二次方分段双稳系统的随机共振特性及其应用

二次方分段双稳系统的随机共振特性及其应用

张金燕，林敏

(中国计量学院 计量测试工程学院，杭州 310018)

摘要：提出一种二次方分段双稳势函数，建立了该势函数的参数与克莱默斯逃逸率和输出信噪比的解析关系。并从动力学的角度，分析了不同非线性势函数下布朗粒子所受的势场力对增强随机共振效应的影响。数值仿真与理论分析结论一致。经对轴承滚动体故障数据的分析表明，该势函数所产生的随机共振能更有效地实现微弱特征检测与早期故障诊断。

关键词：随机共振；二次方分段双稳势函数；噪声助长；轴承故障；微弱信号检测

中图分类号:TH113

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.034

Abstract:A quadratic segmented bistable potential function was proposed here, the analytic relations among Kramers escape rate, the output signal-to-noise ratio and parameters of the potential function were established. With the principle of dynamics, the influences of the potential field force exerted on Brownian particles under different nonlinear potential functions on enhancing the stochastic resonance produced by the potential functions were analyzed. The results of numerical simulation agree well with the theoretical analysis ones. The analysis of rolling element bearing fault data showed that the stochastic resonance caused by the proposed potential function effectively realizes the weak signal detection and early fault diagnosis.

基金项目：国家自然基金(51304105) 国家自然科学基金(51305209)；江苏省自然科学基金(BK20130979,BK2011735)；中国博士后科学基金(2013M541678); 江苏省博士后科学基金(1302052C)

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2015-03-05 2014-08-12修改稿收到日期：2015-01-20

Stochastic resonance characteristic of a quadratic segmented bistable system and its application

ZHANGJin-yan,LINMin(College of Metrology and Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

Key words:stochastic resonance; quadratic segmented bistable potential function; noise facilitation; bearing fault; weak signal detection

Benzi等[1-2]在研究地球冰川问题时提出了随机共振，并且将其定义为一种双稳系统在微弱周期信号和噪声共同作用下表现出来的非线性现象。随机共振常用Langevin方程来描述，它涉及微弱周期信号、噪声以及非线性系统三个基本要素[3]，多用输出信噪比和功率谱来衡量其效应[4]。在非线性系统中，噪声的存在可以助长系统中的微弱信号[5]，并且在特定的噪声强度下系统的输出信噪比和功率谱能够达到极大。这使随机共振在微弱信号检测领域具有潜在的应用价值[6]。

近年来，人们围绕着经典双稳势函数所产生的随机共振现象进行了广泛而深入的研究，通过调节势函数的参数来产生随机共振或增强随机共振效应[7-8]，但经典双稳势函数确定的势能与位移是四次方的函数关系，存在着饱和特性。王泽林等[9-13]提出了分段线性双稳势函数和分段混合双稳势函数，这些势函数能避免输出的饱和特性，且在特定噪声强度下具有较好的输出信噪比，能有效地增强随机共振效应。因此，随机共振效应与势函数的具体非线性形式有关，通过选择不同非线性的势函数并调节相关参数，能有效地增强随机共振效应。

线性是互不相干的独立关系、是唯一的，而非线性则是相互作用的，是多种多样的。本文研究噪声与系统非线性的相互作用关系，提出二次方分段双稳势函数，建立势函数的参数与克莱默斯逃逸率和输出信噪比的关系；并从动力学的角度，分析不同非线性势函数所确定的常数力、线性力等势场力对增强随机共振效应的影响。最后，采用二次方分段双稳势函数所产生的随机共振应用于轴承滚动体的早期故障诊断。

1二次方分段双稳势函数

随机共振的常用动力学方程如下所示：

(1)

式中的微弱周期信号Acos(2πf0t)是外界提供的一个周期性驱动力，f0是周期信号的频率，幅值A≪1；满足〈η(t)〉=0，〈η(t)η(t′)〉=2Dδ(t-t′)的高斯白噪声η(t)是粒子受到的一个随机力，D为噪声强度。U(x)是系统的势函数，刻画了粒子在所处势场中势能随位移的变化，-dU(x)/dx是布朗粒子在势场中受到的势场力。改变势函数U(x)的非线性形式，使微弱周期信号及噪声之间存在着匹配关系,则能产生随机共振或者增强随机共振效应。

经典双稳势函数为：

(2)

(3)

