形成现实的经济数量的。“全增量分析法”的错误在于它在微分概念的描述中“掐头去尾”，抛弃了微分分析的核心——极限的概念，而将其取极限之前的过程部分误称为“全增量分析法”，须知在取极限之后，这个所谓的“共变因素”就会成为“高阶无穷小”而烟消云散。事实上，查遍数学大辞典，在微积分的词语中，根本没有“全增量分析法”这个概念。

尽管如此，为了本文中指数体系分析的完整性，我们依然根据表1的资料按“增量共变指数分析法”进行分析。

相对数分析：

80.0%=37.14%+32.14%+10.71%

绝对数分析：

224(万元)=104(万元)+90(万元)+30(万元)

按增量共变指数体系可分析如下：以上计算表明该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元。其中，由于产品销售价格报告期比基期增长37.14%，使销售额增加了104万元；由于产品销售量报告期比基期增长32.14%，使销售额增加了90万元，由于产品销售价格和产品销售量的共变影响使销售额增长了10.71%，使销售额增加了30万元。

表面上看，所谓“增量共变指数体系”似乎解决了传统的指数体系分析中绝对数分析和相对数分析的矛盾，然而实际情况并非如此，也就是说，“增量共变指数体系”实际上也并没有解决这一矛盾。在一定的情况下，同样会出现这种相对数分析和绝对数分析之间的矛盾现象。对此，已在《论增量共变指数体系的非科学性》一文中作了专门的剖析[6]。

其次，不难看出，在“增量共变指数体系”中，建立在经济方程式：商品销售额=商品销售价格×商品销售量，以及基础之上的指数体系：商品销售额指数=商品销售价格指数×商品销售量指数，这些早已不复存在了。因此，有必要对统计综合指数体系的最初来源进行回顾——这里就涉及到著名美国统计学家费雪的“理想指数”以及中国一些统计学者按此方式设立的第五套指数体系——“理想指数体系”。

七、第五套指数体系——费雪的“理想指数”体系

美国著名统计学家费雪(I.Fisher)对统计指数分析做出了巨大的贡献。早在1928年，他就在统计学名著《指数之编制》中，归纳出了著名的统计指数的公理化体系，著名的“三大检验”即“时间互换检验”、“因子互换检验”和“循环关系检验”是其核心所在。中国一些统计学家认为，现在所讨论的指数体系，其渊源应当来源于费雪的“因子互换检验”。因此，中国一些统计研究者也按照国内的统计指数体系的分析方法，建立起了费雪的“理想指数体系”，也有一些统计研究人员将其称为“第五套指数体系”。在此，我们也将表1数据用费雪的“理想指数体系”作以分析。为便于比较，我们首先按表1的资料计算。

相对数分析：

(9)

其中根据表1数据有：

有：

180.0%=131.70%+136.68%

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增长80%，产品销售价格报告期比基期增长31.70%，产品销售量报告期比基期增长36.68%。

绝对数分析：

(10)

即有：

224(万元)=105(万元)+119(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元。其中，由于产品销售价格报告期比基期增长31.70%，使销售额增加了105万元；由于产品销售量报告期比基期增长36.68%，使销售额增加了119万元。

以上计算分析表明，按表1的资料计算分析，费雪指数体系并没有产生相对数分析和绝对数分析之间的矛盾现象。为便于更完整的对比与分析，进一步按表2资料用费雪的“理想指数体系”分析计算，看变化以后的数据是否会导致费雪的“理想指数体系”像“第二套指数体系”一样出现相对数分析和绝对数分析之间的矛盾现象。

相对数分析：

其中根据表2数据有：

有：

180.0%=136.68%×131.70%

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增长80%，产品销售价格报告期比基期增长了36.68%，产品销售量报告期比基期增长31.70%。

绝对数分析根据式(10)有：

224(万元)=119(万元)+105(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元。其中由于产品销售价格报告期比基期增长36.68%，使销售额增加了119万元；由于产品销售量报告期比基期增长31.70%使销售额增加了105万元。

