浅谈抽象代数教学改革

王　羡，王志俊，董红昌，刘琼玲

(中国矿业大学理学院，江苏徐州221116)



浅谈抽象代数教学改革

王羡，王志俊，董红昌，刘琼玲

(中国矿业大学理学院，江苏徐州221116)

[摘要]在课堂教学中，针对《抽象代数》课程的特点:重要，抽象.从而采取课程建设的三步骤:1.教材的建设;2.教学方式改革;3.创新人才培养.实践证明这三者是不可分割的有机体.本文叙述了我校《抽象代数》实践教学的具体做法及所取得的成果.

[关键词]抽象代数; 课程建设; 改革; 创新

《抽象代数》课程是我校数学专业的一门重要的必修课程.随着社会对厚基础，重能力，创新型人才的需求，《抽象代数》的重要性就显得尤为突出.因为它是数学之基础也是跨向其它学科的桥梁.有了它可以深入研究代数几何学，交换代数学也可迈向计算机科学，信息工程学等.特别，作为它的一个应用Gröbner基已经渗透到统计学和医学等领域.为此我们团队结合该课程的特点在教材建设，教学方式改进以及创新型人才培养方面做了一些工作并取得了较好的成绩[1-4].该课程获得了我校优秀教学成果奖，而作为它的延伸课程我校数学系研究生的《近世代数》获得了江苏省优秀研究生课程.

具体做法是分三步进行的:1.教材的建设;2.教学方式的改革，即增加研讨课环节;3.创新人才的培养.

1《抽象代数》的课程建设与教学改革

1. 以国际化视野结合国内同类课程具体情况进行教材方面建设

(i) 自编《抽象代数》教材.

一门课程的学习，教材的选取非常重要.根据《抽象代数》课程的特点以及我校教学的实际课时情况我们编写了一部《抽象代数》教材.该教材特点是便于研讨课的实施，通过给出“问”的形式给学生留有思考和研讨空间.此外，其亮点在于(a)添加了“中国剩余定理”(老版本的《抽象代数》教材一般没有这个内容，然而国外的《抽象代数》均有此内容;(b)将代数学另一个重要概念“模”编入其中.因为模是环上的向量空间，它已成为代数学中(如群，环，域一样的)最基本的概念之一，而且用模可在更高层次上讨论一些问题[5].

(ii) 自编研讨习题册.

根据多年的教学实践经验的积累和总结将一些探讨的问题编写成一部研讨习题册.该研讨习题册的特点在于它不同于一般的习题集，给学生很大的思考空间和延拓空间.考虑到该课程本身的特点:重要，抽象，因此课堂上触及而又不能深入的问题以及研讨习题册上的问题都是通过研讨课完成.这样不仅使学生们对概念的理解更深入一步同时还调动了他们思考问题的积极性.

(iii) 制作《抽象代数》多媒体课件

作为课堂教学的辅助工具我们团队制作了一套《抽象代数》多媒体教学课件.考虑到该课程的“抽象”特点，在实际讲授时必要的部分还是采用板书形式，但在总结归纳，用到前面知识以及进行内容对比(如环的同态基本定理与群的同态基本定理对比)时课件起到了不可或缺的作用，为有限课时的《抽象代数》赢得了时间.

2. 增加《抽象代数》研讨课环节，促进教学方式的改革

以前的教学方式都是传统式的教师讲学生听，既便用启发式教学也是教师在讲，学生始终处于被动地位.究竟有多少学生听懂课堂的内容以及有多少学生真正是通过自己主观上积极思考弄懂内容的，作为教师并不是很清楚(这从另一个角度讲也不利于人才的发现).基于这种情况以及抽象代数课程的特点我们在我校数-12级做了试点，增加了研讨课环节，每章结束后都有一次研讨课.对于平时课堂上触及而又不能深入探讨的问题以及一些有思考空间的问题都留在研讨课完成.出人意料让人惊喜的是研讨课堂上学生们是那么踊跃地回答问题. 我们曾对下面的问题做过研讨:

