从高考题看平面向量数量积的考察类型及求解之道

王玉清

平面向量的数量积是平面向量的重要内容，教学大纲要求“掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.”在江苏高考考试说明中也是C级要求，与三角函数、解析几何、数列、平面几何等紧密相连.一般难度比较大.纵观近几年的高考试题，主要有以下几种类型和求解方法.

一、简单的数量积问题定义求解

平面向量的数量积的定义是：已知两个非零向量 a与b 它们的夹角为θ，则数量积为 |a|·|b| cosθ.利用数量积的定义找向量模和夹角，此法称为定义法.

例1 （2011年江苏）已知 e1，e2 是夹角为 2 3 π的两个单位向量， a=e1-2e2，b= k e 1+ e 2，若 a·b =0，则实数k的值为 .

解析 ∵ e 1· e 2=| e 1|·| e 2|cos 2 3 π=- 1 2 .

∴ a · b =（ e 1-2 e 2）·（k e 1+ e 2）=k e 21+（1-2k） e 1· e 2-2 e 22=2k- 5 2 =0即k= 5 4 .

评注 本题主要考查向量的数量积兼顾向量数量积的运算律.其实利用定义求向量的数量积关键是求出两个向量的模及其夹角，这里面两个向量的夹角容易弄错，切记是通过平移使两个向量共起点时所形成的角是两个向量的夹角.

二、几何图形中的数量积问题求解

几何图形中的数量积求解问题一般有三个方向可考虑：一是利用平面向量基本定理找到一组合适的基底将某个向量进行线性转化后再求解，此法称为基底法；二是利用坐标计算，此法称为坐标法.三是利用平面向量数量积的几何意义，直接用投影的知识解题，或者利用几何图形性质解题，称为几何法.

1.基底法

基底法，即合理选择一组基底（一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量），将所求向量均用

这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算.

图1

例2 （2014年江苏）如图1，在平行四边形ABCD中，已知，AB=8，AD=5，CP =3PD ，AP ·BP =2，则AB ·AD 的值是 .

解 AP ·BP =（AD +DP ）·（BC +CP ）

=（AD + 1 4 AB ）·（AD - 3 4 AB ）

=AD 2- 1 2 AB ·AD - 3 16 AB 2

=13- 1 2 AB ·AD =2，则AB ·AD =22.

评注 平面向量的基本定理是重要内容.借助基底，通过有效转化，使运算量有所降低就能有效解决问题，这是解决此类问题的通性通法.但是选择合适基底是一个重要环节，指导学生尽可能多的选择和模、夹角联系更紧密的向量.

2.坐标法

坐标法，即建立合理坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决.如下面的例题.

图2

例3 （2012年江苏）如图2，在矩形ABCD中，AB= 2 ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB ·AF = 2 ，则AE ·BF 的值是 .

解析 以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，AD边所在直线为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（ 2 ，0），C（ 2 ，2），D（0，2）， E（ 2 ，1），设F（x，2），

∴AB =（ 2 ，0），AF =（x，2），

∴AB ·AF =（ 2 ，0）·（x，2）= 2 x= 2

所以x=1，AF =（1，2），AE ·BF =（ 2 ，1）·（1- 2 ，2）= 2 .

评注 当两个向量的模或夹角不好求时，虽然题目中没有坐标系，但可以建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，成功将几何问题变成代数问题.

3.几何法

利用数量积的几何意义（向量的数量积等于一个向量在另一个向量上的投影和该向量的模的乘积）解题.如上例3也可以利用几何法进行处理：

解析 由AB ·AF = 2 ，得|AB |·|AF |·cos∠FAB= 2 ，由投影的定义，得

|AF|·cos∠FAB=DF.

∵AB= 2 ，

∴DF=1，∴CF= 2 -1.

记AE 和BF 之间的夹角为θ，∠AEB=α，∠FBC=β，则θ=α+β.

又∵BC=2，点E为BC的中点，∴BE=1.

∴AE ·BF =|AE |·|BF |·cosθ

=|AE |·|BF |·cos（α+β）

=|AE |·|BF |（cosαcosβ-sinαsinβ）

=BE·BC-AB·CF

=1×2- 2 （ 2 -1）= 2 .

评注 本题图形中有直角可以建立直角坐标系，求出各点坐标后求解.用坐标法求向量的数量积，也可以用线性表示法，但相对来说都比较复杂，若用几何法就非常简单.

三、隐含数量积的问题处理

1.“模”的问题

“模”的问题看起来是长度问题，但往往可以利用 a =| a |2被转化成数量积问题解决.

例4 （2008年江苏） a ， b 的夹角为120°，| a |=1，| b |=3，则|5 a - b |= .

解析 本小题考查向量的线性运算.|5 a - b |2=（5 a - b ）2=25 a 2-10 a · b+b 2=25×12-10×1×3×（- 1 2 ）+32=49，故|5 a - b |=7.

2.“垂直关系”的数量积问题

“垂直”问题通常可以借助对应向量的数量积为零转化，有时在解析几何中也能见到此法.

例5 （2013年江苏）已知 a =（cosα，sinα）， b =（cosβ，sinβ），0<β<α<π.若| a - b |= 2 ，求证： a ⊥ b

证明 a - b =（cosα-cosβ，sinα-sinβ），则| a - b |2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2（cosα·cosβ+sinα·sinβ）=2，

即cosα·cosβ+sinα·sinβ=0，即 a · b =0，

则 a ⊥ b .

以上是结合历年考查平面向量的数量积的高考题进行的分类，希望能帮助学生在遇到具体问题时，找到合理、恰当的方法，正确、快速地求解.方便学生理解掌握平面向量数量积的知识，从而提高学生的数学应变能力.