非对称实矩阵合同的条件

李成博,　胡志广，　詹华英

(1.天津大学理学院数学系,天津 300072； 2.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387；

3.天津理工大学 理学院数学系， 天津 300384)

非对称实矩阵合同的条件

李成博1,胡志广2，詹华英3

(1.天津大学理学院数学系,天津 300072； 2.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387；

3.天津理工大学 理学院数学系， 天津 300384)

[摘要]在工科大学的线性代数课程的知识范畴内，给出了一类非对称实矩阵的合同的判定的一个充分条件,并举例做具体说明；此项研究回答了工科大学生在学习矩阵合同理论时经常提出的一个疑问,可以作为工科大学线性代数教学的一个合理的补充材料.

[关键词]非对称实矩阵; 合同; 正定实矩阵; 对角化

1引言

众所周知，两个同阶实对称矩阵实合同(以下简称合同)当且仅当它们的正负惯性指数分别相等，或者说当且仅当它们的正、负特征值的个数分别相等.在第一作者给天津大学的本科生讲授线性代数课程的过程中，会经常讲到下面这个习题：

(A) 相似且合同(B) 相似但不合同(C) 不相似但合同(D) 不相似且不合同

两个矩阵的特征值相同，容易错用实对称矩阵合同的判定条件得到A与B合同(一个实对称矩阵不能合同与一个非对称实矩阵).由此，学生经常提问：合同关系是否只存在于两个实对称矩阵之间？两个非对称实矩阵是否可以合同？如何判定？

为了回答以上问题，本文在工科线性代数的知识范畴内，给出了对称部分是正定矩阵的两个非对称实矩阵合同的一个充分条件，并举例做具体说明.

2合同的一个必要条件

设n阶实方阵A,B都是非对称的，即A≠AT,B≠BT，其中上标T表示方阵的转置.并记As，Aas为矩阵A的对称和反对称部分，即

类似的，也用Bs,Bas表示矩阵B的对称和反对称部分.为了叙述简单，用记号A≃B表示矩阵A与B合同.

定理1若A≃B,则As≃Bs.

这个定理可以用来判定两个非对称实矩阵不合同.

下面的例子说明定理1的逆命题不成立.

3两个非对称实矩阵合同的一个判定定理

如前，设A,B都是非对称的n阶实矩阵并进一步假设As是正定的.若A≃B,则由定理1得Bs正定.由此，不妨也假设Bs正定.下面讨论A≃B成立的充分条件.为此，需要用到下面的定理.

定理2[1]设M是n阶实正定矩阵，N是n阶实对称矩阵则存在可逆矩阵P满足

PTMP=En，PTNP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中λ1,λ2,…,λn是实数.

定理3设可逆矩阵P满足

PTAsP=En，PTBsP=diag(λ1,λ2,…,λn)，

其中每个λi>0.若

则

A≃B.

证综合已知条件，有

=diag(λ1,λ2,…,λn)+PTBasP=PTBsP+PTBasP=PTBP.

这就证明定理的结论.

为方便起见，给出应用定理3来判断非对称实矩阵合同的主要步骤(其合理性请参看后面的定理4).

第一步求解一元n次方程组|Bs-λAs|=0，得到n个正实根λ1,λ2,…,λn.

第二步对每一个λi(相同的λi只计算一次即可)，求解线性方程组(Bs-λiAs)X=0，得到通解的表达式.

第三步对第二步中的每一个线性方程组，可以选取合适的基础解系并把这些基础解系中的向量作为列向量组成一个n阶方阵P，使得

PTAP=En，PTBP=diag(λ1,λ2,...,λn).

第四步验证

是否成立.如果成立，则得到A≃B.

解写出两个矩阵的对称和反对称部分

和

最后，容易验证

所以，由定理3得矩阵A与B相合.

4注释与延伸

(i) 两个非对称实矩阵A,B合同的一个等价刻画是它们的对称部分As,Bs和反对称部分Aas,Bas同步合同,即存在(同一个)可逆矩阵P,使得

PTAsP=Bs,PTAasP=Bas.

这个问题不同于实对称矩阵的合同，难度大，还没有十分满意的结果.本文的目的不是给出非对称矩阵合同的深入完整的研究，而是像本文开始提到的那样，在工科大学的线性代数课程的知识范畴内，给出相对容易的一个合同的判定定理并举出实例，希望可以作为工科大学生学习实对称矩阵合同理论的一个补充材料.

(ii) 当对称部分As,Bs都正定时，可以分别做满秩线性替换X=P1Y，X=P2Y，使得

不妨从一开始就假设As=Bs=En,也就是说，

A=En+Aas，B=En+Bas.

所以，理论上来说，判断A,B合同的问题化为了Aas,Bas(正交)合同的问题.而由正规实矩阵的结论，两个反对称矩阵(正交)合同当且仅当特征多项式相同[2].

(iii) 下面这个定理保证了前面提到的应用定理3来判断非对称矩阵合同的步骤中第一步和第三步总是可以实施的.

定理4设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可逆矩阵P=[X1,X2,…,Xn]满足

BXi=λiAXi，

其中λ1,λ2,…,λn是实数，且PTAP=En,PTBP=diag(λ1,λ2,…,λn).

证设A=STS，则

|B-λA|=|A|·|(ST)-1BS-1-λEn|，

因为实对称矩阵的特征值都是实数，得到|B-λA|=0有n个实根，设为λ1,λ2,…,λn.对于任一个λi，考虑其对应的线性方程组(B-λiA)X=0，由实二次型理论(或者用施密特正交化方法)可以选取一个基础解系Xi1,Xi2,…,Xik，满足

而对于两个不同的λi,λj，任取X,Y分别为线性方程组

(B-λiA)X=0，(B-λjA)X=0

的解，则

λiXTAY=XTBY=YTBX=λjYTAX=λjXTAY=0.

这样取得的解向量组成矩阵P，即是定理中要求的矩阵.

[参考文献]

[1]天津大学数学系代数教研组.线性代数及其应用[M].北京：科学出版社，2010:253-254.

[2]孟道骥.高等代数与解析几何(下)[M].北京:科学出版社,2010.

ConditionsontheCongruenceofNon-symmetricRealMatrices

LI Cheng-bo1，HU Zhi-guang2，ZHAN Hua-ying3

(1.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversity,Tianjin300072China;

2.SchoolofMathematicalScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China;

3.DepartmentofMathematics,SchoolofScience,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China)

Abstract:InthescopeofknowledgeofengineeringLinearAlgebracourses,asufficientconditionisgiventodeterminethecongruenceofaclassofnon-symmetricrealmatricesandanconcreteexampleisalsogiven;ThisresearchprovidesananswertoaquestionforengineeringundergraduateswhentheystudythetheoryofcongruenceofmatricesandcanbetakenasareasonableadditionalmaterialfortheLinearAlgebrateachinginengineeringuniversities.

Keywords:non-symmetricrealmatrices;congruence;positivedefiniterealmatrices;diagonalization

[中图分类号]O13

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)04-0079-04