构建数学思维模型 提高综合分析能力

夏金娟

【关键词】小学数学 数学思维 分析能力 教学片段

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）12A-

0074-02

2011年版的数学课程标准对小学高年级解决问题的目标是这样描述的：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决；能探索分析和解决问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性；经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程；能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。数学问题的解决，从根本上讲是把已学到的数学知识运用到新的情境中去，通过对已有知识的重新组合而生成新的解题策略和方法。由此可见，解决问题是发展学生创新意识和实践能力的重要途径，有利于强化学生对数学知识的掌握。

一、教学片段

（一）合作交流，思维训练

（出示：阅览室里，女同学占）

师：谁来说说这句话的意思？

生：把阅览室里的总人数看作整体“1”，平均分成4份，女同学占其中的一份。

师：你能联想到什么数学问题吗？

四人学习小组讨论后汇报。

生1：男同学占总人数的。

生2：女同学和男同学的比是：1∶3.

生3：女同学占男同学的；男同学是女同学的3倍。

……

（二）创设情境，交流提升

师：平时同学们都喜欢到学校阅览室看书，下面，我们就去学校阅览室里看看有什么数学问题。（课件出示情境图文：学校阅览室里看书的同学中，女同学占，30分钟后，有6位女同学进去看书，这时看书的同学中，女同学占。现在阅览室有多少名同学在看书？）

师：请同学们说说看这道题有几个数量信息。

生1：有四个信息，女同学占看书总人数的；半小时后；增加了6名女同学；女同学占看书总人数的。

生2：（抢答），30分钟这个信息对解题没有用。

师：你的观察真仔细！谁来说说你读完信息后想到了什么？下面请四人小组合作解答问题。

生：=40（人）

师：说说你的思路？

生：女同學原来占总数的，增加6人后，现在女同学占总数的，用女同学前后的数量差6人除以前后对应总人数的分率差就可以得到阅览室的总人数了。

师：谁有不同意见吗？

（学生沉默。教师知道结果是错误的，但没有直接点出学生的错误，而是组织学生进行检验，让学生自己去发现问题）

师：下面我们一起检验这个结果是否正确。现在有40人，没来6位女同学之前，阅览室原有几人？

生：40-6=34人。

师：原来女同学占，原来的女同学人数怎么算？

列式：34×

（学生很快发现：结果不是整数，开始怀疑列式是否正确）

师：我们通过检验发现原来女同学的人数不是整数，说明列式有问题，让我们反思一下这道题在哪个地方理解错了。

（组织四人学习小组讨论。通过合作交流，学生自己探索解决问题的方法）

师：你们发现症结在哪了吗？

（学生沉默）

师（点化）：同学们，你们想想看，原来女同学占和后来女同学占对应的单位“1”虽然都是阅览室里的总人数，但这个总人数变了没？

（这个抛砖引玉的点化提问，激活了学生的思维，学生的发言活跃起来了）

生1：变了，增加了6个女同学，总人数也增加了6人。

生2：总人数变了，和对应的单位“1”的数量就不相同了。

生3：这道题里，女同学增加了，造成总人数也增加了。

师（小结）：当单位“1”的数量发生变化时，单位“1”不相同的分率是不能直接相加减的，比如12的和20的，我们不能把直接加。但如果是20的和20的，就可以把直接加后再乘以20，因为和对应的单位“1”都是20。你们听明白了吗？

生：我明白了，单位“1”不相同的两个分率是不能直接相加减的，这道题把减是错的。

（学生明白了解题错误的原因，但不知道如何找到解题的方法，这时教师点化启发）

师：阅览室里有女同学、男同学，还有总人数，这三个量哪个是变量，哪个是不变的量呢？

生1：女同学变了，总人数也变了，但男同学的人数没有变。

生2：男同学的人数始终没有改变，我们可以把单位“1”转化成用男同学表示就可以解答了。

师：你看到了解决问题的关键了，那怎样把女同学转化成用男同学看作单位“1”来表示呢？

（学生的思维活跃起来了）

生1：从女同学占原来阅览室总人数的可以知道原来阅览室总人数有4份，女同学占1份，男同学占3份，那么，女同学占男同学的。

生2：女同学占现在阅览室人数的，现在的阅览室有5份，女同学占2份，男同学占3份，女同学占男同学的。

师：善于抓住不变量，把变量转化成用不变量的男同学做单位“1”是解决变量单位“1”的分数问题的关键。同学们明白这道题怎样解答了吗？

（学生列式）

原女同学占男同学的比为：=

现女同学占男同学的比为：=

男同学： =18（人）

现总人数：=30（人）

师：还有别的方法吗？

生：也可以通过总人数的变化来求解的。

（学生列式）

原总人数占男同学：=

现总人数占男同学：=

男同学：=18（人）

现总人数：18×=30（人）

师：下面我们对比一下这两种方法，方法一求现在的总人数用除法，方法二求现在的总人数用乘法，为什么呢？

生：方法一是通过“男同学占现在总人数的”来求总人数，这里的总人数是未知的，用除法算。方法二是通过“总人数占男同学的”来求总人数，这里的单位“1”是男同学，是已知的，所以用乘法算。

