对微积分中主要矛盾的认识

张荣芳

【摘要】微积分在高等数学教育中占有相当重要的地位，是高等数学理论分析的基本工具。在微积分中存在着很多辩证矛盾，通过对这些矛盾进行深入分析，可以让学生对微积分有更清楚、更深刻的认识，进而帮助学生解决数学难题。

【关键词】高等数学 微积分 矛盾 分析认识

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）12-0124-01

在高等数学中，每一块的知识都富含了辩证矛盾，微积分这一块的内容可以作为典型，在微积分中，从概念到运算、从理论到运用、从分析到结论都有矛盾的身影，在学习微积分时，如果能将这些矛盾研究透彻，那么在使用微积分解决数学问题时将会有事半功倍的效果。

一、微积分简介

1.1 微积分的提出

微积分最早可在追溯至公元前三世纪，在古希腊的阿基米德研究曲面面积、球体体积等问题中有现代微积分的雏形，在我国古代书籍《庄子》中也有相关问题的提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这两种问题分别代表了微积分中的积分学和极限。现代微积分真正被作为一门学科被提出来是在十七世纪，有牛顿和莱布尼茨从不同角度对微积分进行了研究，并运用之解决实际问题。

1.2微积分的主要内容

现代微积分是高等数学中及其重要的一项内容，也是高校数学科目必修的一项基础内容。微积分主要包括了三项内容：微分学、积分学和极限（积分学中又可分为定积分和不定积分两类）。这三项内容分别用于解决不同类型的问题，微分学主要解决了物体的速度、加速度和曲线上某一点的斜率等数学问题的计算；积分学则较多用来解决物体的表面积或体积等问题；极限一般在对抽象问题具体化分析中运用较多。

1.3 微积分的实际意义

在创立微积分学以前，很多计算问题无法得到合理解决，例如：在求解一个做变加速度的物体在某一时刻的速度问题，在一问题的难点在于，物体的加速度是变化的，导致物体的速度也在变化，这样就无法用总距离除以总时间得到平均速度这一方法进行分析运算了；同样在求曲线上某一点的斜率时，也遇到了困难，斜线上每一点的斜率与邻近点都是不同的，整体也都是变化的。而微积分学的创立，完美结局了这一类的计算问题。微积分不仅在数量理论上有较为广泛的应用，对解决实际生活中的问题也有较大帮助。

二、微积分中的主要矛盾

矛盾本身具有两面性，因此矛盾都是成对出现的，在微积分中同样如此，例如：微分和积分、有限和无限、离散和连续、近似和准确、直线和曲线等一些矛盾。对微积分中的这些个矛盾进行研究分析，对其有更为深刻的认识，在解决数学问题或实际生活问题将会更加得心应手。

2.1 微分和积分

微分和积分本身就是一对矛盾的关系，微分是将整体问题或原函数分解到微小化，对局部问题或导函数做具体研究，而积分则是恰恰相反，将局部问题或导函数完全反过来，组合寻找整体规律，解决整体问题或求解原函数，这两个求解过程是完全相反的，是一组矛盾关系的体现。积分和微分的矛盾关系还体现在运算公式上——积分表和微分表，在两组运算公式中，积分和微分公式一一对应，由原函数求导得出导函数，由导函数积分得出原函数。

2.2有限和无限

极限是微积分中的一个重要分支，有限和无限也是微积分中的一组矛盾，在有限和无限概念中并没有明确的界限，它们之间可以通过极限运算相互转化，通过有限求解无限，通过无限来认识有限，无限是绝对的，有限是相对，这是一对矛盾组合。在极限中，有一经典例题，将一米长的木棍，每次截去一半，经过多次截去后，问木棍还有多长，这既是将有限问题转化为无限问题，我们运用极限理论分析可以得知答案是（1/2），n为截去次数；同样的问题反过来看，（1/2）+（1/2）+（1/2）+…+（1/2）=？将无限个分数相加，最后结果得到的是一个整数，实现了无限转化为有限。

2.3离散和连续

连续和离散是微积分中的一对矛盾，连续通常需要运用离散，而离散通常会转化为连续。在微积分中，级数和积分是离散和连续的典型代表，连续积分一般要用级数求和去极限值得到，反过来，连续积分也可以用微分法求解级数和。典型的连续求和例题是求解曲边梯形面积，需要将连续曲线分割为离散项，然后求离散和，再求极限得到连续求和，得到曲边梯形面积。

2.4直线和曲线

直线和曲线的关系如同无限和有限的关系，在高等数学中，也同样有很多代表性的直线曲线例题。直线是相对的，曲线是绝对的，这两种线是一对矛盾关系，在求解曲线斜率时，时常将曲线无限切割成微小直线段，这一问题的分析，同时体现了直线和曲线、无限和有限的矛盾关系，将曲线转化成了直线、将有限转化成了无限来解决曲线的斜率问题。在求解元面积时，同样将一个元分解成无限多个扇形，将每一个扇形的底边曲线近似看作直线，如此将曲线问题变成直线问题，实现对复杂问题的简单化。在这一类的几何求解问题中，着重体现了直线和曲线的辩证关系，同过定积分将这种矛盾关系运用到实际问题分析中，可将无法真实测得的抽象数据，通过矛盾分析转化为具体数据，进而完成对问题的解答。

三、总结

综上所述，微积分中的矛盾包含有辨证关系，通过深入的研究，对微积分中的主要矛盾有了更深刻、更清楚的认识，将微积分的矛盾运用在一些数学问题分析研究中，可将复杂问题简单化，对学习高等数学具有极大的帮助。

参考文献：

[1]王娇，浅谈高数微积分思想及其在实践中的应用[J]《科技视界》2015（14）