一道不定积分题目的多种解法

邢秀侠

摘要：本文对一个不定积分的例子给出了八种不同的解法，这些解法充分体现了了第一类换元法、第二类换元法（包括三角代换、根式代换）、分部积分等典型的形式积分法的综合应用，对工科大学生学习不定积分的形式积分法具有启发意义。

关键词：原函数；不定积分；第一类换元；第二类换元；三角代换；根式代换；分部积分

中图分类号：G642.4 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等数学课程中，不定积分是较难的部分，它作为微分的逆运算，比求极限、判断连续、求微分（或求导）要难很多。首先，求极限、判断连续、求微分（或求导）部分都有相应的四则运算法则、复合函数的法则，对基本初等函数都有很明确的结论，甚至对高等数学课程的主要研究对象——初等函数都有一套明确的处理套路，主要依据就是相应部分的四则运算法则、复合函数的法则和对基本初等函数的明确结论。但对不定积分，我们仅有四则运算法则的一部分，即加减部分：代数和的积分等于积分的代数和。没有对应的乘积和商的积分性质，也没有复合函数的积分性质。即便对基本初等函数，我们也不能简单地推出它们的积分公式。除了常函数、幂函数、指数函数和一部分三角函数（包括正余弦函数）以外，剩下的基本初等函数的积分公式均是通过凑微分和分部积分的高等积分技巧推出的。对于一般的初等函数，相对统一的结论主要有两个：（1）连续函数都存在原函数，即初等函数在定义区间内存在原函数，（2）基本初等函数、有理函数、三角有理函数以及所有能转化成上述函数的初等函数一定可以积出来。至于如何求一般的初等函数的原函数或不定积分，则没有统一的套路。只能总结出几类典型的形式积分法，主要包括：第一类换元、第二类换元法、分部积分法、有理函数的积分。这些技巧适用于不同类的被积函数，学生学习时面对不同的被积函数，如何正确选择适当的积分法是关键，也是难点。因此，教师在教学和考试中，选择恰当的例子是十分关键的。例子要具有典型的特点，尽量可以一题多解，启发学生的发散思维。

下面，本文来介绍一个例子，这个例子有多种解法，这些解法中融合了第一类换元法（也称凑微分法）、第二类换元法（包括三角代换、根式代换和非典型代换）、分部积分等典型的形式积分法，充分体现了这些积分法的综合应用，是一个很具有启发性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一类换元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二类换元法中的根式代换。

解：设 =t则x=1+ ，dx= dt，（x=1- 时类似，略）此时

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二类换元法中的根式代换。

解：设2x-x =t，则x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 时类似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法综合利用了第二类换元法中的根式代换和三角代换的思想。

解： dx= dx

设 = sint，t∈[0， ），则x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此时

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二类换元法中的根式代换和分部积分法的循环型。

解： dx= dx

设 =t，则x=t ，dx=2t dt ，此时

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

对上式中第一项利用分部积分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原题，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二类换元法中的根式代换和三角代换。

解：注意到法五中第一步作了根式代换后出现的积分 dt也可以用三角代换来解决，其余部分与法五同，略。

对于积分 dt，作三角代换t= sinu，u∈[- ， ]，则dt= cosudu，此时

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？摇？摇 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原题，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二类换元的根式代换和分部积分或三角代换，但是根式代换的具体形式不同。

解： dx= dx

设 =t，则x=2-t ，dx=-2t dt，此时上式右端 dx=-2 dt

接下来，对于右端积分或者同法五利用分部积分，或者同法六利用第二类换元法中的三角代换，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致谢：本文作者受到“北京高等学校青年英才计划项目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）资助。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，第五版，2002.

[2]范周田，张汉林.高等数学（上）[M].北京：机械工业出版社，第二版，2012.endprint