长方体锦囊中出妙招

韩天禧

处处可见、形体简单、性质丰富的长方体，与一般的一些几何体有着千丝万缕的必然联系，若能找到、找准这些几何体与长方体的契合点，用对应的长方体辅助证明几何体点、线、面的相互间位置关系，和求解相关量的大小，能化难为易，变陌生为熟悉，方法简单、过程快捷.毫不夸张地说，只要把几何体放到长方体这个锦囊中，有出奇的效果，解题也就成功了一半.

一、长方体是球心的定位仪

解球内接多面体时的难点在于球心定位.若多面体各顶点都是某一长方体的部分顶点，由于长方体的几何中心到各顶点距离相等，这样，球内接多面体的球心必在长方体对角线的中点上.

例1 已知A，B，C，D各点都在半径为 29 2 的同一球面上，且AC=BD= 13 ，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥的体积为 .

图1

解 由于三棱锥D-ABC四个面都是全等三角形，把这个三角形的三边长视为长方体三个面对角线长，这样就将特殊的三棱锥补形成如图1所示的长方体，

设长方体的长、宽、高分 别是a，b，c，则有 a2+b2+c2=29a2+b2=13b2+c2=25

解得a=2，b=3，c=4，由此三棱锥D-ABC的体积为V=abc-4· 1 3 · 1 2 abc= 1 3 abc=8.

点评 把这个三棱锥镶嵌在长方体中，两几何体的特征量有了完美的对应关系，三棱锥的所有棱均为长方体各面对角线，三棱锥外接球的直径就是体对角线的长，陌生又抽象的几何条件，立刻就形象直观化了.

二、长方体是线与面的关系网

若把几何体镶嵌在或割补成一个长方体，借助长方体丰富的几何性质，该几何体各量间的相互关系不仅形象直观，而且亲切熟悉、转化自如，尤其是建立空间直角坐标系后写点坐标，更是快捷又准确.

图2

例2 在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.

（Ⅰ）证明：SE=

2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

解 由于共点的三线段DC、AD、SD两两互相垂直，作出

棱长为2的正方体FMCD-F1M1C1S，将四棱锥S-ABCD镶嵌在

如图2所示的正方体中，由条件不难确定出，A为DF的中点，B为正

方形FMCD对角线交点，平面BCE被平面SFC替代，平面ADE

被平面FDE替代.

（Ⅰ）由SD⊥底面ABCDSD⊥FC，又BD⊥FCFC⊥平面SBD，DE平面SBDFC⊥DE；过B作BK⊥EC，垂足为K，又平面EDC⊥平面SFC，平面EDC∩平面SFC=ECBK⊥平面EDCBK⊥ED.由此可得ED⊥平面SFC，又DS=DF=DC =2，SF=FC=CS=2 2 ，即三棱锥D-FCS为正三棱锥，E为正△FCS的几何中心，也是重心，又由于SB是正△FCS的一边FC的中线，从而证得SE=2EB.

由（Ⅰ）ED⊥平面SFC，平面FDE∩平面SFC=FE，平面DEC∩平面SFC=EC，得∠FEC为二面角A-DE-C的平面角.由于E为正△FSC的重心，∠EFC=∠ECF=30°得∠FEC=120°，故二面角A-DE-C的大小为120°.

用空间直角坐标方法更方便省事，解法略.

评注 将四棱锥镶嵌在正方体中，平面延展了，棱垂面也浮于水面了，点易于定位了，找出二面角的平面角真可谓是水到渠成了.

三、长方体是三视图的载体

在做几何体的三视图时，若将几何体镶嵌在长方体中，不仅三个正立面是现实直观的，再无需凭空想象，而且做投影时前后、上下、左右处处都有可供参考的线面垂直与线线平行关系，这个长方体的其中三个面就是最合理的投影面.

例3 某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）.

A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5

图3

解 不妨构造一个以 7 为对角线的长方体如图3，使D1B= 7 ，D1C= 6 ，a=BC1，b=BD，设长方体的长、宽、

高分别为m，k，n，则有m2+n2+k2=7，在Rt△D1DC中，m2+n2=6，由此解得k=1，又在Rt△BCC1中，得a= n2+1 ，在Rt△DAB中，b= m2+1 ，由此得（a+b）2=n2+1+m2+1+2 （n2+1）（m2+1） =8+2 m2n2+7 ，又2mn≤n2+m2=6，即mn≤3，由此得（a+b）2≤8+2 9+7 =16，即a+b≤4，当且仅当m=n又m2+n2=6，即m=n= 3 时等号成立.故选（C）.

评注 把几何体的这条棱视为长方体一条对角线，它对应的三个视图就是这个长方体的三个面对角线，在找体与面对角线间关系时，还需要设出长方体的长、宽、高作媒介.这题若脱离具体的长方体模型是难以入手的.

G.波利亚在《怎样解题》中说：“画一个假设图形，假设它的各个部分都满足题目条件，也许是迈出解题的重要一步 ”.把几何体放到长方体中去证、去解，也正是这种解题的思维意识引领的结果.

巩固练习

1.已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，AC=2 13 ，AD=8，则B，C两点间的球面距离是 .

2.将正三棱柱截去三个角（A，B，C分别是△GHI三边的中点）得几何体如图4所示，则该几何体的侧视图是 （ ）.

图4

图5

3.如图5，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= 2 ，CE=EF=1.

（1）求证：AF∥平面BDE；

（2）求证：CF⊥平面BDE；

（3）求二面角A-BE-D的大小.

参考答案：

1. 4π 3 2.A 3.（3） π 6