在相同噪声强度下，分段混合双稳势函数所产生的随机共振具有更高的输出信噪比。

分段混合双稳势函数将势能与位移之间原有的四次方函数关系转变成了线性关系，也将势场力从非线性力变成了常数力。由于势函数非线性是多种多样的，为了寻找随机共振效应更好的非线性势函数，本文在x4项与x项之间构建了一个x2项的边界函数，提出了一种二次方分段双稳势函数，从而确定了势能与位移的二次方函数关系，也确定了势场力是线性力，其表达式为：

(4)

图1　势函数曲线 Fig.1 The potential function

不同非线性的势函数确定了布朗粒子在势场中将受到不同的势场力。当参数a=1，b=1时，布朗粒子所受的势场力随位移变化的曲线见图2，其中横坐标是布朗粒子在势阱中的位移，纵坐标是布朗粒子所受的势场力。

从图2可知，随着势函数非线性形式的变化，布朗粒子所受的势场力也随之改变。当势函数为U1(x)时，布朗粒子所受的势场力为非线性力；当势函数为U2(x)时，布朗粒子在两势阱底之间所受的势场力为非线性力，在两势阱底外侧所受的势场力为常数力且在两势阱底处势场力均存在跳变；当势函数为U3(x)时，布朗粒子在两势阱底之间所受的势场力为非线性力，在两势阱底外侧所受的势场力为线性力且在两势阱底处势场力均存在跳变。因此，选择不同非线性形式的势函数，可以改变布朗粒子受到的势场力，从而影响随机共振效应。

图2　势场力变化曲线 Fig.2 The change of potential well Force

1.1特性分析

双稳系统的Kramers逃逸率可表述为：

(5)

Kramers逃逸率表示布朗粒子在噪声作用下从一个势阱跃迁到另一个势阱的速率，值越大表示布朗粒子在一定时间内跃迁的次数越多，每次耗时越短。由式(5)可知，通过选择不同非线性形式的U(x)可以改变系统的Kramers逃逸率，从而影响系统对微弱周期信号的响应速率。

将式(4)的U3(x)代入式(5)并取积分，可得：

(6)

进一步简化得：

(7)

同理

(8)

因此，二次方分段双稳系统的Kramers逃逸率为：

(9)

图3　Kramers逃逸率随噪声强度D的变化 Fig.3 The R along with the change of noise intensity D

图3为当参数a=1，b=1，c=2时，不同非线性的势函数下系统的Kramers逃逸率随噪声强度变化曲线。由图3可知，Kramers逃逸率会随着势函数非线性形式的变化而变化。且在同一噪声强度下，二次方分段双稳系统的Kramers逃逸率远大于分段双稳系统的Kramers逃逸率。因此，不同非线性的势函数U(x)能够影响系统的Kramers逃逸率。

通常采用输出信号信噪比SNR来衡量系统的随机共振效应，其定义为噪声功率与输出信号功率的比值。系统的输出信噪比可描述为[14]：

(10)

将式(9)的Kramers逃逸率代入式(10)，可得：

(11)

图4为当a=1，b=1，c=2，信号幅值A=0.4时，系统的输出信噪比随噪声强度变化的曲线。随着噪声强度的变化，系统的输出信噪比呈现出明显的单峰曲线，二次方分段双稳系统的输出信噪比峰值最大，且峰值点对应的噪声强度也提高了。因此，势函数非线性形式的变化能够影响系统对噪声的适应性，选择合适的势函数形式能达到增强系统随机共振效应的目的。

图4　输出信噪比随噪声强度D的变化 Fig.4 The output SNR along with the change of noise intensity D

2数值仿真结果分析

数值仿真采用四阶龙格库塔算法，系统参数固定为a=1，b=1，c=2，设置采样频率fs=5Hz，外界微弱周期信号的频率f0=0.01Hz，幅值A=0.4。输入信号为外界微弱周期信号和噪声的混合信号。当噪声强度D=0～3时，系统的输出信噪比变化见图5。图5中横坐标是系统输入的噪声强度，纵坐标是系统的输出信噪比。随着噪声强度的变化，系统的输出信噪比呈现明显的单峰曲线，二次方分段双稳系统的输出信噪比达到了50.7，且峰值点对应的噪声强度也得到相应提高。因此，二次方分段双稳系统的输出信噪比得到了显著的提高，且对噪声具有较好的适应性。数值仿真结果与理论分析基本一致。

