反思数学解题的偶然性提高学生思维的内升力

☉江苏省如皋市第一中学　田利剑

反思数学解题的偶然性提高学生思维的内升力

☉江苏省如皋市第一中学田利剑

恩格斯指出：“人类对于事物的研究都是从表面开始的，从大量的表象研究中寻找规律，得到结论，偶然性和必然性在事物发展中形成相互交替的前行.”数学学习初期，学生对于问题的解决充满了偶然性，通过大量教学引导和训练，学生的这种偶然性渐渐向必然性转变和过渡，我们可以认为是其学习经验的积累和学习能力的提高得到的一种“质变”.

数学解题是数学教学的重要组成部分，从解题效果来看，我们发现没有思考的解题往往是就题论题.笔者遇到过这样的问题：对于类似的问题，学生这次解错，下次又是在同一个地方解错.例如，已知一次函数f（x）=ax+ b，当1≤f（1）≤2，2≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范围.笔者相信很多学生在初学不等式或线性规划问题中，都很难正确解决上述问题.哪怕是第一次偶然做对的学生，第二次却又做错了！问题在哪？在于其对于错误的问题缺乏必要的反思，对正确的解法也没有合理的思考.在心理学研究中，将这种偶然性的解决称之为“下意识”思考，教师要引导的正是将这种合理的“下意识”思考转换为必然性的东西，进而优化学生的思维，提高其数学学习的能力.

一、反思解题方法的偶然性，优化学生思维的批判性

思维的批判性是指思维活动中独立分析和批判的程度，它表现为能够在解决数学问题的过程中不断地总结经验教训，进行回顾和反思，自觉调控思维的进程，自我评价解题思路或方法，辨别正误，排除障碍的一种思维品质.在平时的教学中，若能够对解题中出现的偶然性加以思考，提高学生辨别是非的能力，正是培养学生思维批判性的有效途径.

案例1若f（cosx）=sin2x，则f（sinx）等于__________.

学生3：由f（cosx）=sin2x=2sinx·cosx，得f（t）=±2t·，所以f（sinx）=±sin2x，即上述两者都对.（全班是一片愕然！！）

反思：上述三种解法解答的过程和本身的方法均没有错误，若不去认真分析其中的原因，势必会造成解题结果的偶然性，究竟为什么会产生这种现象呢？这其中也存在着必然吗？事实上，问题产生在它的源头——题目本身有错！从第三位同学的解法可以看出，一个自变量t对应着两个函数值，所以由函数的定义可知，满足上述条件的函数是不存在的.在平时的教学中，教师应当教会学生敢于质疑解题中的偶然性，敢于质疑权威，及时监控自己的思维活动，提高思维的批判能力.

二、反思解题结果的偶然性，优化学生思维的广阔性

思维的广阔性是指善于全面地分析问题，多方面思考问题，多角度研究问题，善于对数学问题的特征、差异和隐含关系等进行具体分析，作出广泛的联想，寻求最佳答案的一种思维品质.因此当解题中出现偶然性时，及时地寻找一题多解，一题多变，这对培养学生思维广阔性是非常有益的.

分析：从问题的角度来说，证明四点共圆一般是利用直线到直线的到角公式，这首先得解决斜率问题，学生从解决问题最直接的角度是解决四个点的坐标.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则利用点差法可得，求得直线AB的方程为y=x+1，代入双曲线方程，得A（-1，0），B（3，4）.同理可得

反思1：笔者让学生运算本题，有不少学生对于本题的解决方式正是按照上述方式处理的，笔者想说这个问题处理的偶然性在于学生对于角度选择的时候是随意的、偶然的，且在直线到直线的到角运算上，大部分学生很难正确运算，少数学生正确地解决了问题，这样的偶然性解法我们需要反思.再仔细看看直线所反映的相互特征，直线CD是AB的垂直平分线，那么如果A，B，C，D四点共圆，则线段必CD是此圆的直径，此时问题解决过程中选择对角互补必定是∠DAC=∠DBC=90°，去选择证明kAC·kAD=-1，kBD·kBC=-1，从而有∠DAC+∠DBC=180°，进而大大简化了问题的运算.

反思2：若正确分析出线段CD是此圆的直径，后续可以通过进一步分析线段CD的中点M是此圆的圆心，利用韦达定理解决点M，再证明圆心M到两点A，B的距离|MA|=|MB|相等即可.

