解析几何中忽略隐含条件错因分析

陈干

所谓隐含条件，是指题中若暗若明、含而不露的条件.一般来说，它们常巧妙地隐蔽在题设或结论的背后，不易为人们所觉察.在数学解题中，隐含条件具有干扰性、迷惑性，常给解题带来消极因素.若能注意到题中隐含条件，往往会使解题结果更具有完整性、准确性.下面就解析几何中常见的忽略隐含条件导致的错误进行分析，并给出对策.

1.忽略曲线方程点的坐标取值范围限制

例1 若点P（x，y），满足3x2+2y2=6x，试求x2+y2的取值范围.

错解 由已知得y2= 1 2 （-3x2+6x）

∴x2+y2=- 1 2 （x-3）2+ 9 2

故当x=3时，x2+y2的最大值为 9 2 ，即x2+y2≤ 9 2 .

评注 本题解法忽略了点P（x，y）在曲线3x2+2y2=6x上，则点的坐标取值范围受到限制.事实上，由已知2y2=-3x2+6x≥0，得到题设隐含条件为0≤x≤2.故当0≤x≤2时，x2+y2应在当x=2时，取得最大值为4，当x=0时，取得最小值为0.因此0≤x2+y2≤4.

在圆锥曲线方程中，曲线方程点的坐标取值范围受到限制.由此题发现，在研究圆锥曲线方程最值问题时，应充分注意到对自变量的取值范围的研究，否则，将会发生错误.

2.忽略直线的斜率不存在

例2 已知双曲线（x-1）2-y2=1和圆x2+y2=1，直线l同时满足下列两个条件：

（1）与双曲线交于不同两点；

（2）与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得的弦的中点.求直线l的方程.

错解 设直线l的方程为y=kx+b

由直线l与圆相切得b2=1+k2 ①

将y=kx+b代入双曲线方程得

（1-k2）x2-2（kb+1）x-b2=0

当k≠±1时，有Δ>0，这样直线与双曲线有两个交点，设其为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为C（x0，y0），则x0= x1+x2 2 = kb+1 1-k2 ，y0=kx0+b= k+b 1-k2 .

又C为圆的切点，从而（ kb+1 1-k2 ）2+（ k+b 1-k2 ）2=1 ②

由①、②得

k= 3 3 ，b=- 2 3 3 或k=- 3 3 ，b= 2 3 3 .

所以，直线方程为：

y= 3 3 x- 2 3 3 或y=- 3 3 x+ 2 3 3 .

评注 设直线为y=kx+b隐含了斜率k存在，故应再讨论若k不存在时的情况.当斜率k不存在时，即直线l垂直于x轴时，此时，直线方程为：x=-1，显然x=-1符合条件.

事实上，直线y=kx+b成立的条件是斜率k存在.若解题中，用到直线的斜截式时，往往应考虑斜率k不存在时的情形，否则，经常会产生漏解.

3.忽略直线截距式方程中截距等于零

例3 已知圆C：（x-2）2+y2=3，直线l与圆C相切并且在两条坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

错解 设直线l在两条坐标轴上的截距分别为a、b，圆心C（2，0），半径r= 3 ，依题意知a=b，故设直线l的方程为x+y=a.

∵直线l与圆C相切，∴ |2-a| 2 = 3 ，∴a=2+ 6 或a=2- 6 .

综上，直线l的方程为x+y=2+ 6 或x+y=2- 6 .

评注 直线截距式方程成立的条件是截距存在且不等于0.此解法忽略了对a=b=0隐含条件的研究.事实上，当a=b=0时，设直线l的方程为y=kx.

∵直线l与圆C相切，∴ |2k| k2+1 = 3 ，解得k= 3 或k=- 3 .

∴直线l的方程为y= 3 x或y=- 3 x，因此，满足题意的方程为x+y=2+ 6 或x+y=2- 6 或y= 3 x或y=- 3 x.

事实上，在研究直线截距式方程时，应注意到截距是否等于0.若不注意到这一问题，可能漏解.

4.忽略直线和圆锥曲线相交的条件

例4 给定双曲线x2- y2 2 =1，过点B（1，1）能否做直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由.

错解 设所求的直线为y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.

代入到2x2-y2-2=0中，得

（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0

设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则x1、x2是方程的两根，故2-k2≠0时， x1+x2 2 = k（1-k） 2-k2 =1，解得k=2.故存在直线y-1=2（x-1），即y=2x-1.

