扩展KP方程的周期波解以及可积性质*

2015-12-31 09:09
潍坊学院学报 2015年2期
关键词:波解孤子常数

高 静

(中国矿业大学,江苏 徐州 221116)

1 引言

利用双线性算子寻求非线性方程的双线性表示,Lax对和Bäcklund变换是孤立子理论的研究方向之一,日本数学家Hirota[1]开辟了这一先河,随后中国科学院的胡星表[2-3]等国内学者利用双线性化方程导出了许多非线性方程的双线性表示、Lax对、Bäcklund变换、无穷守恒律等系列问题。在1980年,Nakamura基于Hirota双线性方法提出了求解非线性方程的多周期波解的综合方法[4-5],这种方法的优点在于它只依赖Hirota双线性形式。可是,寻求一个非线性演化方程的双线性变换并非易事,需要作出恰当变换,寻求该变换具有很强的技巧性,为解决这一问题,Lambert等人[6-7]引进了Bell多项式方法,使得寻求非线性演化方程的双线性表示有了一定的规律。在此基础上,范恩贵[8-9]等学者将Bell多项式应用于变系数的非线性演化方程中,得到了变系数KdV 方程、KP方程等的可积性质。本文利用Riemann theta函数理论和Bell多项式有关理讨论扩展KP方程的可积性质。

为此,我们首先回顾一下Riemann theta函数和Bell多项式的基本理论。

2 Riemann theta函数与Bell多项式

定义1 Hirota双线性算子

其中X′=(x′1,x′2,…,x′N)。

性质1 Hirota双线性算子Dx1,Dx2,…DxN,Dt有如下性质

其中ξi=kix1+lix2+…+σixN+ωit+εi,i=1,2,ki,li,…,σi,ωi,εi是常数。此外,我们有

其中F(Dx1Dx2,…,DxN,Dt)是关于双线性算子Dx1,Dx2,…,DxN,Dt的多项式。这些性质在导出Hirota双线性形式以及构造非线性方程的周期波解方面具有重要作用。下面我们介绍Riemann theta函数以及它的周期性。

定义2 Riemann theta函数

其中,m∈Z,参数s,ε∈C,变量ξ∈C,τ>0是Riemann theta函数的周期矩阵。

定义3 设g(t)是复数域C 上周期函数,基本周期T1,T2,…,Tk∈C,如果T1,T2,…,Tk是线性依赖于整数Z 且存在Ck上的函数G(y1,y2,…,yk)满足

那么g(t)是复数域C 上的拟周期函数。

特别地,当k=2时,g(t)称为是双周期函数,当且仅当Tj=mjT 时,g(t)是关于周期T 的周期函数。

性质2 Riemann theta函数ϑ(ξ,τ)具有周期性

特别地,我们把向量l和iτ 称为是ϑ(ξ,τ)关于乘数l和exp(-2πiξ+πτ)的周期。

性质3 设f(ξ)是复数域C 上的亚纯函数

则有

也就是说f(ξ)是关于l和iτ 的周期函数。

其中,∑μ=0,1是关于μ=0,1的两种不同的变换。x,y,t的双线性公式由∂x,∂y,∂t代替。

一般地,关于算子Dx,Dt,Dy的多项式算子F(Dx,Dt,Dy)则有下面重要的公式

其中

由(11)和(12)式我们可以知道如果

的周期波解。

公式(13)为我们提供了求解非线性方程周期波解的独一无二的方法。只要求出方程的双线性形式,那么我们可以从公式(13)中直接获得它的周期波解。

定义4 设f=f(x1,x2,…,xn)是具有n个变量的C∞函数,则称

为多维Bell多项式。特别地,当f=f(x,t)时,由(15)可得

则这种只含有函数v和w 的Bell多项式称为双Bell多项式。由(17)式可得

二元Bell多项式与Hirota双线性D 算子之间有如下的关系

其中,n1+n+…+nl≥1。特别的,当f=g 时,由(19)式可得

由(20)式可得

根据双线性算子和Hopf-Cole变换v=lnΨ 之间的关系。特别地

下面,我们利用以上理论,讨论扩展KP 方程的周期波解以及可积性质,包括双线性表示、Lax 对、Bäcklund变换和无穷守恒律。

3 方程(1)的周期波解与可积性质

在方程(1)中,令u=q2x,积分两次可得

其中,c为积分常数,令

所以

令q=2lnf⇔u=q2x=2(lnf)2x,则方程(1)的双线性导数形式为

在求解孤子解时常数c可以为零,但在求周期波解时非零常数c具有重要作用,在应用时不可以省略。

当c=0时,方程(1)的单孤子解

其中,η=kx+ry+ [(k4+3y2+3k2)/k ]t+h,k,r,h 是常数。下面我们讨论(23)的周期性。函数f 选作Riemann theta函数,也就是说,

