导数与不等式联姻的解决策略

2015-12-07 18:39孙建山
新课程·中学 2015年10期
关键词:恒成立不等式导数

孙建山

摘 要:函数是高中数学的主干,导数是研究函数的工具,自2004年新课改以来,以导数为工具讨论函数单调性、求函数最值、恒成立问题的解决等成为高考命题的重点与热点,这类问题学生普遍感觉难度大,就不等式恒成立问题的解决策略和读者做一个交流。

关键词:导数;不等式;恒成立

例1.(2008江苏高考数学第14题)f(x)=ax3-3x+1对于x∈

[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a= .

解法1(分离参数):由题意可得:ax3≥3x-1在x∈[-1,1]上恒成立.

(1)当x=0时,不等式显然恒成立,此时a∈R.

(2)当x<0≤1时,a≥ 恒成立,则,a≥( )max令g(x)= ,g′(x)= ,所以g(x)在(0, )上单调递增,在( ,1)上单调递减,则g(x)max=g( )=4,所以a≥4.

(3)当-1≤x<0时,a≤ 恒成立,则a≤( )max令g(x)= ,g′(x)= ,所以g(x)在(-1,0)上单调递增,则g(x)min=4,所以a≤4.

综上:a=4.

此解法通过分离参数转化成a≥h(x)或者a≤h(x),然后求h(x)的最值,当然有些题目也可以转化成ag(x)≥h(x)或者ag(x)≤h(x)[也就是说不需要把与a(也可能是关于a的参数团)相乘的关于a的代数式都除到另一边],当然ag(x),h(x)最好是我们比较熟悉的一些函数,然后通过图像等方法求出a的数值或者范围.

解法2(求函数最值法):由题意可得:f(1)≥0f(-1)≥0,解得:

2≤a≤4,f′(x)=3ax2-3令f′(x)=0解得x=± x∈(-1,1),则f(x)在(-1,- )上单调递增,在(- , )上单调递减,在( ,1)上单调递增,所以f( )≥0f(-1)≥0解得:a≥4,综上:a=4.

此解法并未上来就求导讨论导函数的符号,而是通过取特值先适当缩小参数a的范围,然后再求导,这样在许多的情况下可以适当简化讨论.

另解:f(-1)≥0f(1)≥0f( )≥0解得:a=4.此解法不具有一般性,仅供参考.

例2.(2015山东高考数学理第21题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

(2)若?坌x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.

解法3(研究导函数的符号):(1)略.(2)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),f(0)=0,要使?坌x>0,都有f(x)≥0成立,只需函数f(x)在(0,+∞)上单调递增即可,于是只需?坌x>0,f′(x)= +a(2x-1)≥0成立,

当x> 时a≥- =- ,- ∈(0,+∞)则a≥0;

当x= 时,f′( )= >0,则a∈R;当01时f ′(x)= ,设g(x)=2ax2+ax+1-a此时Δ>0,设g(x)=0的两个不相等的实数根x1,x2,且x1<- 1- 时ax2+(1-a)x<0,此时f(x)<0,不符合题意.综上:0≤a≤1.

此解法借助导函数的符号确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可确定所求参数的范围.解法1和解法2同样适用此题.

下面笔者选两题可供读者练习:

1.(2010新课标第21题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.

2.(2012天津理第20题)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.

(1)求a的值;

(2)若对任意的x≥0,有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值.

编辑 王团兰

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