基于“学生立场”的数学解题思路的构建——从数列公共项问题的探究历程谈起

基于“学生立场”的数学解题思路的构建——从数列公共项问题的探究历程谈起

☉福建省泉州师范学院附属培文实验高级中学白财明

引例已知数列｛an｝和｛bn｝的通项公式分别为an= 3n+6，bn=2n+7（n∈N*）.它们的公共项由小到大排成的数列是｛cn｝.

（1）求c1，c2，c3，c4的值；

（2）求数列｛cn｝的通项公式.

这是笔者评讲必修5“数列”的复习题时遇到的一道试题，考虑到这类题目是初次遇到，需要进行题型思路的构建与方法策略的理解，笔者尝试从审题分析、思路形成、方法的构建、思想的提炼与拓展等几个方面，展开了一次深入的探究.通过探究，系统地掌握了等差、等比数列的公共项的特征及求解策略，亲身经历了方法思路的形成与构建，同时也对例题教学产生了新的认识，感悟之际，提笔记录点滴感受.

一、沿着学生的想法展开探究

1.到底从哪里下手

如果学生初次接触公共项这个概念，对于什么是公共项，只有朦胧的感觉.如何分析并获得解题思路？在教学中明显感觉到，让学生对“公共项”概念形成一定的感性认识，应该成为分析思路的首要任务.笔者在上课的时候有过这样一段对话：

师：你知道什么叫两个数列的“公共项”吗？

生：知道，就是两个数列共有的项，相同的项.（本以为学生回答不知道，或不太了解）

师：既然明白，为什么这道题大家还是没有思路呢？（学生思考片刻，但是仍没有明确的思路）

生：不知道从哪里下手.

师：你能找到几个公共项？

生：没有，怎么找呀？

师：心里明白但就是不行动，为何不去尝试一下？其实我们还是没有真正搞清楚什么是“公共项”，还没有意识到这是问题解决的突破口.

因此，教师在评讲这个例题的时候，还是应该从认识“公共项”入手.只要学生稍微沉下心，分别写出几项看看，不难发现他们的规律：

数列｛an｝：9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，…

数列｛bn｝：9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，…

可见，两个数列的公共项是9，15，21，27，33，39，45等，所以c1=9，c2=15，c3=21，c4=27.再仔细地想一想，发现它的公差是6，则cn=9+6（n-1）=6n+3.这样看来本题就变得很简单了，学生不仅仅能够知道“公共项”到底是什么，也能够为进一步观察探究“公共项”的性质特征奠定基础.

2.公共项为什么不是an=bn

在教学中，不少学生还会有一种想法：两个一次函数图像相交，交点有且只有一个.而数列是一种特殊的函数，它的第n项an是关于项数n的一次函数，那么作为一次函数的等差数列，它们的公共项是不是最多只能有一个呢？这个问题可以从函数角度解释.

生：老师，我怎么老是感觉这道题目是错题.

师：为什么呢？

生：你说关于n的方程an=bn是不是最多只有一个解？

师：你说的不错，从函数角度看，方程an=bn有解和方程f（x）=g（x）有正整数解没什么区别吧？它们图像交点的横坐标就是方程f（x）=g（x）的解.

生：对呀！

师：但是两个数列有公共项等价于方程an=bn有解吗？

生：不是吗？

师：请大家再来看看两个数列的公共项，看看是否是他的所说所想，好吗？

（学生重新审视：对于数列｛an｝，公共项分别是a1=9，a3=15，a5=21，a7=27，a9=33，a11=39等，对于数列｛bn｝，公共项分别是b1=9，b4=15，b7=21，b10=27，b13=33，b16=39等）

生：（恍然大悟）公共项是a1=b1，a3=b4，a5=b7，a7=b10，a9=b13，a11=b16等，真的不仅仅是an=bn，还有更多的公共项，它们在不同数列中项的序号是不同的.

师：你说得对.既然不能单纯地用an=bn来研究公共项，那么这个公共项应该怎样表达？

生：（激烈争辩之后）公共项满足am=bk，m，k∈N*.

师：我们也明白了.如果我们把两个数列的公共项组成的数列记为｛cn｝，第n项是cn且满足cn=am=bk，那么，cn应该在数列｛an｝中的am也是数列｛bn｝中的bk.

二、把学生的想法适时导引到有意义的思路上来

1.站在高考的高度审视答题的规范性

本例题很容易在分析掌握公共项的特征之后，直接通过列举观察获得一个等差数列，但这是不完全归纳法，显然作为解答题的解题过程，是很不严密的，我们还需要严格的推理证明，这一步不能省略.因此，教师需要引导学生进一步思考怎么证明等差数列，完善解题过程.

