三小行星系统216 Kleopatra引力场中的动力学

姜宇,张韵,任兆欣,宝音贺西,李恒年

(1.宇航动力学国家重点实验室,西安710043;2.清华大学航天航空学院,北京100084)

三小行星系统216 Kleopatra引力场中的动力学

姜宇1,2,张韵2,任兆欣2,宝音贺西2,李恒年1

(1.宇航动力学国家重点实验室,西安710043;2.清华大学航天航空学院,北京100084)

主带三小行星系统216 Kleopatra是由主星216 Kleopatra及两个小月亮(moonlet)Alexhelios[S/ 2008(216)1]和Cleoselene[S/2008(216)2]组成。其中主星216 Kleopatra是一个具有强不规则形状如哑铃的连接双星,大小为217 km×94 km×81 km,外小月亮Alexhelios大小约为8.9 km,内小月亮大小约为6.9 km。其动力学行为具有非常丰富的科学内涵。研究了三小行星系统216 Kleopatra自身的动力学机制及其引力场中探测器的运动规律,分析了主星质心固连系中探测器的动力学方程,给出了三小行星引力全多体问题的动力学方程及Jacobi积分,方程考虑了三个小行星的不规则外形、轨道与姿态。发现三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中一种新的周期轨道族的倍周期分岔。考虑主星的不规则精确外形与引力、两个小月亮的相互作用,研究了该三小行星系统的动力学构形。发现Kleopatra的强不规则几何外形及两个小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用引起两个小月亮的轨道参数的显著变化。

三小行星;连接双星;引力全多体问题;分岔;平衡点

0 引 言

自2005年发现第一个三小行星系统87 Sylvia以来,三小行星系统的观测、形成及与太阳系起源的关系引起了人们极大的研究兴趣。三小行星系统216 Kleopatra的两个小月亮于2008年被发现[1-2]。使用多面体模型可以对小行星的外形和引力场进行精确的建模,甚至模拟其质量瘤[3-5]。小行星216 Kleopatra是一个大尺度比的三小行星系统,主星大小为217 km×94 km×81 km,外小月亮Alexhelios大小约为8.9 km,内小月亮Cleoselene大小约为6.9 km,小月亮与主星的大小之比分别为0.066和0.051,轨道半径与Hill半径之比分别约为0.023与0.016,小月亮绕主星的轨道周期之比约为2.32与1.24[2]。

三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中共有7个平衡点;其中4个在外部,且均不稳定,拓扑类型相间分布[6-8];3个在内部,2个稳定,1个不稳定[7-8]。三小行星系统216 Kleopatra的4个外部平衡点中有2个附近分别有1族周期轨道,另外2个附近分别有2族周期轨道[9]。平衡点的拓扑类型和其附近衍生出的周期轨道族的拓扑类型存在一一对应关系[10]。对于不规则外形的小行星或者彗星,其引力场中的周期轨道共有13种拓扑类型,其中7种纯周期情形,1种周期兼Krein碰撞情形,1种周期兼退化实鞍情形,4种周期兼倍周期情形[11]。每一个周期轨道族都属于这13种拓扑类型的至少一种;有的周期轨道族中的周期轨道属于这13种拓扑类型的至少2种,则该周期轨道族在延拓的过程中就会产生分岔,文献[11]共发现4种周期轨道族的分岔类型,分别是:切分岔、倍周期分岔、Neimark-Sacker分岔和实鞍分岔。

为研究三小行星系统216 Kleopatra的动力学内在机制,分析了主星质心固连坐标系中探测器的动力学方程,发现主星引力场中一种新的周期轨道族倍周期分岔。导出三小行星引力全多体问题的动力学方程及Jacobi积分。在考虑主星的不规则精确外形与引力和两个小月亮的相互作用的情况下,研究了该三小行星系统的动力学构形。发现在三小行星系统216 Kleopatra的主星赤道坐标系中看两个小月亮的瞬时轨道运动时,小月亮Alexhelios和Cleoselene的半长轴变化幅度分别为2.7 km和6.6 km。这是由Kleopatra的强不规则几何外形及两个小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用引起。在这些作用下,两个小月亮的偏心率的变化幅度也非常显著。Kleopatra的自旋轴指向及三个天体的相互不规则外形的引力作用引起小月亮Alexhelios和Cleoselene的瞬时轨道倾角也存在较为显著的变化幅度。

