关于《微积分》中级数教学的一些建议

张岩

【摘 要】 级数是《微积分》课程的重要内容之一，本文对数项级数的教学深入思考，提出一些建议。

【关键词】 数项级数;收敛;发散

Some proposals on the teaching of series in differential and integral calculus

Yan Zhang

（Bei fang University of Nationalities， School of Mathematics and Information Science， Yinchuan， 750021）

【Abstract】The series is one of important context of differential and integral calculus. This paper presents some proposals on the teaching of series.

【Key Words】Series， convergence， divergence

【中图分类号】G642.22 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）25-0-01

1、问题

我们知道用简单表示复杂，用简单认识复杂是人们认识事物的基本方法。《微积分》的研究对象是实函数。在这里，我想问大家一个问题：在你脑海中，能够将图像和表达式联系在一起的函数有几个：我相信每个人脑海里这样的例子并不多。级数可以为我们认识函数提供一个新的视角。三角函数与多项式函数是我们熟知的函数。通过级数，我们可以用三角函数系来表示周期函数，这种表示揭示了一个深刻的物理学规律：任何一个周期信号均可表示为简谐振动信号的叠加;通过级数，我们可以用多项式函数来逼近一般函数;级数还可以用来表示许多非常有用的非初等函数;级数还可用于近似计算，例如圆周率，自然对数的底数。由此可见，级数是《微积分》中一个重要的数学概念。

大多数《微积分》教材中均直接引入级数定义及收敛与发散的概念。我们认为这种写法是极不自然的，不符合人们的认识规律。一个概念的引入应遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从直接到抽象，逐步深入。有限加法是人们熟知的运算，它具有加法的交换律、结合律、分析律。我们应该从有限加法引入级数的概念。为此，我们提出以下建议。

2、建议

建议一：“铺陈布新”——通过有限和引入级数概念

首先我们回顾有限加法：

任给，我们知道

（运算封闭）;

（交换律）;

（结合律）;

（对乘法运算的分配律），

进而，对任意有限个数，上述运算规律依然成立。一个自然的问题：对一个数列，是否可以作和？怎样作和？若可作和，是否满足类似有限加法的运算规律？为此，我们引入级数定义：

定义1设是一数列，对它的各项用加号连接起来的表达式

（记为）

称为数項级数，简称为级数;其中，称为级数的通项。

注意到一个事实：上述定义仅仅给出级数的记号意义，并没有实际的运算意义，因为我们仅仅是将数列的每一项用加号连接，可否作和我们并不知道。我们要赋予它运算意义，并研究它的运算规律。

建议二：“举例说明”——通过例子引入收敛与发散。

例1：级数：

注意到：（目标为）;

（目标为），

若以来表示前项求和，则在例1中，，没有确定目标，感觉不可作和。

例2：级数：

此时，在实数域中没有目标，因而不可作和。

例3：级数：

此时，即在实数域中有确定目标，感觉可作和。

比较分析例1，例2，例3，我们可得到两点认识：1）对级数而言，若在实数域中有确定目标，则可作和;若无确定目标，则不可作和;2）在级数求和过程中，，即：级数前项求和构成的部分和数列起着至关重要的作用。为此，我们引入收敛与发散的概念：

定义2：若级数的部分和数列收敛于，此时称级数收敛，且和为，记为：;若发散，则称级数发散。

定义2告诉我们：级数的敛散性取决于部分和数列的敛散性。

建议三：“层层深入”——考察级数的运算规律

在确定了级数是否可作和，即敛散性问题之后，我们自然地问：若级数可作和，是否有类似有限加法的运算规律？进一步，我们可类似地考察收敛级数的性质。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学第七版[M].高等教育出版社.2014年.

[2]王向东.数学分析的概念与方法[M].上海科技文献出版社，1989年.

[3]李德清.关于数学习题课的思考[J].工科数学，2000，16（2）：83-85.