师：到现在，你觉得求两个数列的公共项应该怎么求？

生：写出两个数列，观察他们的公共项，可得两个数列的公共项是9，15，21，27，33，39，45等，它是一个公差是6、首项是9的等差数列，因此cn=6n+3.

师：对，答案非常正确.不过，大家想一想，这里是不是存在一个技术性的问题？

生：不规范！

师：对.大家想一想，本题解题过程缺少什么？那么应该怎样完善呢？

2.从认识规律的角度分析探究解题思路

本题我们已经观察到两个等差数列的公共项按照从小到大的顺序构成一个等差数列｛cn｝，接下来就需要证明这个数列是等差数列，这是下一步的主要目标.

导引1：对于一个数列，要证明是等差数列，可以采用定义法.对于数列｛cn｝，要证明数列｛cn｝是等差数列，只需证明d=ck+1-ck（d为常数），怎样找到ck，ck+1，它们和an，bn存在何种联系？

根据c1=a1=b1，c2=a3=b4，c3=a5=b7，c4=a7=b10，可以发现必然存在这样一个等量关系ck=am=bn，其中1≤k≤m，1≤k≤n，k，m，n∈N*，且3m+6=2n+7.可见ck，ck+1就是数列｛an｝中的两个相邻的公共项或者是数列｛bn｝中的两个相邻的公共项.

导引2：在数列｛bn｝中寻找和数列｛an｝中相同的项，就是要找到相邻公共项bn+t，bn之间的递推关系.

假如我们得到ck=bn，ck+1=bn+t，那么ck+1-ck=bn+t-bn=t×d.

学生不难发现，若bn=2n+7，则bn+1=2n+2+7=2n+9；bn+2=2n+11；bn+3=2n+13.

导引3：等量关系ck=am=bn是一个重要的隐含条件.

上面的几个项的表达式分别是2n+7、2n+9、2n+11、2n+13，它们怎么可能是等差数列｛3n+6｝中的项？从表面上看，两者似乎没有任何关联，但是回头想一想，2n+7就是第k个公共项ck，那么它能不能从表面上看得出是公共项？这就是问题的突破口.

若ck=bn=2n+7，且bn=am，即3m+6=2n+7；

bn+1=2n+2+7=（2n+7）+2=（3m+6）+2=3m+8，令3m+8= 3k+6（k∈N*），而k=m+∉N*，所以bn+1不是数列｛am｝中的项，即bn+1∉｛am｝，不是公共项；

bn+2=2n+4+7=（2n+7）+4=（3m+6）+4=3m+10，同理可得bn+2也不是公共项，bn+2∉｛am｝；

bn+3=2n+6+7=（2n+7）+6=（3m+6）+6=3m+12=3（m+2）+6，即bn+3是数列｛am｝中的第m+2项.

导引4：证明公共项从小到大顺序排列后构成一个等差数列.

根据上面的讨论，在ck=am=bn的前提下，必有am+2= bn+3，即ck=am，ck+1=am+2或者ck=bn，ck+1=bn+3.由于d=ck+1-ck= am+2-am=2×3=6>0，或者d=ck+1-ck=bm+3-bm=3×2=6>0，从而可以证明数列｛cn｝是等差数列，其中公差d=3×2=6，即两个数列的公差的最小公倍数，所以cn=6n+3.

导引5：求两个等差数列的公共项的一般步骤.

（1）列举获得公共项的首项；

（2）确定在哪一个数列（比如｛bn｝）中找公共项；

（3）假设ck=am=bn，奠定相互转化的基础条件，也是隐含条件；

（4）在数列中依次验证bn+1，bn+2，bn+3，…，直到找到第k个公共项ck后面相邻的第一个公共项ck+1；

（5）证明ck+1-ck=d（d为常数），根据等差数列的通项公式，求出公共项的通项公式.

上述探究公共项的解题思路的过程，主要目的是引领学生学会探究，学会思考，虽然费事费力，但是学生体验到了一个问题由不会到会的探究过程，不仅印象深刻，而且在一定程度上也能对问题本质的理解，得到初步的提高.

三、从发展的角度认识和体验思想方法的构建

1.在同类问题的简单变式中，体验和熟悉解题基本程序

有了对公共项初步的解题体验，并不等于学生就能够独立求解一般的类似问题.课堂上还需要随机地设计几个简单变式题，只有简单变式题才有利于再次熟悉和快速巩固刚刚获得的成果，同时也有利于固化解题程序，在解题中体验到解题方法的优缺点.