1 动力学方程

1.1 主星质心固连系中探测器的动力学方程

考虑以主星216 Kleopatra质心固连系为参考坐标系,将探测器的动力学方程建立在该坐标系中。令r为探测器的位置矢量,ω为主星相对惯性空间的旋转角速度,U(r)为主星的引力势,则Jacobi积分H和有效势V可以定义[12]为

探测器在主星质心固连坐标系中的动力学方程为

其中:f为两个小月亮的引力、太阳引力等摄动力,小月亮对探测器的引力同主天体对探测器的引力相比小于3×10-4。此外,根据文献[13]的分析,太阳对探测器的引力同主天体对探测器的引力相比是10-6～10-7量级。在考虑三小行星系统216 Kleopatra平衡点的计算及附近周期轨道的计算时无需考虑两个小月亮及太阳的引力,仅使用主星的不规则引力来计算平衡点与周期轨道,在实际任务中将此计算结果作为初值代入考虑了小月亮及太阳引力的模型中进行微小修正或反馈控制律的计算即可。

1.2 三小行星系统的动力学方程

考虑三小行星系统216 Kleopatra自身的动力学方程。共有n=3个不规则的小行星,所有三个小行星都是既有轨道运动又有姿态运动。记βk(k=i,j)为第k个小行星;G为万有引力常数;rk为βk的惯性位置;Dk为βk上质量元d m(Dk)相对βk质心的位置;ρg(Dk)为质量元d m(Dk)的密度;d m(Dk)=ρg(Dk)d V(Dk)其中d V(Dk)为体积元;Ak为βk的主惯量坐标系相对惯性空间的转移矩阵;为平动动量;qk=AkDk+rk为质量元d m(Dk)相对惯性空间的位置矢量;kk=rk×pk+AkIkΩk为βk的动量矩;Gk=IkΩk。则系统的总引力势能可以表示为

上式通过对三小行星系统中每一个不规则小行星进行体积分从而获得不规则外形、质量瘤、多孔介质等之间的相互作用。

系统总动能为

其中:mi为βi的质量;Ωi为βi的本体角速度矢量;Ii为βi的惯性张量。

因此系统的Jacobi积分即总能量为

系统的动力学方程可以表示在惯性空间为

其中:fig为作用在上βi的合力;nig为作用在βi上的总的引力力矩;,是ωi生成的反对称矩阵。第一个方程和第二个方程是表示三小行星系统的每一个小行星的轨道运动的项,第三个方程是表示每一小行星的姿态动力学的项,第四个方程是表示每一小行星的姿态运动学的项。对于三小行星系统的动力学构形计算,取n=3。如果考虑探测器在三小行星系统中运动,计算三小行星系统的两两之间不规则几何外形、质量瘤、多孔介质等之间的相互作用对轨道和姿态的影响以及对探测器的轨道与姿态的影响,则在上式中令n=4,第四个指标表示探测器的运动即可。

2 主星引力场中的倍周期分岔

文献[11]首次发现了不规则小天体引力场中周期轨道族的倍周期分岔,并找到216 Kleopatra引力场中延拓过程中产生倍周期分岔的一族周期轨道。本文发现了与文献[11]不同的周期轨道族,此周期轨道族在延拓过程中也能产生倍周期分岔。三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中该族周期轨道族的延拓如图1所示,此处共画出了18条延拓过程中的周期轨道。Jacobi积分从暗灰色周期轨道对应的-1.397 945 3×10-3逐步增加到绿色周期轨道对应的-1.227 945 3 m2/s2,步长为1.0×10-2m2/ s2。三小行星系统216 Kleopatra主星的几何外形及引力场采用文献[14]的数据由多面体模型[3-4]构建,采用了2 048个顶点和4 096个面。

图1 三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中周期轨道族的延拓Fig.1 The continuation of a periodic orbit family in the potential field of the triple asteroid system 216 Kleopatra