以上计算分析表明，按表2数据计算分析，费雪的理想指数体系也并没有产生相对数分析和绝对数分析之间的矛盾现象。因此，应当承认，费雪的理想指数体系具有一定的科学合理性。但如果回顾一下中国统计学科发展的历史就不难看到，中国统计学界长期以来对费雪及其理想指数进行了大量的批判，这些批判一般来讲很多方面可以说都是无中生有的，或至少也是言过其实的。我们的研究表明，从指数体系分析方法的角度来看，费雪的“理想指数体系”其实并非最“理想”的指数体系，而应该是在马埃指数的基础上建立起来的一个新的指数分析体系——“均值加权指数体系”(或称马埃指数体系)。在《统计指数体系内在矛盾的破解》一文中，我们详细地论证了“均值加权指数体系”优良的统计性质和实用性。为了照顾到本研究分析的系统性，我们将建立在费雪指数基础之上的费雪指数体系称为第五套指数体系，而将建立在马埃指数基础之上的均值加权指数体系称为第六套指数体系。

八、第六套指数体系——均值加权指数体系

经过认真地对比分析，我们认为建立在马埃指数基础上的“均值加权指数体系”较之于上述各套指数而言具有更多的优点。1887-1890年，美国学者马歇尔和埃奇渥斯设计出用基期和报告期物量的平均数加权的综合物价指数，这即是所谓的马埃指数。我们的进一步研究表明，马埃指数还具有一些尚未完全了解的性质和功能。因此，在分析研究的基础上本文发现，建立在马埃指数基础指数的均值加权指数体系具有一些独特的科学和实用的性质，从指数体系分析而言，可称为一种“更理想”的指数体系。同样，以本文案例中的表1和表2资料进行计算和分析。

由于“均值加权指数体系”公式对计算数据要求有所不同，首先将表1的数据转为以下表3的数据。

表3　某企业两种主要产品销售情况表

相对数分析：

(11)

即有：

180.0%=131.63%×136.62%

绝对数分析：

(12)

即有：

224(万元)=105(万元)+119(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元。其中，由于产品销售价格报告期比基期增长31.63%，使销售额增加了105万元；由于产品销售量报告期比基期增长36.62%，使销售额增加了119万元。可见，此分析结果与费雪的“理想指数体系”的分析极为接近，也并没有出现绝对数分析和相对数分析之间的矛盾现象。

为便于比较分析，下面按照表2资料进行计算，因数据要求不同，依然先将表2数据转为以下表4的数据：

表4　某企业两种主要产品销售情况表

相对数分析：

即有：

180.0%=136.62%×131.63%

绝对数分析：

224(万元)=119(万元)+105(万元)

计算表明，该企业两种主要产品的销售额报告期比基期增加224万元。其中，由于产品销售价格报告期比基期增长36.62%，使销售额增加了119万元；由于产品销售量报告期比基期增长31.63%，使销售额增加了105万元。可见，按表2资料分析的结果仍与费雪的“理想指数体系”的分析结果几乎完全一致，也并没有出现第一套和第二套指数体系分析中绝对数分析和相对数分析之间的矛盾现象。由此，也可以看出均值指数体系与费雪“理想指数体系”均具有比较优良的统计性质。

下面用一个表格将上述六种指数体系的分析加以综合对比，由此可以比较清晰地看到各种指数体系的分析效果。

表5　六种指数体系的对比分析表

注：为简明分析起见，除第二套指数体系用表2的数据外，其余均为表1的数据。

由上表对比可见，在上述六套指数体系中，只有第五套指数体系(费雪理想指数体系)和第六套指数体系(均值加权指数体系)没有产生明显的矛盾和问题，而且二者的相对数分析结果十分接近，绝对数分析的结论甚至完全相等，这本身也是对指数体系科学性的一种印证。但是综合而言，相比均值加权指数体系，费雪指数体系存在以下的不足：