其中,变量ξ=αx+βy+ωt+σ。由性质3可得

即孤子解u是关于基本周期l和iτ 的周期函数。

引进如下的记号

把(28)带入(26),利用公式(13)和(30),可以得到如下的线性关系:

其中

由(31)式我们可以得到ω,c的精确解

因此,我们得到方程(1)的周期波解

其中,ϑ(ξ,τ)是由(4)式给出,且s=ε=0,参数ω,c由(33)式给出,其它的变量α,β,σ都是自由的。

下面我们讨论周期波一些特征以及渐进性质。周期波解(34)具有如下一些简单性质。

(1)关于变量ξ是一维的。

(2)关于变量ξ有两个基本周期l和iτ。

(3)速度参数ξ是由

给出。

(4)在一个周期中,只有一个波模式,可以视为是一个平行叠加重叠的孤子波。

现在,我们更深一层的讨论周期波解的渐进性质。即周期波解(34)和单孤子解(27)它们之间有如下的关系。

定理2 如果向量(ω,c)T是(31)式的一个解并且是(33)式的周期波解,令

其中k,γ,h是由(27)式给出,那么有如下的渐进关系,当ρ→0时,

这说明在一个很小振幅限制下,周期波解(34)趋近于单孤子解(27),即当ρ→0时

证明 我们把(31)式的系数展开则有

把(31)式的解写成如下形式

把(39)式和(40)式代入(31)式,根据第二个方程ρ的系数,令ρ→0,则我们可以立即得到如下的关系

有下面的解

结合(36)和(41)当ρ→0时

因此,我们可以得到如下结论,当ρ→0时

接下来,我们讨论当ρ→0时,周期波解(34)式的渐进性质。把Riemann theta函数ϑ(ξ,τ)展开,并利用(44)式的表达式,有如下结论,当ρ→0时

所以,我们有当ρ→0时,周期波解(34)趋近于孤子解(27)。

下面我们讨论方程(1)的可积性质:

其中

则有

故(47)式可以化为

(51)式两边对x 积分,并取积分常数为零可得

由(49)和(52)式可得方程(1)的Bäcklund变换,

设υ=lnψ,ω=υ+q 由(22)式可知

因此,由方程(49)和(52),我们可以得到方程(1)的Lax对

把(56)式代入(49)式,得到Riccati-type方程

把(56)式代入(52)式,得到divergence-type方程

并代入(57)式,我们得到In的递推关系式

把(59)代入(58)可得,

因此,我们得到方程(1)的无穷守恒律

其中

[1]Hirota R.The Direct Method in Soliton Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,2004.

[2]Hu X B,Clarkson P A.Rational solutions of a differential-difference KdV equation,the Toda equation and the discrete KdV equation[J].J Phys A:Math Gen,1995,28(17):5009-5016.

[3]Hu X B,Li C X,Nimmo J J C,Yu G F.An intergrable symmetric(2+1)-dimensiona-l Lotka-Volterra equation and a family of its solutions[J].J Phys A:Math Gen,2005,38(1):195-204.

[4]Nakamura A.A direct method of calculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equations(I):Exact two-periodic wave solution[J].Journal of the Physical Society of Japan,1979,47(5):1701-1705.

[5]Nakamura A.A direct method of calculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equations(Ⅱ):Exact one-periodic and two-periodic wave solution of the coupled bilinear equations[J].Journal of the Physical Society of Japan1980,48(4):1365-1370.

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[8]Fan E G.The integrability of nonisospectral and variable-coefficient KdV equation with binary Bell polynomials[J].Phys Lett A,2011,375:493-497.

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