图2给出了延拓过程中该周期轨道族中的各条周期轨道拓扑分类的变化情况。不同的颜色表示不同的特征乘子的运动轨迹。初始时刻,有2个等于1的特征乘子和实轴上的4个特征乘子(不等于1或-1),这4个特征乘子有2个在正实轴上共轭,有2个在负实轴上共轭。正实轴上共轭的2个特征乘子位于1的两侧,负实轴上共轭的2个特征乘子位于-1的两侧。随着参数的变化,负实轴上共轭的2个特征乘子向-1靠近,最终在-1处相互碰撞并离开实轴从而在单位圆上运动。同时正实轴上共轭的2个特征乘子也在相互接近但并未碰撞。

图2 三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中周期轨道族延拓过程中的倍周期分岔Fig.2 The period-doubling bifurcationof a periodic orbit family in the potential field of the triple asteroid system 216 Kleopatra

由于在延拓过程中,周期轨道族中的每一条周期轨道始终有特征乘子位于单位圆以外,故该族周期轨道中的各条周期轨道均不稳定。同时延拓过程中单位圆外的2个特征乘子均向单位圆移动,其中一个移动到单位圆上,因此延拓过程中稳定性增加,不稳定性减小。采用文献[7]的小行星平衡点编号方式,则该族周期轨道附近的平衡点为E4。根据文献[10]的结论,该平衡点的拓扑类型属于平衡点拓扑情形5,即此平衡点有4个复特征值和一对纯虚特征值,它附近衍生出的周期轨道族的拓扑类型属于周期轨道的拓扑情形5,即该周期轨道族的每一条周期轨道都有2个等于1的特征乘子和4个复特征乘子,这4个复特征乘子都不在x轴上或单位圆上。因此,本文发现的周期轨道族的拓扑类型与平衡点E4附近衍生出的周期轨道族[10]的拓扑类型不同。本文发现的周期轨道族是否和平衡点E4附近衍生的周期轨道族能通过延拓连接在一起,还需未来进一步研究。分岔的位置的数值解为第10条周期轨道,第10条周期轨道与分岔位置的周期轨道的Jacobi积分的误差小于0.5×10-2m2/s2。从图2中还可以看出参数变化下,正实轴上的两个共轭的特征乘子的位置也在发生变化,虽然在相互靠近但并未在1处碰撞,此外正实轴上的位于单位圆外的特征乘子移动的距离大于正实轴上的位于单位圆内的特征乘子移动的距离。由于三小行星系统216 Kleopatra主星的平衡点分布和平衡点的拓扑分类存在一定的对称性,因此在同E4拓扑类型相同的平衡点E2(平衡点编号方式参见文献[7])附近也存在类似的倍周期分岔。

3 三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形

本节计算三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形。216 Kleopatra主体的密度[15]为3.6 g/cm3,质量为4.64×1018kg,自旋周期为5.385 h,自旋轴在地心J2000黄道坐标系指向为(76.0°,16.0°)。相对位置与速度的初值取自文献[2],以Kleopatra初始时刻的质心为原点的坐标系中两个小月亮的初始位置与速度在表1中给出。在三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形的计算中采用2.2节给出的动力学方程,考虑主体216 Kleopatra的不规则引力及其与2个小月亮的相互作用。

三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形计算结果如图3所示,2个小月亮的轨迹均表示在主星的固连坐标系中。外小月亮为Alexhelios,内小月亮为Cleoselene。图3中条状为速度大小的幅值。图4给出了动力学构形计算过程中的系统总能量的相对误差,图5给出了总角动量的相对误差。可见系统总能量的相对误差在10-14量级,总角动量的相对误差在10-6量级。

图3 三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形Fig.3 The dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

图4 三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形计算过程中总能量的数值相对误差Fig.4 The numerical error of energy in the calculation of the dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

图5 三小行星系统216 Kleopatra的动力学构形计算过程中总角动量的数值相对误差Fig.5 The numerical error of angular momentum in the calculation of the dynamical configuration of the triple asteroid system 216 Kleopatra