(i) 对于一般线性群GLn()和特殊线性群SLn()大家都熟知， 那么令T表示GLn()中所有detA=2的n阶可逆复方阵全体组成的集合时， (T，·)是否还构成群？为什么？大家发现它已经不是群了(这也说明了特殊线性群SLn()的“特殊”所在！). 于是学生们颇有兴致地在GLn()中找detA满足什么条件的集合可以构成群;

(ii) 在讲到环时， 将环与其子环以及群与其子群的一些性质做对比.群G与其子群H的单位元相同， 而环R与其子环S不具有这种性质. 首先对于环并没有要求它必须含有单位元(这是与群的不同点)， 即使对含有单位元的环来说， 其子环S也未必有单位元(例如对于数的加法“+”和乘法“·”，(2，+，·)是(，+，·)的子环. (，+，·)的单位元是1，而(2，+，·)没有单位元).即使有单位元也未必相同(例如对于环(6，+，·)，令}，易证(S，+，·)是(6，+，·)的子环. (6，+，·)的单位元是， 而(S，+，·)的单位元是). 那么问题出现在哪里呢？每次研讨课结束时大家都有一种意犹未尽之感，然后学生把自己的解法都以report形式提交. 记得有一次一个学生用中， 英文提交了实习报告，好像是在告诉我们他阅读了很多相关的书籍，又好像在传达他喜欢回答这样的问题.实践证明了研讨课的必要性，它不但调动了学生们积极思考问题的热情也增强了他们参与意识同时也让我们发现了尖子学生.它为创新构建了平台，它为师生增进了互动.

2结合课程建设与改革，指导大学生科技创新项目以培养创新型人才

人才的培养是一个系统工程.市场的竞争实际上就是人才的竞争.为了培养创新型人才我们采取把前沿东西带入课堂(因为“创新”总是和“前沿”紧密相连)，让学生感之，认之，用之.这里的课堂是广义上的课堂，我们是通过以下三种方式带入的.

1.授课时的带入课堂;

2.指导大学生科技创新或毕业设计时的带入课堂;

3.指导研究生时的带入课堂.详见下面的框图1.

课题组成员身体力行带领一些本科尖子生进行省级大学生科技创新项目并取得了优异的成绩.值得一提的是在进行省级科技创新时确实对一些子问题有很大的突破.如用《抽象代数》中的多项式环的知识，引入Gröbner基的概念，又用Gröbner基的知识在更高层面上科学地解释了一些曾经遇到的问题.此外在指导研究生创新时也取得了很多成绩.通过创新学生们以第一作者分别在核心期刊，SCI检索期刊上发表科研论文数篇.

3建起了一支教学科研高水准，结构合理稳定的团队

团队有教师6人，其中具有高级职称的3人;中级职称的3人;博士学历5人;硕士学历1人.获得江苏省优秀研究生课程1项;校优秀教学成果奖1项；主持校教改项目3项;指导省级大学生科技创新项目1项;主持国家自然科学基金面上项目1项;主持校级基金项目8项.以第一作者发表教学法论文8篇;以第一作者发表SCI检索科研论文40多篇.此外我们的团队还注重和兄弟院校进行科研和教学方面的合作.

图1

4结束语

课程建设过程可用图2概述

图2

实践再次告诉我们《抽象代数》课程建设中教材建设，教学方式改革以及创新人才的培养是一个不可分割的有机体.

[参考文献]

[1]王羡，马文超，周建洋.Gröbner基的一个应用[J].高等数学研究，2014，17(1):50-53.

[2]王羡，周建洋，龙霞.Gröbner基与联立方程式的解法[J].中国矿业大学学报，2013，42(2): 326-330.

[3]王羡，逄世友，王志俊，董红昌.从Gröbner基看线性方程组的高斯消去法[J].中外教育研究，2012，501(8):45.

[4]王羡，周建洋，马文超.无限可数个变元多项式环上的动态Gröbner基[J].山东大学学报(理学版)，2013，48(6)：38-41.

[5]唐忠明. 抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社，2006.

[基金项目]国家自然科学基金(11171343;11271275)；江苏省“十二五”高等学校重点专业建设项目—江苏省高等学校本科重点建设(201280)

[收稿日期]2015-01-04；[修改日期]2015-03-13

[中图分类号]G642

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)02-0044-04