有限维空间上的椭圆框架

陈茜茜，孟彬

(1．无锡市辅仁高级中学，江苏无锡 214000;2．南京航空航天大学数学系，江苏南京 210016)

0 引言

Hilbert空间中框架概念最早是Duffin和Schaeffer［1］在1952年提出，当时主要用来研究非调和Fourier分析．1986年，Daubechies，Grassmann［2］等把框架理论应用于小波分析的研究并取得了突破性的进展，使得框架理论受到广泛的关注，也吸引了众多学者投身这一领域的研究．Han，Larson［3］等把算子理论的方法应用到框架的研究上，得到了丰硕的成果，也形成了一个主要的研究方向．目前，框架不仅应用在小波分析中，在信息编码、量子计算等领域也有重要的应用价值．

在量子信息中，主要用到的是有限维空间上的框架，称之为有限维框架．在各类有限框架中，人们发现具有等范数的框架有重要的应用［4］．事实上，在数据包编码中，等范数的框架是在一个数据包丢失下最优的［5］．因此，许多学者重点研究了这一类框架．等范数框架相当于所有框架向量都在一个圆上，在本文中，将研究更广泛的一类框架——椭圆框架，即框架都在一个椭圆上．

1 预备知识

设H是一个有限维的Hilber空间．B(H)表示H上有界线性算子的全体．首先介绍一些关于框架的基本概念和基本性质．

定义1 设{xi}ki=1⊆H，若存在两个正数A，B＞0，使得

则称{xi}ki=1为H的框架，其中A，B分别称为框架下界，上界．

若A=B，则称{xi}ki=1为紧框架;若A=B=1，则称其为Parseval框架．

容易看出θ是单射，S是一个正的可逆线性算子．在解码过程中，需要用到对偶框架．

定义2 设{xi}ki=1与{yi}ki=1都是H的框架，若满足:

则称{xi}ki=1与{yi}ki=1互为对偶框架．

对于框架{xi}ki=1，其中一个特殊的对偶框架是{S－1xi}ki=1，称之为典则对偶．

一个椭圆就是单位圆在可逆线性算子作用下的像．令S1={x:x=1}，设T∈B(H)是一个可逆线性算子，єT:=T(S1)，称为椭圆表面．如果一个框架{xi}ki=1的所有框架向量xi都在同一个椭圆表面上，就称这个框架是椭圆框架．显然，{xi}ki=1是椭圆框架当且仅当{xi}ki=1是框架并且存在可逆线性算子V∈B(H)使得 V(xi)=1，i=1，2，…，k．K．Dekema［6］等人证明了椭圆紧框架的存在性，并利用投影算子刻画了椭圆框架．本文主要研究椭圆框架本身的一些性质，例如对偶，等价问题．

事实上，椭圆也可以由正可逆线性算子来决定．设T∈B(H)是可逆线性算子，由极分解定理，T=UT1，其中U是酉算子，T1是可逆正算子，显然єT=єT1．

对于标准椭圆上的紧框架，有下面的结论:

小李暗笑了几声，丁主任接住话：我的确有，而且营业部所有人里，就我和张大爷才有这仓库和大门的钥匙，所以我和张大爷好像给大家添麻烦了。

定理1 设H是n维Hilbert空间，{x1，x2，…，xk}是H中的以a为框架界的紧框架，且椭圆向量都在标准椭圆:a1y21+a2y22+… +any2n=1上，其中ai≥0，i=1，2，…，n．令r=a1+a2+… +an，则a=m r．

证明 令 xi=(ξ1i，ξ2i，…，ξni)T，i=1，2，…，k，则:

另一方面，由于{xi}ki=1是以a为界的紧框架，所以θ*θ=aI，其中θ是{xi}ki=1的分析算子．这样又有:

于是(a1+a2+… +an)a=k，从而得到:a=k r

2 主要结论

先考虑任给一个框架，是否都有椭圆Parseval框架．事实上，有下面的结果:

定理2 设{xi}ki=1是H的框架，设存在k－维Hibert空间K⊇H和K中的一组标准正交基{ei}ki=1，以及一个从K到H上的投影Q∈B(K)，使得Qei=xi(i=1，2，…，k)．若存在一个H上的可逆线性算子T使得 T－1PQ*ei=1，其中P是K到H上的正交投影，则{xi}ki=1在椭圆єT上有Parseval对偶框架．

证明 令yi=PQ*ei(i=1，2，…，k)，说明{yi}ki=1与{xi}ki=1是对偶的，事实上，∀x∈H，有:

另一方面，还要说明{yi}ki=1是H中的Parseval框架，事实上，对于任意x∈H有

这样，就证明了结论．

对于H的两个框架{xi}ki=1，{yi}ki=1，若存在可逆线性算子L，使得Lxi=yi，i=1，2，…，k，则称这两个框架是相似的．

定理3 设{xi}ki=1是椭圆框架，S是其框架算子，则{S－1xi}ki=1是唯一与{xi}ki=1对偶相似的椭圆框架．

证明 显然{S－1xi}ki=1是{xi}ki=1的对偶框架，且它也是椭圆框架并且与{xi}ki=1相似．

设{yi}ki=1是与{xi}ki=1对偶且相似的框架，则存在可逆线性算子L，使得yi=Lxi，i=1，2，…，k，令T=LS，则对任意x∈H有:

所以 T*=I，从而 L=S－1，所以 yi=S－1xi(i=1，2，…，k)．

定理4 设{xi}ki=1，{yi}ki=1是H上的两个椭圆框架，且存在H上的同一个可逆线性算子T，使得xi=Tєi，yi=Tηi，其中: єi=1 ， ηi=1，i=1，2，…，k．若{єi}ki=1与{ηi}ki=1是相互正交的框架，且 єi+ηi对任意i=1，2，…，k是正常数．则{xi+yi}ki=1也是椭圆框架．

证明 设{xi}ki=1的上下框架界分别为B1，A1，其框架算子为S1．设{yi}ki=1的上下框架界分别为B2，A2，其框架算子为S2．则对任意x∈H，有:

所以{xi+yi}ki=1是框架，其上下框架分别是B1+B2，A1+A2．另一方面，xi+yi=T(єi+ηi)，而 єi+ηi，i=1，2，…，k是正常数，因此{xi+yi}ki=1是椭圆框架．