由于该三小行星系统是大尺度比的三小行星系统,小月亮与主星的质量之比小于3×10-4,且小月亮并未在主星外形凹陷区域运动,因此可以近似地采用瞬时轨道根数来研究2个小月亮相对216 Kleopatra主星的轨道变化情况。小月亮的瞬时轨道根数表示在主星的质心瞬时赤道坐标系中,瞬时赤道坐标系的z轴和主星自旋轴重合。计算可得小月亮Alexhelios的半长轴变化范围为677.5～680.2 km,小月亮Cleoselene的半长轴变化范围为453.2～459.8 km,变化幅度分别为2.7 km和6.6 km。Alexhelios的偏心率的变化范围从0.000 1～0.015 0,而Cleoselene的偏心率的变化范围从0～0.032。这是由于Kleopatra的几何外形强不规则,还存在两个小月亮Alexhelios和Cleoselene的相互作用。将两个小月亮的轨道倾角也表示在主星自旋运动的赤道坐标系中,则Alexhelios的倾角的变化范围从2.565°～2.642°,而Cleoselene的倾角的变化范围从3.1°～3.25°。由于主星自旋轴指向存在变化,因此会给表示在主星赤道坐标系的两个小月亮的倾角带来变化,而小月亮倾角的变化还与主星的不规则外形产生的引力场、小月亮相互引力作用有关。

表1 三小行星216 Kleopatra的2个小月亮的初值Table 1 Intial values of two moonlets of the triple asteroid system 216 Kleopatra

4 小 结

研究了三小行星系统216 Kleopatra主星质心固连坐标系中的探测器动力学方程,给出了三小行星系统216 Kleopatra的考虑不规则外形与引力场、轨道与姿态的引力全多体问题的动力学方程及Jacobi积分。在考虑三小行星系统216 Kleopatra主星引力场中动力学行为时,发现一种新的周期轨道族的倍周期分岔。对于三小行星系统216 Kleopatra自身的动力学机制,在考虑主星的不规则精确外形与引力、及两个小月亮的相互作用的情况选,分析了小月亮轨道的变化。三个天体的不规则外形和的相互作用引起两个小月亮的偏心率的变化幅度非常显著。若在主星自旋运动的赤道坐标系中表示的两个小月亮的轨道倾角,则Alexhelios的倾角的变化范围为2.565°～2.642°,而Cleoselene的倾角的变化范围为3.1°～3.25°。两个小月亮的瞬时轨道平面均与三小行星系统216 Kleopatra主星赤道平面接近重合。

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Dynamics in the Potential Field of the Triple Asteroid System 216 Kleopatra

JIANG Yu1,2,ZHANG Yun2,REN Zhaoxin2,BAOYIN Hexi2,LI Hengnian1
(1.State Key Laboratory of Astronautic Dynamics,Xi’an Satellite Control Center,Xi’an 710043,China;2.School of Aerospace Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

The triple asteroid system 216 Kleopatra in the main-belt is consisted of the primary 216 Kleopatra and two moonlets Alexhelios[S/2008(216)1]as well as Cleoselene[S/2008(216)2].The primary is a contact binary asteroid which has highly irregular shape and looks like a dumb bell,its three-axes lengths are 217 km× 94 km×81 km.Alexhelios is the outer moonlet,with the size of 8.9 km,while Cleoselene is the inner moonlet,with the size of 6.9 km.The dynamical behavior of the triple asteroid system 216 Kleopatra contain extremely abundant scientific connotation.This paper studies its dynamic mechanism and the motion law of a spacecraft in the potential field.The dynamical equation expressed in the body-fixed frame of the primary has been analyzed,and the dynamical equations as well as the Jacobi integral of the full three-body problem of the triple asteroid system have been presented.The irregular shape,the orbit and the attitude of these three minor bodies are all considered.A new kind of period-doubling bifurcation in the potential field of the primary of the triple asteroid system 216 Kleopatra has been found.The dynamical configuration of this triple asteroid system has been investigated,with considering the irregular gravitational force,the geometrical shape,and the interaction mechanism between these two moonlets.It is found that the irregular shape and the interaction mechanism between these two moonlets cause the orbital parameters of the two moonlets Alexhelios and Cleoselene vary obviously.

triple asteroids;contact binary asteroids;gravitational full N-body problem;bifurcations;equilibrium point

P134.2

A

2095-7777(2015)04-0352-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.04.009

姜宇(1983—),男,工程师,主要研究方向:多小行星系统动力学、航天器编队飞行与星座的控制、小行星探测器轨道力学、彗星尘埃动力学等。

[责任编辑:杨晓燕]

2015-09-18

2015-10-18

国家自然科学基金资助项目(11372150);国家重点基础研究发展计划(973计划)(2012CB720000);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(2012002110078)