数学解题中谨防题目的“误导”

管立芬

数学题目对解题思路的“误导”一般有四种情况：

一、题型的“误导”

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BA1与对角面BB1D1D所成的角为（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

分析 这道题经常出现在各种资料中，而且某市还将它作为一道高中毕业会考题.给出的标准答案是A，许多考生也选A，实际上这是一道错题，角不确定，没有答案.为什么命题人和不少考生没有发现问题都选A呢？这就是“选择题”这一题型的“误导”.平时学习中得到经验：选择题可以通过取特例找到正确选项.由于正方体是长方体的特例，故此题把长方体看成正方体也应成立，从而选得A.

由此也说明，选择题是可以用特例排除选择支，但一定要注意，特例不成立时一定是错误的，成立时却不一定正确.

二、图形的“误导”

例2 如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是 .

分析 由于求点到平面的距离一般有两种方法，一是直接做出点到面的垂线，再构造三角形求垂线段的长；二是利用棱锥体积变化来求解.此题图是直三棱柱，许多学生想到用方法二：设点A到平面A1BC的距离是h，即三棱锥A-A1BC的高为h，由VA-A1BC=VA1-ABC，即 1 3 S△A1BC·h= 1 3 S△ABC·AA1，求h.

设BC=b，则S△A1BC= 1 2 BC·A1C= 2 2 ab，

S△ABC= 1 2 ab，∴h= 2 2 a.

做完后发现结果与BC长无关，且有一定的计算量，可能这不是最佳方法.确实，从以上解法也看出，过A做AH⊥A1C于H，∵A1A⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥面A1C，∴面A1BC⊥面A1C，∴AH⊥面A1BC，故AH即A到面A1BC的距离.

在Rt△A1AC中，AH= AC·A1A A1C = a2 2 a = 2 2 a.

出现以上“小题大作”的原因，一是解题心理作怪，总认为间接法，有技巧性的思维方法总是先进些，快捷些；二是图的“误导”，“误导”我们的思路进入第二种方法的樊篱.

图1 图2

例3 某汽车运输公司，购买一批毫华大客车投入客运.据市场分析，每辆客车营运的总利润y（十万元）与营运年数x（x∈ N ）的二次函数关系如图2所示，据此分析可判断，欲使每辆客车其营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运的年数是（ ）.

A.4 B.5 C.6 D.7

分析 不少学生受图2的“误导”，图2是一个抛物线，有最大值，而题目问的也是最大值，故选C.

事实上C是错误的.图2中的最大值和题目中问的最大值是两个截然不同的值.从图2可得函数关系式，设y=a（x-6）2+11（a<0）.将x=4代入得7=a（4-6）2+11，求得a=-1.

故y=-x2+12x-25，从而年平均利润

W= y x =-x- 25 x +12≤-10+12=2.

即年平均利润的最大值为20万元.

此时x= 25 x ，x=5，故选B.

对有图形的问题，一定要读懂题意和图意，充分利用图形所给的信息来解题，不要被图形所“误导”.同时也告诉我们在解有关图形问题时，没有给出图形的话，一定要先正确画好图形，画出一个直观的图形等于解决了问题的一半，若图形画得不正确，或不直观，则不仅难以读懂题意，而且还容易被错图误导思路.

三、设问的“误导”

例4

图3

如图3，已知BB1、CC1是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等且平行的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60°，线段BB1的端点B1在平面ABC上的射影M恰为BC的中点.已知BC=2 cm，∠ACB=90°.求异面直线AB1与BC1所成的角.

分析 许多学生一看到求异面直线间的夹角，就想到平移法.将BC1平移，使B落在B1？落在A？或平移AB1，使得A落在B？落在C1？都难以得到一个很直观易懂的图形，更难以构造出一个可解的三角形.于是望而却步，难以求解.

