变指标Herz型Hardy空间上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博师范高等专科学校 数理科学系，山东 淄博 255130)



变指标Herz型Hardy空间上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博师范高等专科学校 数理科学系，山东 淄博 255130)

应用变指标Herz型Hardy空间上的原子分解定理，证明了Littlewood-Paley算子在变指标Herz型Hardy空间上的有界性。

Littlewood-Paley算子；变指标；Herz型Hardy空间；有界性

在弹性力学、流体力学及其所涉及的偏微分方程研究中，很多情况下需要处理某些具有非标准局部增长条件的问题，其数学表现形式为所谓具有变指标的函数空间问题.随着1991年Kováĉik和Rákosník的文章[1]出现后，近些年来，变指标函数空间理论得到了迅速的发展，具有可积性指标的Lebesgue空间和Sobolev空间被广泛研究[2].之后人们相继建立了变指标Bessel位势空间(即广义变指标Sobolev空间)[3]，变指标Triebel-Lizorkin空间[4]，变指标Herz空间[5]，变指标Hardy空间[6]和变指标Herz型Hardy空间[7]，对于调和分析中的重要算子及其交换子在上述空间中的研究也得到了丰富的成果.另外，关于这些空间的许多应用也相继被人们发现[8].本文应用变指标Herz型Hardy空间上的原子分解定理，证明了Littlewood-Paley算子在此空间中的有界性.

一、预备知识和记号

赋予如下Luxemburg-Nakano范数

‖f‖Lp(•)(Ω)=

则Lp(•)(Ω)是Banach空间, 称之为变指标Lebesgue空间, 或者可以简单地看作是变指标Lp空间, 因为它们推广了标准的Lp空间: 如果p(x)=p是常数, 那么Lp(•)(Ω)与Lp(Ω)是等距同构的. 变指标Lp空间是Musielak-Orlicz空间的一种特殊情形.

p-=essinf{p(x):x∈Ω}>1,p+=esssup{p(x):x∈Ω}<.记p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令Β(Ω)为p(·)∈Ρ(Ω)并使得Hardy-Littlewood极大算子M满足Lp(•)(Ω)有界的指数函数p(·)的集合.

定义 1.1[5]令α∈, 0

在此基础上我们给出变指标Herz型Hardy空间的定义及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空间, 它是由无穷可微且在无穷远处迅速递减的函数所构成的,S'(n)表示S(n)的对偶空间. 令GNf(x)为f(x)的grand极大函数, 其定义为

其中ΑN=

定义 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定义 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非负整数s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n)

(1)' 对某个r≥1有suppa⊂B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下确界是对f的所有上述分解而取的.

其中下确界是对f的所有上述分解而取的.

在主要结论的证明中，我们还需要下面的几个引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 则fg在n上可积并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被称为广义Hölder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 则存在正常数C使得对所有n中的球B和所有可测子集S⊂B, 都有

其中δ1,δ2是常数且满足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1, δ2都同引理1.3中的一样).

引理 1.4[5]设p(·)∈Β(n). 则存在常数C>0使得对所有n中的球B, 都有

二、主要结论及证明

给定ε>0和函数ψ满足下面三个条件：

定义Littlewood-Paley算子为

近来，Cruz-Uribe等人[9]给出了Littlewood-Paley算子的Lp(•)(n)有界性，下面我们将其推广到变指标Herz型Hardy空间中.

定理 令nδ2α

0

因此, 我们得

=:I1+I2.

(1)

我们首先估计I1. 由aj的消失矩条件和广义Hölder不等式, 我们得

所以由引理1.2-1.4, 我们有

‖Sψ(aj)χk‖Lq(·)(n)C2jε-k(n+ε)

‖aj‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq'(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

现在我们来估计I2. 类似地, 我们考虑p的两种情形. 当0

I2=

(5)

I2C

(6)

结合(1)和(3)-(6), 我们有

因此, 定理得证.

[1]Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 41(4): 592-618.

[2]Diening L, Harjulehto P, Hästö P, et al. Lebesgue and Sobolev spaces with variable Exponents[M]. Heidelberg: Springer, Lecture Notes in Math, vol. 2017, 2011.

[3]Diening L, Riesz potential and Sobolev embeddings of generalized Lebesgue and Soblev spacesLp(•)and Wk, p(•)[J]. Math Nachr, 2004, 268(1), 31-43.

[4] Xu J S, Variable Besov and Triebel-Lizorkin spaces[J]. Ann Acad Sci Fenn Math, 2008, 33, 511-522.

[5]Izuki M, Boundedness of sublinear operators on Herz spaces with variable exponent and application to wavelet characterization[J]. Anal Math, 2010, 36(1), 33-50.

[6] Nakai E, Sawano Y, Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces[J]. J Funct Anal, 2012, 262(9), 3665-3748.

[7]Wang H B, Liu Z Z, The Herz-type Hardy spaces with variable exponent and their applications[J]. Taiwanese J Math, 2012, 16(4), 1363-1389.

[8] Harjulehto P, Hästö P, LêV, et al. Overview of differential equations with non-standard growth[J]. Nonlinear Anal, 2010, 72(12), 4551-4574.

[9] Cruz-Uribe D, SFO, Fiorenza A, Martell J M, et al. The boundedness of classical operators on variable Lpspaces[J]. Ann Acad Sci Fen Math, 2006, 31, 239-264.

(责任编辑：胡安波)

By the atomic decomposition theorem,we prove that Littlewood-paley operators are bawded on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent.

Littlewood-Paley operator; variable exponent; Herz-type Hardy space; boundedness

2014-12-04

王洪彬(1981-)男，山东淄博人，博士，淄博师专数理系教师，主要从事调和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，山东潍坊人，硕士，淄博师专招生就业处教师，主要从事英语教育研究。

注：本文为淄博师范高等专科学校课题“变指标Herz型空间中算子的有界性”[13xk023]的阶段性研究成果。

O174.2

A

(2015)02-0071-04