案例1数列｛an｝与｛bn｝的通项公式分别为an=4n-1，bn=3n+2，它们的公共项由小到大排成的数列是｛cn｝，求｛cn｝的通项公式.

学生完全可以模仿获得下列解题过程：

设an=bm=ck，则ck=4n-1=3m+2.

所以an+1=4（n+1）-1=3m+2+4=3（m+2）∉｛bn｝；

an+2=4（n+2）-1=3m+2+8=3（m+3）+1∉｛bn｝；

an+3=4（n+3）-1=3m+2+12=3（m+4）+2∈｛bn｝.

所以ck+1=an+3，所以ck+1-ck=an+3-an=12，所以｛cn｝构成公差为12的等差数列.

又c1=a3=11，所以cn=11+12（n-1）=12n-1.

从这个解题过程中，学生至少可以取得三个收获：

（1）规范了解题步骤，再次巩固探究成果，还可以对上面的解题程序推广到非等差的问题的求解.

（2）补充强化判断一个数属于某个数列中的项.本题采用直接将表达式和bn=3n+2相比较，可以直接判断出该项属于数列｛bn｝中的某一项；当然也可以采用多元方程是否有整数解，来判断是否是公共项.

（3）体验到选择数列｛an｝或者｛bn｝的优劣程度：本题选择数列｛an｝进行讨论，需要讨论an+1，an+2，an+3三项，便可找到公共项，而选择数列｛bn｝，则需要讨论bm+1，bm+2，bm+3，bm+4四项.道理一想便知，公差越大，该数列中的公共项离得越近，因此，可以获得新的经验，尽量选择公差大的讨论.

2.在问题本身的拓展引申中，不断地提高对问题本质的认识

同类问题的顺利解决，也为后续研究奠定了坚实的基础.基础打牢固了，自然要想一想上面的解决办法是否是安全的，是否是解决更复杂的问题的通性通法.因为数列的公共项不仅仅只有等差数列才有，上述解法对于含有等比数列的问题是否也同样适用？

案例2数列｛an｝与｛bn｝的通项公式分别为an=2n，bn= 3n+2，它们的公共项由小到大排成的数列是｛cn｝，求｛cn｝的通项公式.

解析：设an=bm=ck，则ck=2n=3m+2.所以an+1=2·2n=

an+2=4·2n=4（3m+2）=3（4m+2）+2=b4m+2∈｛bn｝，所以ck+1= an+2，也就是当ck=an必有ck+1=an+2.

上述问题中，等比数列｛an｝由于它的项变化要比等差数列的快，数列中相邻的公共项之间的距离只间隔一项，即ck=am，ck+1=am+2，而等差数列中相邻的公共项之间的距离就相当远，假如bn=ck是第k个公共项，那么下一个公共项是b4m+2=ck+1，再次验证了两个等差数列的公共项，应该尽量在公差较大的数列中找ck与ck+1之间的关系.

此外，对于一个等比数列与一个等差数列的公共项问题，前面案例中所研究的解题方法同样适用.可以看得出，变式训练不仅是一种巩固，更多的是让我们不断地加深对解题方法的本质的认识.

至此，我们也许会想，既然等差数列之间、等比与等差数列之间的公共项，都可以采用在项的大小变化较快的数列中寻找ck与ck+1之间的关系，同样两个等比数列的公共项，上述解法是否仍然适用呢？

案例3数列｛an｝与｛bn｝的通项公式分别为an=2n，bn= 4n，它们的公共项由小到大排成的数列是｛cn｝，求｛cn｝的通项公式.

解析：在等比数列｛an｝中寻找ck与ck+1之间的关系.

设an=bm=ck，则ck=2n=4m.所以an+1=2·2n=2×4m∉｛bn｝，an+2=4·4n=4m+1∈｛bn｝.所以ck+1=an+2，也就是当ck=an时必有ck+1=an+2.

看得出，两个等比数列的公共项也可以从一个数列当中逐项查找另一个数列中的相同项.惊喜地发现，我们已经找到了解决此类问题的通法了.

综上所述，例题教学始终是在教师的引导下师生共同参与的活动，在学生已有的知识经验基础上展开的探究活动，是基于学生立场，尊重学生实际，把教师自己置身于学生的境地，设想学生可能会出现什么问题，产生什么困惑，现有哪些经验，适时地引导主动探究，使学生感悟数学活动中的思维过程，理解问题本质，主动学习，提高解题能力.