图5　输出信噪比的变化 Fig.5 The change of the output SNR

输入信号s(t)是幅值A=0.4的周期信号与D=0.4的高斯白噪声的混合信号。图6为s(t)经过分段混合双稳系统作用后得到的输出信号x(t)的时域图和功率谱图。图6表明，待测微弱周期信号频率f0=0.01Hz处的功率谱值较小。图7是s(t)经过二次方分段双稳系统作用后得到的输出信号x(t)的时域图和功率谱图。图7表明，待测微弱周期信号在频率f0=0.01Hz处的功率谱值具有显著提高，谱值达到了0.5749 unit2/Hz。数值仿真结果表明，二次方分段双稳势函数能有效增强系统的随机共振效应。

图6　分段混合双稳系统的输出时域图及功率谱图 Fig.6 Time-domin waveform and power spectrum of the piecewise hybrid bistable system’s output

图7　二次方分段双稳系统的输出时域图及功率谱图 Fig.7 Time-domin waveform and power spectrum of the quadratic piecewise bistable system’s output

3轴承故障信号检测结果与分析

滚动轴承是现代工业中常见的机械零件之一。其承受的载荷随时间变化，在线使用的时间也较长，因此轴承是机械设备中最容易损坏的元件之一。据统计，在使用滚动轴承的旋转机械中，大约有30%的机械故障都是由轴承引起的[15]。故障的发生势必会带来机械生产的不便以及一定的经济损失，由于故障的产生和形成是一个渐进的过程，因此轴承的早期故障诊断十分必要。

本文选取型号为N/NU 205EM的轴承滚动体故障进行检测。该轴承的滚动体直径BD=7.5mm，滚道节径PD=65mm，内径Ra=25mm，外径Rb=52mm，滚动体个数N=12，接触角β=0°。实验采集轴承的加速度信号时，设置采样频率fs=80kHz，采样点数N=220=1048576，轴承转频f0=25Hz。

随机共振理论要求输入信号需要满足小参数条件，因此对于实测的轴承滚动体故障信号先通过二次采样进行预处理[16]，设置采样压缩比R=5000使其满足产生随机共振的小参数条件，再利用二次方分段双稳系统随机共振的方法提取微弱特征，最后进行尺度还原后得到对应的特征频率。选取a=1，b=1，c=2为系统参数。图8是轴承原始故障信号s(t)的时域图及功率谱图，该轴承滚动体待测的周期故障信号完全淹没于噪声中，功率谱图中无法分辨出任何特征故障频率。

图8　原始故障信号时域波形图及功率谱图 Fig.8 Time-domin waveform and power spectrum of the original bearing falut signal

将含有故障特征频率的混合信号分别通过分段混合双稳系统、二次方分段双稳系统随机共振作用后，得到系统的输出功率谱图见图9。图9(a)为分段混合双稳系统随机共振后系统的输出功率谱，其特征故障频率处对应的功率谱值p(f)=0.09287unit2/Hz，右侧仍存在较高的谱值，无法从中分辨出特征故障频率。图9(b)是二次方分段双稳系统的输出功率谱值，在特征频率fs=0.2502Hz处存在一个较为突出的谱峰值，相应的功率谱值p(f)=0.1552unit2/Hz。根据频率压缩比进行尺度还原，该轴承滚动体对应的故障频率应为fd=fs·R=125.1Hz。当轴承转频f0=25Hz时，滚动体故障频率的理论值为125.18Hz。图9(a)与图9(b)表明，二次方分段双稳系统随机共振具有明显的谱峰值，其谱峰值增加了67.2%。检测结果可以表明，二次方分段双稳系统的输出性能显著优于分段混合双稳系统的输出性能，该方法能够检测出轴承滚动体故障。

图9　分段混合双稳系统和二次方分段双稳系统输出功率谱图 Fig.9 Power spectrum of the piecewise hybrid bistable system’s output and quadratic piecewise bistable system’s output

4结论

随机共振效应与势函数的具体非线性形式有关。本文建立了二次方分段双稳势函数的参数与系统克莱默斯逃逸率和输出信噪比的解析关系。并从动力学的角度，分析了势函数的具体非线性形式对随机共振效应的影响，揭示了增强随机共振效应的物理本质。结果表明，二次方分段双稳系统中，由于布朗粒子受到的势场力中存在线性力，噪声的助长作用明显，整个系统具有良好的输出信噪比及功率谱。数值仿真结果与理论分析结论完全吻合，且轴承滚动体故障数据的分析表明，该势函数所产生的随机共振在轴承故障信号检测中的应用是有效的。同时也适用于其他强噪声背景下的微弱信号检测，应用前景良好。

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第一作者毛君男，教授，博士，1960年生

第一作者朱银龙男，博士后，讲师，1981年生

通信作者周宏平男，教授，博士生导师，1964年生

邮箱：hpzhou@njfu.edu.cn