评注 此解法忽略了两个隐含条件的研究，其一，设直线为y-1=k（x-1），隐含了斜率k存在，故应再讨论若k不存在时的情况，当k不存在时显然不满足条件；其二，直线与双曲线x2- y2 2 =1交于两点Q1、Q2时，必满足Δ>0，但当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）<0，故k不存在.

因此，正确答案应是：满足题意的直线不存在.

5.忽略曲线和曲线相交的条件

例5 已知圆（x-2）2+y2=1与抛物线y2=2px（p>0）有公共点，求p的取值范围.

错解 由 （x-2）2+y2=1y2=2px 得x2+（2p-4）x+3=0 ①

圆（x-2）2+y2=1与抛物线y2=2px（p>0）有公共点，方程①应存在实数根，由此得Δ≥0，即Δ=（2p-4）2-12≥0，又考虑到p>0，解得0

评注 上述解答从推理过程看，好象步步有依据，不存在什么问题.实际上，圆（x-2）2+y2=1与抛物线y2=2px（p>0）当1≤x≤3时，有公共点存在.这是因为圆和抛物线的公共点应在圆（x-2）2+y2=1上，公共点的横坐标应满足（x-2）2≤1，即1≤x≤3，这个隐蔽条件对p的取值范围有影响.正确的解法应如下：

设f（x）=x2+（2p-4）x+3，由 p>0Δ=（2p-4）2-12≥01≤ 4-2p 2 ≤3f（1）≥0f（3）≥0

解得0

6.忽略图形位置特征

例6 △ABC中，固定底边BC，移动顶点A，设|BC|=a，当sinC-sinB= 1 2 sinA时，求点A的轨迹方程.

错解 以BC所在直线为x轴，BC中点为原点O，建立直角坐标系.

则B（- a 2 ，0），C（ a 2 ，0），设A（x，y），∵sinC-sinB= 1 2 sinA，由正弦定理，得|AB|-|AC|= 1 2 a（定值）.

即点A的轨迹是以B、C为焦点，且焦距为a，实轴长为 a 2 ，从而虚轴长为 3 2 a的双曲线.

故点A的轨迹方程为 x2 （ a 4 ）2 - y2 （ 3 4 a）2 =1.

评注 由|AB|-|AC|= 1 2 a（定值）就说明 点A的轨迹是以B、C为焦点，且焦距为a，实轴长为 a 2 ，从而虚轴长为 3 2 a的双曲线，这是错误的.应该说，点A的轨迹是双曲线的右支，因此，应加上条件x≥ a 4 .又考虑到点A、B、C不能共线，否则，不能构成三角形，故点A不能是（ a 4 ，0），即x≠ a 4 .因此，正确的答案应是点A的轨迹方程为 x2 （ a 4 ）2 - y2 （ 3 4 a）2 =1（x> a 4 ）.

事实上，在求轨迹问题时，应充分注意到图形的位置特征，注意到求轨迹的纯粹性，去掉不满足题意的点，否则，会产生多解.

7.忽略恒等变形的等价性

例7 已知双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0），

离心率e= 2 3 3 ，过A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为 3 2 ，求：

（1）双曲线方程；

（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同两点C，D，且C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围.

错解 （1）易求双曲线方程为 x2 3 - y2 1 =1.

（2）将y=kx+m代入 x2 3 - y2 1 =1.

得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0.

设C（x1，y1），D（x2，y2）则x1，x2是方程的两根，

∴x1+x2= 6km 1-3k2 过A做AE⊥CD于E，依题意C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上，∴E为CD中点，即为直线CD与直线AE的交点.

由 y=kx+my+1=- 1 k x 解得x=- （m+1）k k2+1 ②

∴- （m+1）k k2+1 = 3km 1-3k2 ，1-3k2=-4m ③

又Δ=（6km）2+4（1-3k2）（3m2+3）>0，

即12m2+12（-4m）>0，

∴m>4或m<0.

评注 事实上，由1-3k2=-4m.即3k2=4m+1可知4m+1>0.

由此可知，本题解法忽略了4m+1>0这一隐含条件，而这一隐含条件是隐蔽在解题过程中，往往被忽视.因此，在解题过程中应注意到变形过程必须是恒等变形，即要注意到变量的取值范围的限制.

本题正确的答案应是m>4或- 1 4