基于Split Bregman算法的MRI图像重建参数分析

基于Split Bregman算法的MRI图像重建参数分析

刘梅1，廖柏林2

(1.吉首大学物理机电与工程学院，湖南 吉首 416000 2.吉首大学

信息科学与工程学院，湖南 吉首 416000)

摘要：压缩感知理论已应用在MRI成像中，作为压缩感知的非线性重建算法的重要分支，以Split Bregman算法为代表的凸松弛法将信号重建问题转化为凸优化问题求解，其计算效率高.对Split Bregman算法的正则化参数功能和调节机制进行了理论研究，分析了正则化参数对该算法收敛精度和收敛速度的影响.仿真结果表明了3个正则化参数对MRI图像重建效率和精度的影响程度.

关键词：压缩感知；磁共振图像重建；非线性求逆；凸松弛Split Bregman算法

文章编号：1007-2985(2015)05-0039-06

收稿日期：2015-05-11

基金项目：吉首大学校级课题资助项目(15JD013)；湖南省教育厅科学研究项目(13C757)

作者简介：刘梅(1988—)，女，湖北荆州人，吉首大学物理机电与工程学院教师，硕士，主要从事磁共振图像处理、语音信号处理和神经网络研究；廖柏林(1981—)，男，湖南衡阳人，吉首大学信息科学与工程学院副教授，博士，主要从事过程控制、机械臂控制和神经网络研究.

中图分类号：TP13文献标志码：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.009

基于信号稀疏性的压缩感知理论，在满足信号随机性条件下，运用与稀疏化所用字典不相关的测量矩阵对该信号进行采样编码，即通过求解稀疏化最优问题[1-2]，用较少的观测数据精确地恢复出原始信号.由于能够用较少的观测数据精确地重建信号，压缩感知理论已应用至MRI领域.[3]

在MRI图像中已经得到实现的算法有非线性共轭梯度(CG)算法[4-5]和能够求解带有多个正则化项非约束优化问题的Split Bragman算法[6]等.在磁共振的图像重建中，为了保证由部分采样图像恢复的质量，通常需要2个或多个正则化项组合求解非约束优化问题，Split Bregman算法[4]能够有效地求解该优化问题.笔者对正则化参数的功能和调节机制进行了分析，试验验证了正则化参数对算法收敛精度和收敛速度的影响.

1　Split Bregman算法

Bregman技术能够解决基于压缩感知的磁共振成像问题[5]，其迭代正则化算法如下[7]：

(1)初始化：k=0，u0=0，p0=0；

(2)当uk不收敛时，执行

pk+1=pk-H(uk+1)∈∂J(uk+1)；

k=k+1；

结束

(3)输出迭代结果uk.

由于Bregman迭代只能解决具有1项正则化项的优化问题，在MRI图像重建中，为了保证由部分采样图像恢复的质量，通常需要2个或多个正则化项组合才能求解非约束优化问题.Goldetein和Osher[6]提出了SplitBregman迭代正则化算法，该算法在压缩感知[6-8]、图像去噪[6]、磁共振图像重建[5]等领域得到非常广泛的应用.

(1)初始化：k=0，u0=0，p0=0；

bk+1=bk+(Φ(uk+1)-dk+1);

k=k+1;

结束

(3)输出迭代结果uk和dk.

2　MRI图像重建中的参数分析

在并行不规则采样条件下的动态磁共振MRI图像重建中，需要处理的数据量通常较大，并求解带有多个正则化项的非约束优化问题，Split Bregman算法能够求解此类问题.

稀疏MRI重建问题的一般形式见文献[5，10].文中选择如下形式描述磁共振重建问题(Ⅰ)：

其中：F表示傅里叶变换矩阵；f表示被收集的K空间观测数据；σ表示信号噪声的方差；矩阵R表示在K空间笛卡尔降采样模式下，从单位矩阵中随机抽取的子集；J(u)表示正则化项.

文献[7]应用Bregman迭代算法，将问题(Ⅰ)表示成非约束的形式：

(1)

fk+1=fk+f-RFuk+1.

(2)

求解(1)，(2)式，则w←Wu，dx←xu，dy←yu，其中W表示离散正交小波变换.则求解问题的分裂形式为

其中

笔者应用Split Bregman算法求解MRI图像重建的伪代码如下：

当‖uk-uk-1‖2>tol时

uk+1=F-1K-1Frhsk

结束

其中：

k=(μRTR-λFΔF-1+γI)，

仿真实验在32 位Window7平台采用Matlab软件仿真完成，参数选择如下：μ=1e+4，γ=50，λ=5.SplitBregman迭代正则化算法在变密度采样模式下MRI图像重建中的仿真结果见图1，2.其中图1a和图2a的降采比为4.

图1　Shepp-Logan Phantom重建效果比较

图2　脑模型重建效果比较

3　不同参数对Split Bregman算法的影响

MRI图像重建中，对于下列公式：

图3　不同λ和μ值的RMSE分布曲线(γ=0)

稀疏化相对权重系数γ与全变分正则化权重系数，λ非常相似，不同降采样模式和不同降采比下，γ参数的RMSE分布见图4，5.分析结果表明，不同的降采比和不同的采样模式对γ参数的取值范围都存在影响，只有参数μ和γ都在分析的取值范围内时，Split Bregman算法才能够更精确地重建图像.

图4　变密度采样模式下的RMSE分布曲线

图5　相位编码方向变密度随机降采模式下的RMSE分布

在变密度采样模式下，当降采比为2时，不同参数μ和γ对MRI脑图像重建的RMS影响分布见图6.与图3—5比较，MRI图像的μ参数分布曲线明显变窄，说明Split Bregman迭代正则化算法的参数选择受信号稀疏度的影响很大.如果信号足够稀疏，那么参数μ可以在很宽的范围内选取，并且对MRI图像重建结果影响不大；如果信号稀疏度不好，那么参数μ的最优值需要慎重选择，选取不同的μ值对重建结果影响比较明显.相比Phantom图中的γ参数选择分布曲线，脑图的γ参数范围选择相对较大.由此可知，当信号稀疏性较好时，稀疏化相对权重系数γ的取值较大.

图6　MRI脑图像模型的不同参数对RMSE影响

4　结论

针对MRI图像重建中的3个权重系数μ，γ，λ，笔者分析了正则化参数的选取对应用Split Bregman迭代算法进行磁共振图像重建的效率和精度的影响.仿真结果表明：在信号足够稀疏条件下，正则化参数μ的取值范围较大；参数γ和λ的选择范围相对较小；当参数μ和γ取值合适时，能够确定最优的优化目标.

参考文献：

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Analysis on MRI Image Parameter Reconstruction Based on

Split Bregman Algorithm

LIU Mei1，LIAO Bolin2

(1.College of Physics and Electromechanical Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China；

2. College of Information Science and Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China)

Abstract:The emerging compressed sensing (CS) theory，which includes the incoherent measurement matrix，sparse representation，and nonlinear signal reconstruction，has been employed in the magnetic resonance imaging (MRI).This paper focuses on Split Bregman algorithm which transforms the problem of convex relaxation to the problem of convex optimization.The main advantages of Split Bregman lie in its high computational efficiency and its capacity to solve multi-regularized inverse problem with high accuracy in MRI reconstruction.The function and tuning mechanism of regularization parameters are analyzed theoretically firstly，and then the influences of tuning the regularization parameters on the convergence accuracy and speed are investigated.In this way,the guidelines are provided for choosing suitable parameters in practical applications.

Key words:compressed sensing；magnetic resonance imaging；nonlinear inversion；convex relaxation Split-Bregman regularization algorithm

(责任编辑陈炳权)