事实上由B1M⊥面ABC，得∠B1BC=60°，∴BC=BB1，故四边形BB1C1C为菱形，

BC1⊥B1C，又AC⊥BC，B1M⊥AC，所以AC⊥面BB1C1C，从而AC⊥BC1，BC1⊥面AB1C，BC1⊥AB1.故异面直线AB1与BC1所成的角为90°.

显然这是一个借助线面垂直证明线线垂直，以求得两异面直线之间的夹角的问题. 为什么会出现前面的思维壁垒呢？一是由于头脑中思维定势的影响，求异面直线的夹角就只想到平移→构造三角形→解三角形这一常规方法；二是设问的“误导”， 若此问改为“求证BC1⊥AB1”或“证明异面直线AB1与BC1所成的角为90°”就可能不会出现思维壁垒了.

例5 已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈ R ）.

函数f（x）的图象关于原点中心对称的充要条件是什么？证明你的结论.

分析 首先想到该题是求中心对称的问题.设（x0，y0）是f（x）图象上任一点，即y0=log2（1+x0）+alog2（1-x0），若图象关于原点对称，即点（-x0，-y0）也在图象上，也就是-y0=log2（1-x0）+alog2（1+x0），∴log2（1+x0）+alog2（1-x0）=-log2（1-x0）-alog2（1+x0），∴（a+1）[log2（1+x0）+log2（1-x0）]=0.

由x0的任意性（x0∈（-1，1））得a+1=0，∴a=-1.

再证明f（x）=log2（1+x）-log2（1-x）的图象关于原点对称.

事实上，f（x）的图象关于原点中心对称的充要条件是f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）.

故只要令f（-x）=-f（x），求得a=-1.

出现以上“繁解”的原因是由于概念不清，不会等价转化.从而被设问“误导”所致.

四、条件的“误导”

例6 若实数m，n，x，y满足x2+y2=a，m2+n2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ ）.

A. ab B. a+b 2 C. a2+b2 2 D. ab a+b

分析 由x2，y2，m2，n2，mx，ny，就想到均值不等式：x2+m2≥2mx，y2+n2≥2ny，相加得a+b≥2（mx+ny）.∴mx+ny≤ a+b 2 .故选B.

事实上以上解法是错误的，这个最大值 a+b 2 取不到，因为若要取到必须前两个不等式都取等号，即m=x，n=y，这样就有a=b.与已知矛盾，出现这一错误解法是由于已知条件与学过的知识相类似，从而“误导”出现的.

此题可用三角代换来解，有兴趣的可以试一试.

例7 首项是 1 25 ，从第10项开始，每一项都比1大，则该等差数列的公差的取值范围是 .

分析 由等差数列的通项公式an= 1 25 +（n-1）d，得a10= 1 25 +9d>1.

解得d> 8 75 .许多学生做到这里就完成了，填上d> 8 75 万事大吉.

其实这个结论只对了一半，题目说“从第10项开始，每一项都比1大”，言下之意还指出前9项都不超过1，即 1 25 +（n-1）d≤1（n≤9，n∈ N +），也就是d≤ 24 25（n-1） ，令n=9得d≤ 3 25 ，所以正确结果应是： 8 75

例8 平面内一动点到定直线的距离与它到定点的距离之比等于log32，那么动点的轨迹是（ ）.

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

分析 由于到定直线的距离与它到定点的距离之比就想到圆锥曲线的第二定义，由0

选A是错误的，应选B.利用圆锥曲线的第二定义，一定要注意比的顺序，即到定点与到定直线的距离之比为常数e，题中的log32= 1 e ，由01，应是双曲线.

所以，审题一定要仔细，不要被个别词语、式子的特点、数字的特征等表面现象“误导”，要深挖已知条件和隐含条件.

从以上的分析看出，题目给予我们解题思路的“误导”，过不在题意，有时可能还是命题者设的一个“陷阱”，其过在于我们自己，在于固有的知识，经验和思维定势的影响，以致没能充分理解题意.所以在平时训练时，一定要加强思维灵活性的训练，充分理解题意，发掘出题中的隐含条件，避免“误解”题意，陷入命题者所设埋伏圈中.