第一，费雪指数借用几何平均的形式，从数学角度看，这似乎也无可非议，但从经济意义的来看，几何平均不能很好地解释指标的现实经济意义。另外，从数学形式上来看，均值加权指数体系更适合进一步的数学推广。我们已完成的深层次拓展研究表明，均值加权指数体系在理论上可以推广到任意多元甚至更广泛意义的模型形式，而费雪指数体系在三元以上就相形见绌了。以三变量的乘法关系为例，我们所导出的均值加权指数体系为(相关证明和分析参见论文《统计指数体系内在矛盾的破解》)[7]：

(相对数分析体系)

(绝对数分析体系)

以同时包括两变量的乘法关系和三种分类(如产品类、储存类和劳务类)的加法关系在内的混合模型为例，我们所导出的均值加权指数体系为[8]：

(相对数分析体系)

(绝对数分析体系)

由上分析，可以得出这样一个结论：相对于费雪的“理想指数”体系而言，建立在马埃指数理论基础之上的“均值加权指数体系”更适合进行经济统计指数体系的分析，应该在社会经济统计分析中发挥其应有的重要作用。

参考文献：

[1]编写组. 社会经济统计学教科书[M].北京:中国统计出版社,1984.

[2]杨曾武，傅春生，徐前，等.社会经济统计学教科书[M].北京:中国统计出版社,1984.

[3]Diewert W E. The Treatment of Owner Occupied Housing and Other Durables in a Consumer Price Index[R]. Working Paper Centre for Applied Economic Research. 2004.

[4]杨坚白，冯杞靖，莫日达，等. 统计学原理[M].上海:上海人民出版社,1987.

[5]邵祥能，杨本会，莫之御. 试论经济指数的编制原理[M].统计研究第三辑.北京:中国统计出版社,1982.

[6]任栋. 论增量共变指数体系的非科学性[J].厦门大学学报：哲社版，2013(3).

[7]任栋，王琦，郭建军. 统计指数体系内在矛盾的破解[J].统计研究，2015(3).

[8]任栋. 多元均值加权指数分析体系的建立[C]. 第五届中国统计学年会，2014.

[9]杨灿. 指数性质的数学测验问题[J].统计研究,1987(6).

[10]杨灿. 经济指数理论问题研究[J].中国经济问题,2001(4).

[11]徐国祥. 统计指数理论及应用[M].北京:中国统计出版社，2004.

[12]Josef Baumgartner， Ernst Glatzer， Fabio Rumler， Alfred Stiglbauer. How Frequently Do Consumer Prices Change in Austria? Evidence from Micro CPI Data[R].ECB Working Paper No.523,2005.

(责任编辑：张爱婷)

王新宇，男，江苏徐州人，管理学博士，教授，研究方向：分位数回归建模。

【统计理论与方法】

Comparative Analysis of Six Statistical Index Systems

REN Dong1，WANG Qi2，ZHOU Li-hui3

(1. School of Statistics, Southwestern University of Finance and Economics, Chengdu 611130, China；

2. Applied Higher Education Research Center, Beijing Union University, Beijing 100010, China；

3. School of Science, North China University of Technology, Tangshan 063009， China)

Abstract:Statistical index analysis is one of the most important methodsin field of social and economic statistics. However, the great progress has not been made in statistical index theory for a long time because of the unsolved contradictions between absolute and relative measurements. The paper finds that Average Weighted Index Analysis System which the sixth index system is the best one after comparing the traditional 5 Statistical Index Systems. The Average Weighted Index Analysis System, based on Marshall-Edgenorth Index, is proved to be logical and scientific. There are no significant defects and contradictory issues.

Key words:index system; Marshall-Edgenorth Index; comparative analysis

作者简介：张海永，男，江苏徐州人，博士生，讲师，研究方向：贝叶斯空间分位数回归建模；

基金项目：教育部新世纪优秀人才支持计划项目《金融工程和能源经济中的风险管理研究》(NCET-12-0955)；江苏省普通高校研究生科研创新计划项目《基于空间分位数回归模型的房价异质性及调控政策效应研究》(KYZZ0384)

收稿日期：2015-06-26

中图分类号：C813∶F222

文献标志码：A

文章编号：1007-3116(2016)01-0003-08