（通过对比，提高转化单位“1”思维的灵活性）

师：今天我们学会了抓住不变量，用算数法解决了分数问题，希望同学们今后做题能学会观察分析哪个是变量，哪个是不变量，学会转化单位“1”，把不变量看作单位“1”求解。

生：老师，能不能用方程解答？

（这时已经打下课铃了）

师：怎样用方程解答呢？请同学们回去探究一下，下一节课我们一起学习。

二、教学反思

（一）鼓励学生掌握多样化的解决问题策略，逐步完善数学模型

新数学课程标准要求积极鼓励学生体验“从实际背景中抽象出数学问题—构建数学模型—求解模型—解释、应用和拓展”，从而分析问题和解决问题。本节课首先让学生发现自己列式错误，从而进一步明确了这类数学问题的解答模型——单位“1”的数量发生变化时，要运用转化单位“1”的策略解决问题。解决问题的关键是要观察哪个是变量，哪个是不变量，把不变量看成单位“1”，才能求解。这里学生一般很难想到这样的转化，这就需要教师的点化。为突破难点，新课前教师让学生合作交流，对“阅览室里，女同学占”进行大胆联想，为转化思维奠定基础。在解决问题过程中，教师注意培养学生思维的多样性，即能通过女同学占男同学的分率求解，也可以通过全班同学占男同学的分率求解。最后还引导学生用方程的思维去求解，让学生課后探索用方程解的方法，激发学生的求知欲，完善这类数学问题的数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（二）教师要善于关注学生的学习状态和需求

一节课的流程，不可能都是按照教师的备课教案按部就班来完成，有时会出现一些意外的收获。这些收获有的来自师生的互动，有的来自学生间思维的碰撞，还有的是来自个别学生的“别出心裁”。因此，教师要善于从“关注知识”转向“关注学生”，学会由“给出知识”转向“引出知识”。在数学学习中，对于新知识，学生获得的经验往往是模糊的、零散的，这就要求教师帮助学生将学习活动过程中获得的经验系统化、清晰化、条理化。教师要学会对一些突发的事情随机应变，从纠正学生错误的数学思维中提升和完善学生数学建模的思维活动经验，从而不断提高学生的数学素养。比如，本节课中学生出现了列式上的错误，主要是学生对“女同学占”和“女同学占”这两句话看作相同的单位“1”，即以阅览室里的总人数看作单位“1”，这是学生思维的形象性与问题的抽象性发生了冲突而导致的错误，说明学生的思维在解决问题过程中出现了错误。在小学阶段，学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对一些深度的抽象思维的数学问题感到棘手是正常的，这就需要教师有意识地点拨和训练，引导学生反思。本节课中，教师通过点拨学生回顾分数的加减法的意义来反思错误的列式，从而提高了学生迁移知识的能力和推理能力。

（三）教师要善于让学生学会用学过的数学思维模型为新的思维模型服务

数学很讲究“温故而知新”的学习方法。新知识的出现，往往是以旧知识为基础的，新知识是旧知识的引申和发展，是旧知识的重新组织或转化。学习新知识前，复习相关的旧知识，不仅可以巩固并加深对新旧知识的掌握，还可以使知识系统化，有利于学生循序渐进地探索、推理、学习知识。学习新知识后要善于与旧知识联系，形成一个更广泛的知识体系。本节课中，当学生用两种方法解答后，教师启发学生对比这两种方法：方法一求现在的总人数用除法，方法二求现在的总人数用乘法，为什么呢？从而帮助学生既巩固“已知单位‘1的数量时用乘法，求单位‘1的数量用除法”的数学思维模式，又加深了“如果单位‘1发生变化时，需要转化单位‘1求解”的思维模式，提高学生数学综合分析能力。

纵观小学数学教育发展史，始终把解决问题作为贯穿数学课程的一条主线。因此，小学数学教学应该把培养学生解决问题的能力作为重要的教学任务。本节课的教学实践证明，以培养学生解决问题的能力为教学目标，教学成效是不错的。

（责编 黎雪娟）