求极限——

陈妍

摘要：极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科.因此求极限的方法对于数学的学习和应用也至关重要.

关键词：极限;收敛;无穷小;微积分

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）18-0181-03

笔者多年从事高等数学教学，那么笔者对于高等数学中的极限的思想方法整体感受可以做这样的比喻：假如高等数学是棵树的话，那么极限就是他的根，函数就是它的皮.树没有根，活不下去;没有皮，只能枯萎。极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念，都可以用极限来描述.例如函数的连续性的研究;函数在某一点处导数的定义;定积分的定义;偏导数的定义;二重积分、三重积分的定义;无穷级数收敛的定义，都是用极限来描述的.极限是研究数学分析的基本工具。极限是贯穿数学分析的一条主线.由此极限的重要性可见一斑.现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分.学好极限要从以下两方面着手：一是考察所给函数是否存在极限。二是若函数存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述.

一、通过各种基本技巧，化简后直接求出极限

例1 设a ≠0，b n≠0，求

.

解

=

=0    当mn时

二、利用夹逼定理求极限

设g（x）≤f（x）≤h（x）。若limg（x）=A，limh（x）=A，则limf（x）=A.

例2    .

解∵ ≤  ≤

而  =  =

=  =

则由夹逼定理可知

=

例3 求   sintdt.

解 ∵ sintdt= sintdt=2

设nπ≤x<（n+1）π，则

2n= sintdt≤ sintdt≤ sintdt=2（n+1）

于是，

≤  sintdt≤

∵  = ，  = ，

由夹逼定理可知，   sintdt=

三、利用两个重要极限公式求极限

公式1：  =1.

公式2： 1+  =e; 1+  =e; 1+v =e.

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.

例4 求 cos cos …cos 。

解 当x=0时，原式=1

当x≠0时，原式=

=  =…

=  =   =

∵  =1

例5 求下列极限（1）   ;（2） x .

解 （1）解法一    =

= = =e

解法二    =

= 1+ ？摇 =e

（2）令x-1=t则x=1+t，当x→1时，t→0，

于是 x = （1+t） = （1+t） ？摇  =e .

四、用定积分定义求数列的极限

基本公式：    f =  fxdx.

例6 求   .

分析 如果还想用夹逼定理中的方法来考虑则

≤  ≤

而  = ，  =1

由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。

解    =

=  =arctanx  =

五、用洛必达法则求极限

洛必达法则专门来处理七种比较困难未定式极限： ; ;0*∞;∞-∞;1 ;0 ;∞ ，笔者把它们分成三个层次讨论。

第一层次：直接用洛比达法则可处理 和 两种未定式。

例7 求  .

解 离散型不能直接用洛必达法则，故先转化为连续型考虑到

=  =  =

∴原式=

例8 求  .

解 若直接用“ ”型洛必达法则，则得  =  （分母x的次數反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 =t，于是  =  =  （“ ”型）

=  =…=  =0

例9 设函数f（x）连续，f（0）≠0，求  .

解 原式=  （分母作变量替换x-t=u）

=  （用洛必达法则，分子、分母各求导数）

（用积分中值定理）

=  （ξ在0和x之间）

= =

第二层次：间接用洛比达法则可处理0*∞和∞-∞。

例10 求  - .

解   - =  （“ ”型）

=  =

=  =

例11 求 sin xlnx.

解 原式= x lnx=  （“ ”型）

=  =0

第三层次：间接用洛比达法则可处理1 ;0 ;∞ 型，都是lim[f（x）] 形式。

常用技巧：[f（x）] =e ，这样limg（x）lnf（x）是0*∞型，可按第二层次来处理。

例12 求 x .

解 令y=x ，lny=sin xlnx

lny= sin xlnx= x lnx=  =  =0

∴ y=e =1

例13 设a>0，b>0常数，求   .

解 先考虑   它是“1 ”型

令y=  ，lny=xlna +b ？摇-ln2

lny=

=  = （lna+lnb）=ln

因此，   =

于是，   = 。

本文归纳了一些求极限的基本方法，并配有相应例题.在微积分的学习中遇到的一般求极限问题用上面的方法基本可以求出来，复杂的问题可能要综合几种方法才能求出，需要读者深入理解各种方法的技巧和内涵，掌握好求极限，对于学好微积分起到锦上添花的作用。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.

[2]戴剑萍.微积分中求极限的方法归叙[J].黄山学院学报，2005，（15）.

[3]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报，2002，（3）：20-21.