反思3：直线系是很多学生了解过的，那么类比到曲线系，我们可以猜想只要找到经过A，B，C，D四点的圆方程即可，因此构建曲线系：（x-y+1）·（x+y-3）+λ（2x2-y2-2）=0，（1+2λ）x2+（-1-λ）y2-2x+4y+（-3-2λ）=0，（*）则1+ 2λ=-1-λ，即λ=-，可以验证此时（*）代表的就是所求圆方程.笔者认为，这种思考对于挖掘问题的广度还是很有思维价值的，这种高于就题论题的思考，优化了学生思维的广阔性.

三、反思解题思路的偶然性，优化学生思维的创造性

思维的创造性是指思考问题和解决问题时的方式、方法或结果的新颖、独特，别出心裁，善于发现问题、解决并引申问题的一种思维品质.它是思维的高级状态.在平时的教学中应当提倡多思多想，善于从偶然的因素中提炼出必然的研究结果.

案例3已知圆锥曲线C的一个焦点是F（1，0），相应的准线是y轴，以过焦点F并与x轴垂直的弦为直径的圆截y轴所得弦长为2，当过焦点F的直线l的倾斜角θ在何范围内取值时，圆锥曲线C上有且只有两个不同点关于直线l对称？

分析：易得圆锥曲线C的方程为（x+1）2-y2=2，经检验知.设P（x1，y1），Q（x2，y2）是双曲线C上关于直线l对称的两点.设l：y=k（x-1），线段PQ中点为P0（x0，y0）.由于P、Q在双曲线上，则相减并整理得又直线l的斜率为k=从而x0=0，y0=-k，故直线PQ：再代入双曲线方程由判别式Δ>0，整理得到k>1或k<-1，故直线l的倾斜角θ取值范围是

反思：注意到所求的“k>1或k<-1”与双曲线的渐近线的斜率似乎有很大的关系.那么让我们思考这其中是偶然呢，还是必然？不妨考虑一般情形：设双曲线方程为，直线l：y=k（x-c），直线PQ：y=-线段PQ中点为P0（x0，y0）.由消去y并由判别式Δ>0化简整理得k2m2+k2b2-a2>0.（☆）类似于上面的“点差法”得（注意到横坐标在准线上，这与案例3中结果是相同的）.得直线因此有，代入（☆）式，得k4b2+（b2-a2）k2-a2>0，即（k2+1）·（b2k2-a2）>0，故有b2k2-a2>0，即k>.这也就解释了案例4的答案中为什么具有偶然性.但是从答案中进一步反思，我们发现答案仍然与渐近线有密切的关系，这又是为什么呢？我们作进一步的研究便可得到以下简便的方法：以焦点F为圆心作圆与双曲线交于四点Q1，P1，P2，Q2，且这四点依次在第一、二、三、四象限内，则θ就是弦P1Q1，或弦P2Q1的中垂线的倾斜角，易知k>

从上面的案例我们可以看出，在平时的解题教学中，要善于从看似偶然的结果中反思出必然的因素，不但有利于学生的分析问题、解决问题的能力，而且有利于学生的思维品质的优化.

从数学教学的现状来看，笔者比较担心教学过程的快速化、粗放化.随着新课程改革实施多年后的教学疲态，笔者也深深感受到现状数学教学对于解题反思是愈来愈不足，对于问题解决的偶然性反思也非常的不足.我们往往针对问题做的是一题多解、一题多变，却没有思考学生为何会这样解？学生为何是这样错？记得顾泠沅先生在教学中说过：“题有千变，但是教有定法，我提倡做一个问题就要做好做通，好好反思我为什么走入了这样的解题路径？错误的是否下次可以避免？正确的能否下次坚持？”说得太好了.

因此笔者建议：对于学生数学问题解决过程中遇到的偶然性，教师要及时给予关注和反思，这种思考在学生数学学习过程和积累中有着极为重要的帮助：其一，无论正确与否对于学生思维的广阔性都是一种极好的启发，这种偶然性是学生思维的闪光点，对于其多方面、多角度思考问题都有着引导作用；其二，解题偶然性对于学生而言比较多，学生往往在这其中有着令人惊讶的创造力和创新精神，及时巩固和总结对于这种偶然性形成为必然的内在是一种必不可少的途径.最后，笔者认为当下题海训练、应试教学又有重回老路的趋势，对于很多具备“灵光一现”的偶然性思路，教师往往关注太少而磨灭了学生数学学习的热情，我们的数学教学工作应该多关注偶然性解题之后的思考，进而引导思维的发展和能力的提高.

1.任樟辉.数学思维论［M］.南宁：广西教育出版社，1996.

2.段训明.增强反思意识优化思维品质［J］.数学通报，2003（6）.

3.桑亚.利用特殊化方法培养学生的思维品质初探［J］.中学数学（上），2003（1）.Z