立体几何中的易错点剖析

祁居攀

立体几何是中学数学教学的重点内容之一，也是历届高考命题的热点.求解立体几何问题时，常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.

一、概念不清导致错解

例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）一点和一条直线确定一个平面；

（2）经过同一点的两条直线确定一个平面；

（3）首尾顺次相接的四条线段在同一平面内.

错解：（1）正确.错因：忽视公理2中“不在一条直线上的三点”这个条件.

（3）正确.错因：空间四边形的四条边不共面.

正解：（1）不正确.如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在平面上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知有唯一一个平面.

（2）正确.经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面.

（3）不正确.四边形中三点可以确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，因此这四条线段不一定在同一平面内.

例2 给出下列几种说法：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（3）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

（4）过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.

其中正确说法的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

错因分析：错解一：认为（1）正确，没有考虑已知点在直线上的情形；

错解二：认为（2）正确，没有在空间考虑问题，还是局限于初中平面几何的思维方式；

错解三：认为（3）正确，没有正理解线面平行的定义.

正解：（1）当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（1）错；

（2）由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故（2）错；

（3）过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（3）错；

（4）过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故（4）对.

二、定义理解不清导致错解

例3 四面体ABCD中如图所示，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长度.

错解：取AD中点O，连OE，OF，直接由条件得∠EOF=60°得EF=OE=OF=12.

错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠EOF可能是BD，AC所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.

正解：取AD中点O，连OE，OF，

∵OE∥BD，OF∥AC，

∴OE与OF所成的锐角或直角，即为BD，AC所成的角，而BD，AC所成的角为60°，所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.

当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=12.

当∠EOF=120°时，取EF的中点M，

则OM⊥EF，EF=2EM=2×34=32.

三、忽视判定定理中的条件导致错解

例4 已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.

求证：平面BDF∥平面B1D1E.

错解：错解一：漏掉解题过程中的BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E.

错解二：漏掉解题过程中的BF∩BD=B.

错因分析：缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.

错解二：忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两”相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.

正解：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG

A1B1，A1B1

C1D1，∴EG

C1D1，四边形EGC1D1是平行四边形.

∴D1E

GC1，

又∴BG

C1F，

∴BF∥C1G，∴BF∥D1E，又BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E，∴BF∥平B1D1E.

又∵BD∥D1B1，同理可得BD∥平面B1D1E，

又BF∩BD=B，

由平面与平面平行的判定定理得：平面BDF∥平面B1D1E.

四、盲目地套用性质定理导致错解

例5 如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平形四边形.

错解：平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由面面平行的性质定理得D1E∥FB，

同理EB∥FD1，所以四边形BED1F是平形四边形.

错因分析：主要错误在于没有确定B，E，D1，F四点是否满足面面平行的性质定理的条件，盲目地套用性质定理.

正解：如图所示，取D1D的中点G连接EG，GC.

∵E是AA1的中点，G是D1D的中点，

∴EG

AD.由正方体性质知BC

AD，∴EG

BC，

所以四边形EGCB是平形四边形，∴EB

GC ①

又∵G，F分别是D1D，CC1的中点，∴D1G

FC，

四边形是D1GCF平形四边形，∴D1F

GC ②

由①②得EB∥D1F. ③

又平面A1ADD1∥平面B1BCC1，

平面EBFD1∩平面A1ADD1=ED1，

平面EBFD1∩平面B1BCC1=BF，

∴ED1∥BF， ④

由③④得，四边形BED1F是平形四边形.

例6 已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示，求证：PA⊥平面ABC.

错解：在平面ABC内任取一点D，过点D在平面ABC内作平面ABC的垂线DG，平面PAC的垂线DF.

错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.

正解：如图所示，在平面ABC内任取一点D，

作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，

∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC=AC，∴DF⊥平面PAC，

∵PA平面PAC，

∴PA⊥DF.

同理可证：PA⊥DG，DF∩DG=D，且DF平面ABC，DG平面ABC，

∴PA⊥平面ABC.