基于首次积分和向量场的二维Lotka-Volterra系统的稳定性

基于首次积分和向量场的二维Lotka-Volterra系统的稳定性

唐晓伟1,2

( 1.齐鲁师范学院 数学学院，山东 济南 250200； 2.山东师范大学 数学科学学院，山东 济南 250014 )

摘要：为研究二维Lotka-Volterra系统平衡点的稳定性问题，利用首次积分和向量场给出了平衡点一致稳定的充分条件，同时将结论推广到一般的二维系统中，并用实例验证了本文结论的有效性.

关键词：Lotka-Volterra系统； 首次积分； 向量场； 稳定性

收稿日期：2015-05-13

基金项目：山东省青少年教育科学规划课题(15BSH278);齐鲁师范学院校级青年教师项目(2014L1002)

文章编号：1004-4353(2015)03-0203-04

中图分类号：O175.31

Stability of a two-dimensional Lotka-Volterra system with first integral and vector field

TANG Xiaowei1,2

( 1.MathematicalSchool,QiluNormalUniversity,Jinan250200,China;

2.SchoolofMathematicalScience,ShandongNormalUniversity,Jinan250014,China)

Abstract：To study the stability for two-dimensional Lotka-Volterra,the sufficient condition of the stability for two-dimensional Lotka-Volterra system was given by using first integral and vector field. Then the conclusion was extended to general two-dimensional systems and the effectiveness was verified by an example.

Key words： Lotka-Volterra system; first integral; vector field; stability

在农业生产和生物资源的管理中，维持某一种群系统内部的平衡对保持整个生态系统的平衡具有重要的作用，因此需要人们根据种群系统所反馈的各种信息来制定相应的管理决策，以保证生物物种的多样性和生产的可持续性.文献[1-3]通过李雅普诺夫函数研究了Lotka-Volterra系统平衡点的稳定性问题，但由于在构造李雅普诺夫函数时存在较多困难，上述文献中构造的李雅普诺夫函数不具有通用性.文献[4]研究了一类Lotka-Volterra系统的首次积分的存在性，并利用首次积分研究了平衡点的稳定性问题.文献[5]给出了Lambert W函数的定义，并将系统首次积分的表达式作为其李雅普诺夫函数，结合Lambert W函数的性质讨论了可求得首次积分的Lotka-Volterra系统的周期解的存在性和稳定性问题，但是并不是所有的Lotka-Volterra系统都能够写出其首次积分的表达式.C.Albert等[6-7]在研究非线性扰动系统的全局相切性和横截性时提出了一种基于首次积分和向量场的方法，这种方法能够避免构造李雅普诺夫函数时所存在的困难，同时还适用于首次积分不存在的系统.鉴于此，本文利用首次积分和向量场研究了一类二维Lotka-Volterra系统平衡点的稳定性，给出了系统平衡点一致稳定的充分条件，并将结果推广到一般的二维非线性系统中，最后用实例验证了结论的有效性.

1预备知识和基本结果

令R2表示二维欧式空间,‖·‖表示R2中的范数.考虑如下的两种群Lotka-Volterra系统：

(1)

其中:x(t)表示食饵(害虫)的种群数量;y(t)表示捕食者(天敌)的种群数量；a,b,c,d为正常数.

(2)

(3)

定义1(i) 对∀ε>0,∀t0≥0,若存在δ=δ(t0,ε)>0,使得当‖X0‖<δ时,有‖X(t)‖<ε,t≥t0成立,其中X(t)=X(t,t0,X0)表示系统(3)的过(t0,X0)的解,则称系统(3)的零解是稳定的；(ii) 若(i)中的δ与t0无关，则称系统(3)的零解是一致稳定的.

定义2定义K类函数如下:

K={a(s)|a∶[0,+∞)→[0,+∞),a(0)=0,a(s)关于s连续且严格单调递增}.

定理1系统(3)的零解是稳定的.

证明证明取引理2中的H(x,y)作为李雅普诺夫函数即可.

2主要结果及其证明

考虑具有扰动的两种群Lotka-Volterra系统:

(4)

定理2若系统(4)满足对∀ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函数k(s)∈K,使得当X∈∪(0;ε)时,H(X)∈[H0,H0+σ);当H(X)∈[H0,H0+σ)时,X∈∪(0;k(ε)),且对∀X∈Ω,t∈[0,+∞)有DH(X)·h(t,X)≤0成立,则系统(4)的零解是一致稳定的.

证明对∀ε>0,t0≥0,设X(t)是系统(4)经过(t0,X0)的解,于是DH(X(t))·h(t,X(t))≤0.对∀t≥t0,将上式两端分别在[t0,t]上积分,得

对上述的ε>0,t0≥0,取0<δ

更一般地,考虑具有扰动的二维微分系统:

(5)

其中g(t,X)在[0,+∞)×Ω上是连续的,Ω是R2中的一个包含原点的开集.不妨假设系统(5)的零解存在，且对系统(5)做如下假设:

(H1)g(t,X)可写成p(X)与q(t,X)之和,且p(X)关于X在Ω内是可积的,q(t,X)关于X在Ω内可以不可积;

(H3) 令F(0)=F0,且F0是F(X),X∈Ω的唯一最大(最小)值.

定理3系统(5)的零解是一致稳定的，若系统(5)满足(H1)—(H3)，且

(i) 当F0是F(X),X∈Ω的最小值时,对∀ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函数α(s)∈K,使得当X∈∪(0;ε)时,F(X)∈[F0,F0+σ);当F(X)∈[F0,F0+σ)时,X∈∪(0;α(ε)),且对∀X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≤0成立；

(ii) 当F0是F(X),X∈Ω的最大值时,对∀ε>0,存在σ=σ(ε)>0及函数β(s)∈K,使得当X∈∪(0;ε)时,F(X)∈(F0-σ,F0];当F(X)∈(F0-σ,F0]时,X∈∪(0;β(ε)),且对∀X∈Ω,t∈[0,+∞)有DF(X)·q(t,X)≥0成立.

证明只需证明当F0是F(X),X∈Ω的最大值时的情形即可,当F0是F(X),X∈Ω的最小值时的证明与之类似，故省略.

对∀ε>0,t0≥0,设X(t)是系统(5)经过(t0,X0)的解.由条件(ii)知DF(X(t))·q(t,X(t))≥0.对∀t≥t0,将上式两端分别在[t0,t]上积分,得

对上述的ε>0,t0≥0,取0<δF0-σ，故‖X(t)‖<β(ε),t≥t0,而β(s)∈K,从而系统(5)的零解是一致稳定的.

例1考虑如下的具扰动的二维微分系统：

(6)

参考文献：

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