利用数学建模解应用题教学之我见

黄云山

摘要：随着人类社会的进步和科技的发展，数学知识的更新与内容的丰富，数学建模思想的应用领域越来越广泛，在教学中也越来越被教师所重视。模型思想应用如此广泛，应该在数学本质意义上给学生一定的领悟力，让学生形成相应的数学态度。建模教学对数学教育及提高学生的素质有着极其重要的意义，它是衔接大学教育的需要，它能激发学生的学习动机，培养学生的能力，教师应努力将其应用于教学中。

关键词：方程；不等式；函数

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0255-02

将生活中的实际问题，经过描述、刻画、抽象化形成相应的数学问题，这就是数学建模，从而我们选择适当的数学方式方法进行解答，这是解决数学中应用问题的关键所在。在素质教育的前提下，应该怎样培养学生解决实际问题的能力、培养学生创造性思维的能力一直是教育界所关系的问题。通过数学建模训练思维力，可以有效提高学生运用数学的能力，也能够使学生运用数学解决生活中的实际问题。

应用性问题是中考必考的一种重要题型，应用性问题是考查学生阅读理解、信息迁移和数学方法等综合能力的重要形式。应用题本身的复杂性和数学模型的抽象性是学生解答应用题的困难所在，一遇到背景生疏、条件隐蔽的应用题，学生便望题兴叹、束手无策。究其原因，主要是对数学模型及其特征认识不足，建立数学模型解题的实践不够，未能从根本上形成解应用题的能力。解应用题的关键是建立数学模型，而相应的数学模型有：不等式、方程、函数、统计初步知识等。请看下面的应用题所用到的有关数学模型。

一、方程（组）的相关类型

方程或者方程组是描述当今世界数量关系最直观、最有效的数学模型，方程或方程组能够使人类从数量关系的层面出发，更加直观、清楚、准确地理解和面对现实世界。有相当数量的应用题，要求我们能求出一个或几个数量来，或求出一个或几个数量后就可以导致问题的解决，而方程和方程组正是求出一个或几个量的最有效的工具。

例1：整理一批图书，由一个人做要40h完成。现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1h完成的工作量）为，x人先做4h完成的工作量为，增加2人后再做8h完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量。

解：设安排x人先做4h。

根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列出方程+=1

解方程，得x=2

答：应安排2人先做4h。

这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题。

例2：2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2。1台大收割机和1台小收割机每小時收割小麦多少公顷？

分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1小时共收割小麦（2x+5y）hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1小时共收割小麦（3x+2y）hm2，由此考虑两种情况下的工作量。

解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2。

根据两种工作方式中的相等关系，得方程组2（2x+5y）=3.6

5（3x+2y） =8

解这个方程组，得x=0.4

y=0.2

答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2。

回顾以上两个例题的解法可知，利用方程（组）解应用题，应认真分析其中的数量关系，关键是找出相等关系，引入适当的未知量，建立相应的方程（组）模型，通过解方程（组）获得数学结论，最后用数学结论解释实际问题。

二、不等式组类型

不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型。现实世界中存在许多涉及不等关系的实际问题，需要通过深入地分析，根据问题中的相关信息，将问题数学化，抽象为不等式（组）模型。

例3：把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每人分5本，那么最后一人就分不到3本。这些书有多少本？共有多少人？

解：设共有x个人，这些书有（3x+8）本。依据题意列不等式组3x+8-5（x-1） <3

3x+8-5（x-1） ≥0

解得不等式组的解集为5

当x=6时，3x+8=3×6+8=26

即这些书有26本，共有6人。

例题3是一道不等式组的应用题，要分析并挖掘题目的不等关系，并根据不等关系建立不等式组，从而通过解不等式组得到实际问题的答案。

三、不等式与函数类型

我们所处的世界是不断运动和变化的，函数是研究事物运动和变化的十分重要的数学模型，它来源于生活、服务于实际。在运用函数模型的过程中，相对变化是函数的重要思想和基础，函数就是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型。在现实生活中，我们周围有许多问题涉及与函数有关的变量，其中有许多问题我们需要建立一次函数，并且利用有关函数的知识去进行问题的分析研究，得到问题的最佳解决方案。

例4：某文具店计划用不低于1500元且不高于1600元的资金订购甲、乙两款书包共30个。已知甲款书包每个进价70元，乙款书包每个进价40元。

（1）该文具店订购这两款书包，共有几种进货方案？

（2）若该文具店以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格全部卖出，哪种方案获利最大？最大获利是多少元？

分析：这是一个进货方案的问题。订购甲、乙两款书包的个数，受到资金的制约，因此要挖掘隐含条件建立不等式组；而甲、乙两款书包的总利润也与这两款书包的个数有直接关系，因此要建立一个总利润与书包个数的函数模型，这是不等式与函数的综合题。

解：（1）设订购甲款书包x个，订购乙款书包（30-x）个，

∴70x+40（30-x）≥1500

70x+40（30-x）≤1600 解得10≤x≤

∵x取整數，∴x=10，11，12，13，∴共有4种方案

（2）设以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格全部卖出可获利y元，则y=（100-70）x+（60-40）（30-x）=10x+600

∵k=10>0，∴y随x的增大而增大

∴当x=13时，y最大=730元

四、二次函数及最值类型

二次函数与实际生活联系紧密。用二次函数模型解决实际问题，其中关键的是将实际问题转化为数学问题。

例5：一个矩形窗户的窗框及中间两个横档的用料总长定为8米。试求窗户面积y（平方米）与横档长度x（米）的函数关系，并问x为何值时窗户的面积最大？最大面积是多少？

解：如上图所示。依据题意，矩形的一边与横档同长为x，则另一边为=4-2x，于是窗户面积y=

x（4-2x）=-2x+4x

这个二次函数当x=-=-=1（米）时，面积y最大。y=1×（4-2×1）=2（平方米）

例6：一家旅社有客房300间，每间房每天租金40元时，天天客满，如果将房间租金每提高5元，预计客房出租数会减少10间，若不考虑其他因素，旅社租金提到多少时，每天客房的租金收入最高？

解：设租金提高到x元，则租金比40元提高了（x-40）元，减少的房间数为10×=2（x-40），所以出租的房间数为300-2（x-40）=380-2x，故租金收入为y=x（380-2x）=-2x+380x

当x=-=-=95（元）时，y有最大值

y===18050（元）

即当每间客房的每天租金提高到95元时，客房租金收入最高，为18050元。

这里，例5是矩形窗户的设计问题，例6是旅社房间的定价问题，是两个完全不同性质的问题，但抽出其实际意义后，都可建立二次函数模型，用二次函数知识求出最大值。

数学建模就是建立一系列的模型，通过这种方式方法来解决生活中的实际问题的过程，这就需要经历观察实际情境→发现提出问题→抽象成数学模型→得到数学结果→检验（是否符合实际）。当符合实际就能得出可用的结果；当不符合实际就要修改，重新回到上述过程，直至到符合实际为止，得出可用的问题结果。数学建模解应用题，它作为一种数学结构，要体现数学概念、符号、运算法则、公式及方法；而作为应用题的模型，又反映出应用题的特征、数量关系及规律。数学建模思想的建立是一个循序渐进的过程，因此教师在教学中要充分利用教学资源渗透模型思想，这样能使学生在各个方面都得到锻炼，不仅使学生知识、技能方面得到提升，同时让学生的方法和思想得到升华。